弧長及扇形的面積公式

1、曹縣一中 劉慧芳 如下圖，由組成圓心角的兩條如下圖，由組成圓心角的兩條半徑半徑和和圓心角所對(duì)的圓心角所對(duì)的弧弧圍成的圖形是圍成的圖形是扇形扇形。OO半徑半徑半徑半徑圓心角圓心角B BA A弧弧OOB BA A扇形扇形一、已知圓的半徑為r，回答下列問題. （1）這個(gè)圓的周長是多少？ （2）1的弧的長度占整個(gè)圓周長的多少？請(qǐng)用半徑r表示出來. （3）怎樣用圓的半徑r表示n 弧的長度 呢？答:1的弧的長度占整個(gè)圓周長的 .1360用半徑r表示為 2.360180rr2. r答:這個(gè)圓的周長是答:用圓的半徑為r表示n弧的長度為 .180nrll弧長公式： .1 8 0nrl其中，（其中，（1）n表示表

2、示1的弧的倍數(shù)，所以不帶單位。的弧的倍數(shù)，所以不帶單位。 在半徑為在半徑為r的圓中，的圓中，n弧的長度為弧的長度為（2）已知）已知l，n，r中的任意兩個(gè)量都可以求中的任意兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量。出第三個(gè)量。例1，如圖所示為一段彎形管道，其中心線是一段圓弧AB.已知 的圓心為O,半徑OA=60cmAOB=108,求這段彎道的長度.（精確到0.1cm）解：由弧長公式，可得弧解：由弧長公式，可得弧ABAB的長的長因此這段彎道的長度約因此這段彎道的長度約113.113.0 0cmcm。180nrl108 6036113.0()180cmABBAO變式訓(xùn)練 已知扇形的半徑為3cm,扇形的弧長為cm,則

3、該扇形的圓心角為多少度？解：由弧長公式得解之得所以，該扇形的圓心角為60度.180nrl3180n60.n 一、已知圓的半徑為r，回答下列問題. （1）這個(gè)圓的面積是多少？ （2）圓心角是1的扇形面積是圓面積的多少? 請(qǐng)用半徑r表示出來. （3）用半徑r表示圓心角是 n 的扇形面積S扇形是什么? 2.r答:這個(gè)圓的面積是答:圓心角是1的扇形面積占整個(gè)圓面積的 .1360用半徑r表示為 2.3 6 0r答:用半徑r表示圓心角是 n 的扇形面積為S扇形扇形2n.3 6 0r.1 8 02nrr1.2l rl（4）如果已知圓的半徑r和扇形的弧長 ，你能用弧長 和半徑r表示這段弧所在扇形的面積嗎？l1

4、80nrl解:S扇形扇形2n3 6 0rS扇形扇形1.2l r所以,用弧長 和半徑r表示這段弧所在扇形的面積l扇形的面積公式:在半徑為r的圓中，圓心角是 n 的扇形面積為S扇形扇形2n3 6 0rS扇形扇形12l r在半徑為r的圓中，長度 的弧所在扇形的面積為l其中，（其中，（1）n表示表示1的圓心角的倍數(shù)，所以不帶單的圓心角的倍數(shù)，所以不帶單位。位。 （2）已知）已知l，n，r，s中的任意兩個(gè)量都可以中的任意兩個(gè)量都可以求出其他量。求出其他量。例2 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB與AC夾角為120，AB的長為30cm，竹條AB上貼紙部分BD的寬為20cm。求扇子的一面上貼紙部分的

5、面積（精確到0.1cm2）。解：由題意知 扇形的圓心為A,n=120，AB=30cm，BD=20cmAD=AB-BD=30-20=10cm貼紙部分的面積為 S扇形BACS扇形DAE 22222223 6 03 6 01 2 03 01 2 01 03 6 03 6 01( 3 01 0)38 0 08 3 7 . 3.3nA BnA Dc m所以，扇形的一面上貼紙部分的面積約為837.3cm2. 已知扇形的圓心角為120，弧長為20cm，求扇形的面積.解:由弧長公式 得 解之得 所以 所以，該扇形的面積為300cm2.1 8 0nrl1 2 02 01 8 0r3 0 .r21212 03 0

6、23 0 0.slrc m已知扇形OAB的半徑為r，AOB=90，以AB為直徑作半圓，得到右圖。你會(huì)求圖中“新月形”（陰影部分）的面積嗎？S陰=SAOB+S半圓-S扇形AOB解:由題意知OA=OB=r，AOB=900 2A B21.2r22211290222360rrr229011222360OAABOA OB21.2r所以，“新月形”（陰影部分）的面積為通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？1、已知扇形半徑為6，圓心角為30，則該扇形的弧長為_，面積為_。2、如果一個(gè)扇形面積是它所在圓的面積的 ，則此扇形的圓心角是_。3、如圖，已知扇形AOB,AOB=60,扇形的面積為6cm2,則求該扇形的周長。

7、 18453解:由扇形面積公式 得 解之得 所以 弧長 所以，該扇形的面積為300cm2.26 063 6 0r6.r6 062.1 8 0l221 2.lrc m所以扇形的周長為21 2.c m4、如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是6cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面積。C CD D0 0B BA A有水部分的面積為 S=S扇形-SABC2(129 3).cm所以，截面上有水部分的面積2120616 3 33602 129 3.OC=6OC=6，DC=3 DC=3 OD=OC-DC=6-3=3 OD=OC-DC=6-3=3 解：如圖，連接解：如圖，連接OAOA、OBOB，過過O O點(diǎn)作點(diǎn)作ODABODAB于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,交弧交弧ABAB于點(diǎn)