選修4-5課件：第1講1不等式1

1、第一講不等式和絕對(duì)值不等式一 不等式1.不等式的基本性質(zhì)1.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較. .設(shè)設(shè)a,bRa,bR, ,則則(1)ab(1)ab_._.(2)a=b(2)a=b a-b=0a-b=0. .(3)_(3)_ a-b0a-b0a-b0ababab_._. (2)(2) 傳遞性傳遞性ab,bab,bcc_._. (3)(3)可加性可加性_a+ca+cb+cb+c. . (4)(4)可乘性可乘性如果如果ab,cab,c0,0,那么那么_;_; 如果如果ab,cab,c0,b0,ab0,那那a an n_b_bn n(n(nN,nN,n2).2). (6)(6)開(kāi)方開(kāi)方如果如

2、果ab0,ab0,那么那么 _ (n_ (nN,nN,n2).2). babcacababacbcacbcacbcacnanb1.1.若若aba00時(shí)，若時(shí)，若abab，則有，則有 ; ;當(dāng)當(dāng)abab00時(shí)，若時(shí)，若ab,ab,則有則有 ; ;當(dāng)當(dāng)abab=0=0時(shí)，若時(shí)，若abab2.ab是是acac2 2bcbc2 2的什么條件？的什么條件？提示：提示：必要而不充分條件必要而不充分條件. .當(dāng)當(dāng)abab時(shí)，不能推得時(shí)，不能推得acac2 2bcbc2 2，因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)當(dāng)c=0c=0時(shí)，有時(shí)，有acac2 2=bc=bc2 2；若；若acac2 2bcbc2 2，則，則 所以所以 即即ab.

3、ab.21c00.c，222211acbccc，3.3.如果如果a,bRa,bR, ,并且并且a ab,b,那么下列不等式一定成立的是那么下列不等式一定成立的是_._.-a-a-b-b；a-1a-1b-2b-2；a-ba-bb-ab-a；a a2 2ab.ab.【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍,bRa,bR, ,并且并且a ab,b,所以所以-a-a-b,-b,故故一定成立一定成立. .a ab,-1b,-1-2,-2,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，a-1a-1b-2,b-2,故故一定正一定正確確.a-b.a-b0 0，則，則b-ab-a0,0,所以所以a-ba-bb-a,b-a,故故一

4、定正確一定正確. .不等式兩邊乘以不等式兩邊乘以( (或除以或除以) )同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，不等式兩邊乘以不等式兩邊乘以( (或除以或除以) )同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，而而a a的符號(hào)不確定，故的符號(hào)不確定，故不一定正確不一定正確. .答案：答案：1.1.實(shí)數(shù)大小的比較實(shí)數(shù)大小的比較2.2.不等式性質(zhì)中的不等式性質(zhì)中的“”和和“”表示的意思表示的意思在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”與與“”，即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系，即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系, ,或者說(shuō)或者

5、說(shuō)“不可逆關(guān)不可逆關(guān)系系”與與“可逆關(guān)系可逆關(guān)系”，這要求必須熟記和區(qū)別不同性質(zhì)的條，這要求必須熟記和區(qū)別不同性質(zhì)的條件，如件，如 而反之則包含幾類情況，即若而反之則包含幾類情況，即若則可能有則可能有a ab,abb,ab0,0,也可能有也可能有a a0 0b.b.即即a ab,abb,ab0 0與與是不等價(jià)關(guān)系是不等價(jià)關(guān)系. .11ab,ab0,ab11,ab11,ab3.3.實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)在研究不等式的性質(zhì)，解不等式和證明不等式時(shí)，經(jīng)常要用在研究不等式的性質(zhì)，解不等式和證明不等式時(shí)，經(jīng)常要用到實(shí)數(shù)的一些基本性質(zhì)，這些性質(zhì)可概括為到實(shí)數(shù)的一些基本性質(zhì)，這些性質(zhì)可概括為8 8條公

6、理：條公理：公理公理1 1：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù). .公理公理2 2：正：正( (負(fù)負(fù)) )數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)其數(shù)值較大數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)其數(shù)值較大( (小小).).公理公理3 3：正：正( (負(fù)負(fù)) )數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)的相反數(shù)是負(fù)( (正正) )數(shù)數(shù). .公理公理4 4：兩數(shù)之差大于零，則被減數(shù)大于減數(shù)；兩數(shù)之差等于：兩數(shù)之差大于零，則被減數(shù)大于減數(shù)；兩數(shù)之差等于零，則兩數(shù)相等；兩數(shù)之差小于零，則被減數(shù)小于減數(shù)零，則兩數(shù)相等；兩數(shù)之差小于零，則被減數(shù)小于減數(shù). .公理公理5 5：兩個(gè)正：兩個(gè)正( (負(fù)負(fù)) )數(shù)的和仍是正數(shù)的和仍是正(

7、 (負(fù)負(fù)) )數(shù)數(shù). .公理公理6 6：同號(hào)：同號(hào)( (或異號(hào)或異號(hào)) )兩數(shù)相乘或相除，其積或其商為正數(shù)兩數(shù)相乘或相除，其積或其商為正數(shù)( (或負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù)).).公理公理7 7：兩正數(shù)之商大于：兩正數(shù)之商大于1 1，則被除數(shù)大于除數(shù)；兩正數(shù)之商，則被除數(shù)大于除數(shù)；兩正數(shù)之商等于等于1 1，則被除數(shù)等于除數(shù)；兩正數(shù)之商小于，則被除數(shù)等于除數(shù)；兩正數(shù)之商小于1 1，則被除數(shù)小，則被除數(shù)小于除數(shù)于除數(shù). .公理公理8 8：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于零：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于零. . 類型類型 一一 作差法比較大小作差法比較大小 【典型例題【典型例題】1.1.當(dāng)當(dāng)p,qp,q為正數(shù)且為正數(shù)且p+

8、qp+q=1=1時(shí)時(shí), ,比較比較(px+qy)(px+qy)2 2與與pxpx2 2+qy+qy2 2的大小的大小. .2.a,bR2.a,bR+ +, ,且且abab時(shí)時(shí), ,比較比較a a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3與與a a5 5+b+b5 5的大小的大小. .【解題探究【解題探究】1.(px+qy)1.(px+qy)2 2的展開(kāi)式是什么的展開(kāi)式是什么? ?2.2.比較多項(xiàng)式的大小常用的方法是什么比較多項(xiàng)式的大小常用的方法是什么? ?探究提示探究提示: :1.(px+qy)1.(px+qy)2 2=p=p2 2x x2 2+2pqxy+q+2pqxy+q2 2y y2

9、2. .2.2.常用作差比較法常用作差比較法. .【解析【解析】1.(px+qy)1.(px+qy)2 2-(px-(px2 2+qy+qy2 2) )=p=p2 2x x2 2+2pqxy+q+2pqxy+q2 2y y2 2-px-px2 2-qy-qy2 2=p(p-1)x=p(p-1)x2 2+q(q-1)y+q(q-1)y2 2+2pqxy.+2pqxy.因?yàn)橐驗(yàn)閜+qp+q=1,=1,所以所以p-1=-q,q-1=-p,p-1=-q,q-1=-p,所以所以(px+qy)(px+qy)2 2-(px-(px2 2+qy+qy2 2)=-pq(x)=-pq(x2 2+y+y2 2-2x

10、y)-2xy)=-pq(x-y)=-pq(x-y)2 2. .因?yàn)橐驗(yàn)閜,qp,q為正數(shù)為正數(shù), ,所以所以-pq(x-y)-pq(x-y)2 20,0,所以所以(px+qy)(px+qy)2 2pxpx2 2+qy+qy2 2, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=yx=y時(shí)時(shí), ,不等式中等號(hào)成立不等式中等號(hào)成立. .2.a2.a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=a)=a5 5+b+b5 5-a-a3 3b b2 2-a-a2 2b b3 3=a=a3 3(a(a2 2-b-b2 2)+b)+b3 3(b(b2 2-a-a2 2)=(a)=(a2 2-b-b

11、2 2)(a)(a3 3-b-b3 3) )=(a+b)(a-b)(a-b)(a=(a+b)(a-b)(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2) )=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a(a+b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2) )=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a+b)因?yàn)橐驗(yàn)閍,bRa,bR+ +,ab,ab, ,所以所以(a-b)(a-b)2 20,a+b0,0,a+b0,所以所以a a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)0,)0,a a5 5+b+b5 5aa3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3. .2213

12、(ab)b .242213(ab)b0,24【拓展提升【拓展提升】作差比較的兩種變形技巧作差比較的兩種變形技巧作差比較是判斷兩個(gè)數(shù)或式大小關(guān)系的最基本的方法，關(guān)鍵作差比較是判斷兩個(gè)數(shù)或式大小關(guān)系的最基本的方法，關(guān)鍵是作差后對(duì)差變形，以判定差的符號(hào)，常有兩種變形技巧：是作差后對(duì)差變形，以判定差的符號(hào)，常有兩種變形技巧：(1)(1)利用因式分解化為若干個(gè)可直接判斷符號(hào)的式子的積的形利用因式分解化為若干個(gè)可直接判斷符號(hào)的式子的積的形式式. .(2)(2)若式子為二次式，常用配方法、判別式法若式子為二次式，常用配方法、判別式法. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知xy0,xy0,比較比較 與與 的大小的

13、大小. .【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閤y0,xy0,所以所以x-yx-y0,x+y0,x0,x+y0,x2 20,0,x x2 2+11,+11,所以所以所以所以 故故22y1x1yx2222222222y1yx (y1)y (x1)x1xx (x1)222222xy(xy)(xy),x (x1)x (x1)22xyxy0.x x1（）2222y1y0.x1x22y1y.x1x類型類型 二二 利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【典型例題【典型例題】1.1.若若 則下列不等式：則下列不等式：a+bab;a+b|b|b|；abab中，正確的不等式有中，正確的不等式有( )(

14、)A.1A.1個(gè)個(gè) B.2B.2個(gè)個(gè) C.3C.3個(gè)個(gè) D.0D.0個(gè)個(gè)2.2.若若ab0ab0，分別判斷下列式子是否成立，并簡(jiǎn)述理由，分別判斷下列式子是否成立，并簡(jiǎn)述理由. .(1) (2)(1) (2)110ab ，11.aba11.abb【解題探究【解題探究】1.1.由由 能否比較能否比較a,b,0a,b,0的大小關(guān)系？的大小關(guān)系？2.2.比較大小的依據(jù)是什么？比較大小的依據(jù)是什么？探究提示：探究提示：1.1.由由 可知可知ba0.ba0.2.2.不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì). .110ab ，110ab ，【解析【解析】1.1.選選A A 所以所以a+b0aba+b0ab， |a|

15、b|a|b|，即，即正確，正確，錯(cuò)誤錯(cuò)誤2 2(1)(1)成立成立. .由由ab0ab0得得aa-b0aa-b0，所以，所以則則(2)(2)成立成立. .因?yàn)橐驗(yàn)閍b0,ab0,所以所以a+ba+bb0,bbabacac2 2bcbc2 2; ;當(dāng)沒(méi)有當(dāng)沒(méi)有“c0”c0”這個(gè)條這個(gè)條件時(shí)，件時(shí)，ababacac2 2bcbc2 2就不正確就不正確. .再如再如 時(shí)，還必須時(shí)，還必須添加條件添加條件abab0.0.11abab【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知三個(gè)不等式：已知三個(gè)不等式：abab0,0,bc-ad0,bc-ad0, ( (其中其中a,b,c,da,b,c,d均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù)).).用其中

16、兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作用其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是( )( )A.0A.0個(gè)個(gè) B.1B.1個(gè)個(gè) C.2C.2個(gè)個(gè) D.3D.3個(gè)個(gè)【解析【解析】選選D.D.因?yàn)橐驗(yàn)樗运?；均成立均成? .cd0abcdbcad,abab類型類型 三三 利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式 【典型例題【典型例題】1.1.已知已知ab0,cdb0,cd0,求證：求證：2.2.已知已知a a，bRbR，求證：，求證：a a2 2b b2 2ababa ab b1.1.【解題探究【解題探究】1.1

17、.對(duì)于正數(shù)，有同向不等式可乘，但能不能可對(duì)于正數(shù)，有同向不等式可乘，但能不能可除？除？2.2.證明不等式的實(shí)質(zhì)是什么？證明不等式的實(shí)質(zhì)是什么？33ab.dc探究提示：探究提示：1.1.對(duì)于正數(shù)，同向不等式可乘，但不可除對(duì)于正數(shù)，同向不等式可乘，但不可除. .不等式的不等式的 “ “除法除法”可以通過(guò)可以通過(guò)“乘倒數(shù)乘倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“乘法乘法”. .2.2.實(shí)質(zhì)是比較兩個(gè)代數(shù)式的大小實(shí)質(zhì)是比較兩個(gè)代數(shù)式的大小. .【證明【證明】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)閏d0,cd-d0.-c-d0.所以所以 所以所以 所以所以 即即兩邊同乘以兩邊同乘以-1-1，得，得110,ab0,cd 又ab0.dc 33ab.

18、dc 33ab.dc33ab.dc2.2.因?yàn)橐驗(yàn)?a(a2 2b b2 2) )(ab(aba ab b1)1)所以所以a a2 2b b2 2ababa ab b1.1. 22221a2abba2a 1b2b 12 () () ()221(2a2b2ab2a2b2)2 2221aba 1b 102 ，()()() 【拓展提升【拓展提升】利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件式進(jìn)行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件. .若不能直接由不若

19、不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu). .利用不等利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】1.1.已知已知a ab b0,cd0.0,cd0.求證：求證：2.2.已知已知cab0,cab0,求證：求證：【解題指南【解題指南】先分析各不等式的特點(diǎn)，分析待證式與已知條先分析各不等式的特點(diǎn)，分析待證式與已知條件的關(guān)系，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)證明件的關(guān)系，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)證明. .acbd.acbdab.cacb【證明【證明】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)閍 ab b0,0,

20、所以所以因?yàn)橐驗(yàn)閏 cd d0,0,所以所以所以所以所以所以 所以所以即即 又又a,c,b,da,c,b,d均大于均大于0 0，所以所以 所以所以110,ab 110,cd 11110,0,abdc1111,abdc1111,acbdacbd,acbdacbd0,0,acbdacbd.acbd2.2.因?yàn)橐驗(yàn)閍b,ab,所以所以-a-b,-aab0,cab0,所以所以0c-ac-b0c-ab0,ab0,所以所以110.cacbab.cacb【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)不等式的性質(zhì)理解不透而致錯(cuò)對(duì)不等式的性質(zhì)理解不透而致錯(cuò)【典例【典例】已知已知?jiǎng)t則2-2-的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析

21、】 設(shè)設(shè)2-=A(+)+B(-2-=A(+)+B(-),),則則2-=(A+B)+(A-B)2-=(A+B)+(A-B), ,4,33 比較兩邊系數(shù)得比較兩邊系數(shù)得 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)樗运怨使蚀鸢福捍鸢福篈B2AB1 ，1A23B.2，132()().22 1233(),().223222 2.6 2(,).6 (,)6【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】【防范措施【防范措施】1.1.待定系數(shù)法的應(yīng)用待定系數(shù)法的應(yīng)用已知兩個(gè)代數(shù)式的范圍，求另一個(gè)代數(shù)式的取值范圍時(shí)，應(yīng)已知兩個(gè)代數(shù)式的范圍，求另一個(gè)代數(shù)式的取值范圍時(shí)，應(yīng)用待定系數(shù)法，體現(xiàn)整體思想的應(yīng)用，再利用同向不等式的用待定系數(shù)法，體現(xiàn)整體思想的應(yīng)用，再

22、利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中將同向可加性求解，如本例中將2-2-表示為表示為+和和-的的形式求解形式求解. .2.2.注意同向不等式相加時(shí)的應(yīng)用注意同向不等式相加時(shí)的應(yīng)用同一問(wèn)題中，應(yīng)用同向不等式相加性質(zhì)時(shí)，不能多次使用，同一問(wèn)題中，應(yīng)用同向不等式相加性質(zhì)時(shí)，不能多次使用，否則易導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，如本例可用待定系數(shù)法避免多次使用否則易導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，如本例可用待定系數(shù)法避免多次使用. .【類題試解【類題試解】已知已知a-ba-b1,21,2,a+b,a+b2,42,4, ,則則4a-2b4a-2b的取的取值范圍是值范圍是_._.【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍-ba-b1,21,2,a+b,a+

23、b2,42,4, ,所以所以4a-4a-2b=(a+b)+3(a-b)2b=(a+b)+3(a-b)5,105,10. .答案：答案：5 5，1010 1.1.若若 則則( )( )A.abc B.bA.abc B.bacacC.cab D.bC.cab D.bcaca【解析【解析】選選A.A.由于由于a1a1，0b10b1，c0,cbc.abc.0.522a2,blog 3,clog sin5，2.2.已知已知a,b,ca,b,c均為實(shí)數(shù)，下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是均為實(shí)數(shù)，下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是( )( )ab0ab0a a2 2bbcbc2 2abab； A. 0 B. 1 C. 2

24、 D. 3A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析【解析】選選C.C.不正確不正確. .因?yàn)橐驗(yàn)閍b0ab-b0,-a-b0,所以所以(-a)(-a)2 2(-b)(-b)2 2, ,即即a a2 2bb2 2. .不正確不正確. .因?yàn)橐驗(yàn)槿羧鬮0bbcabc. .正確正確. .因?yàn)橐驗(yàn)閍cac2 2bcbc2 2，所以所以c0,ab.c0,ab.正確正確. .因?yàn)橐驗(yàn)閍b0,ab-b0-a-b0，所以，所以b10.aacabcb；bab01.aac,b3. 3. 已知已知a a，b b，c c，d d為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且c cd d，則，則“a ab”b”是是“a ac cb bd”d”的的( )( )A A充分而不必要條件充分而不必要條件 B B必要而不充分條件必要而不充分條件C C充要條件充要條件 D D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選B.B.由由而當(dāng)而當(dāng)a ac c2 2，b bd d1 1時(shí)，滿足時(shí)，滿足 但但a ac cb