債券投資分析

1、1 .傳統(tǒng)債券定價(jià)原理與價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)衡量體系1.1. 債券現(xiàn)金流分析1.1.1. 單個(gè)債券的現(xiàn)金流1.1.2. 債券組合的現(xiàn)金流1.1.3. 債券組合現(xiàn)金流的類(lèi)型：?jiǎn)♀徯?，梯子型，子彈?.2. 債券到期收益率1.2.1. 債券收益率的計(jì)算1.2.2. 從到期收益率計(jì)算債券價(jià)格1.2.3. 定價(jià)引擎的概念1.2.4. 基于收益率的債券相對(duì)價(jià)值分析1.3. 債券價(jià)值對(duì)市場(chǎng)收益率變化的一階敏感度衡量指標(biāo)：久期1.3.1. PVBP1.3.2. 價(jià)格久期（美元久期）1.4. 久期的特性：非對(duì)稱(chēng)性與線性1.5. 凸度1.5.1. 凸度的特性：對(duì)稱(chēng)性與非線性1.5.2. 凸度的價(jià)值1.6. 一些特殊債券的久

2、期和凸度1.7. 債券投資組合的久期和凸度1.8. 久期應(yīng)用：債券組合現(xiàn)金流匹配1.9. 基于久期和凸度的交易策略1.10. 久期與凸度的局限性第三章傳統(tǒng)債券定價(jià)原理與價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)衡量體系第二章中講述了從利率、收益率等最為基礎(chǔ)的的債券投資分析要點(diǎn)，本章開(kāi)始我們將知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到債券的定價(jià)和價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)上。債券分析的核心就是對(duì)現(xiàn)金流的分析，對(duì)債券以及債券組合的定價(jià)往往決定于未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值，所以要理解債券定價(jià)原理，先要從債券現(xiàn)金流分析開(kāi)始。在上一章中，我們已經(jīng)對(duì)現(xiàn)金流的現(xiàn)值終值等做了一個(gè)最基本的了解，本章中會(huì)更為詳細(xì)和具體地解釋現(xiàn)金流分析理論，然后對(duì)到期收益率這一重要的債券分析工具做具體講解，并用實(shí)例幫助讀

3、者加深理解。在本章的后半部分，重點(diǎn)講述債券價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)衡量體系中兩個(gè)重要概念一一凸度和久期，以及由此派生出來(lái)的交易策略。最后對(duì)它們的局限性作簡(jiǎn)單介紹。3-1債券現(xiàn)金流分析固定的現(xiàn)金流是債券的基本特征之一，在本書(shū)第二章中，我們已經(jīng)對(duì)單筆現(xiàn)金流和現(xiàn)金流束作了一些簡(jiǎn)單講解。本節(jié)中將以實(shí)際市場(chǎng)中的一些典型債券和債券組合為例對(duì)單個(gè)債券和現(xiàn)金流以及由此發(fā)展的債券組合的現(xiàn)金流知識(shí)進(jìn)行講解。單個(gè)債券的現(xiàn)金流單個(gè)債券的現(xiàn)金流根據(jù)債券的不同類(lèi)型而有所不同，主要有零息券和附息券兩種。重溫一下前面學(xué)習(xí)過(guò)的零息券和附息券知識(shí)。零息券不規(guī)定票面利率，貼現(xiàn)發(fā)行，到期后按面值支付，貼現(xiàn)與面值之間的差額就是實(shí)際支付的利息。在整個(gè)債

4、券持續(xù)期內(nèi)只發(fā)生一筆現(xiàn)金流是這零息券的最重要特征。而附息券是指在票券上附有息票，按一定期限分期付息的債券。附息券一般都規(guī)定票面利率，在償還期限內(nèi)給持有人帶來(lái)一系列的現(xiàn)金流是附息債的一個(gè)基本特點(diǎn)。附息債因?yàn)榉制讷@取的利息收人可存人銀行或購(gòu)買(mǎi)債券等進(jìn)行再投資，在債券償還期限內(nèi)看相當(dāng)于復(fù)利性質(zhì)的債券，所以在分析時(shí)我們一般都以復(fù)計(jì)利息的形式進(jìn)行推算。目前國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)上大部分中長(zhǎng)期債券采取附息債券的形式。零息債券的現(xiàn)金流零息券的分析主要集中于對(duì)其現(xiàn)值與終值的計(jì)算，而對(duì)不同到期期限的零息券的債券進(jìn)行定價(jià)的重要依據(jù)也同樣對(duì)于對(duì)其未來(lái)價(jià)值的折現(xiàn)。以下面的簡(jiǎn)例來(lái)加以說(shuō)明。例如，一支期限為1年的零息債，發(fā)行時(shí)的價(jià)值

5、為98元，到期支付100元，其內(nèi)收益率是r,那么有198M(1+r)=100=r=2.04%,這既是零息券的內(nèi)部收益率，也是一年期即期利率。如果投資人在1年期間里的第150天要按一定價(jià)格買(mǎi)進(jìn)同一支零息債，那么按2.04%的收益率為其定價(jià)，其參考價(jià)格是Pb=100一而=99.17元?？梢?jiàn)，如果投資者按99.17元的價(jià)格買(mǎi)入債券，到期未時(shí)仍可獲得2.04%的至IJ12.04%365期收益率。以.2.04%為基準(zhǔn)，再來(lái)看兩種不同情況：如果投資者當(dāng)時(shí)以98.77元的價(jià)格買(mǎi)入，則到期回報(bào)率為：1501+150<365)理-=150=3.06%。如果投資者以99.5元價(jià)格買(mǎi)入，則到期回報(bào)率為:98.

6、7736515010099.57r150=1.05%。365標(biāo)1+%0<365)由上可見(jiàn)，在到期前的某個(gè)時(shí)點(diǎn)將買(mǎi)入價(jià)分別在99.17元的基礎(chǔ)上增加和減少0.4元，則回報(bào)率分別下降了99bp和上升101bp。在實(shí)際市場(chǎng)操作中，往往這種即定買(mǎi)入價(jià)格后，再計(jì)算收益率的方式更為實(shí)用。而對(duì)于這種情況下零息券的定價(jià)，一般地選取市場(chǎng)收益率曲線上對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)的即期利率S,代入公式(3-1)進(jìn)行計(jì)算。AP=(3-1)m1S其中：P債券價(jià)格S市場(chǎng)即期利率m期限A投資面值附息債券的現(xiàn)金流附息債券與零息券不同，附息券在存續(xù)期間產(chǎn)生一系列固定的現(xiàn)金流。這些現(xiàn)金流并不集中在某一時(shí)段，而是分散在期限內(nèi)不同的時(shí)點(diǎn)上。由于到

7、期時(shí)間的不同，每支現(xiàn)金流都有不同的現(xiàn)值，可以從這些現(xiàn)值相加的后得到整支債券的現(xiàn)值。例如，一支5年期附息券，面值100元，每年收到利率5元，求其現(xiàn)值FV:5555105一、.一一FV5=51+J+J+1055=100=r=5%。很明顯，這個(gè)5%即是附息債券的利1r1r1r1r1r率，也是其全部現(xiàn)金流折現(xiàn)后的內(nèi)部收益率。如果當(dāng)前的交易價(jià)格是108元，再以同樣的方式計(jì)算，得到：5555105FV5=51+5,十一J+J十=108nr=3.24%內(nèi)部收益率為3.24%。但在大部分時(shí)5123451r1ri1r(1r(1r候，內(nèi)部收益率并不能真正衡量債券的現(xiàn)值，特別是在投資者要求了解市場(chǎng)上某支特定債券的情

8、況下，更是需要通過(guò)市場(chǎng)即期利率折現(xiàn)的方法進(jìn)行計(jì)算?；仡櫳弦徽卢F(xiàn)金流折現(xiàn)公式，存在一組即期利率S1,S2,|,Sn的情況下,我們知道：XXPVn:121§1S2XX。HMInn1Sn1SnJXX0=n'nt41Sn1Sn假設(shè)在一個(gè)特定時(shí)點(diǎn)上市場(chǎng)可以得到：1到5年的即期利率分別為1.84%、2.24%、2.49%、2.63%和2.71%,仍以上例為題,1S11S21S31S41S5J+5-+1055=110.7元。這里的110.7元就是在這個(gè)時(shí)點(diǎn)上由即期利率推算出來(lái)的該附息債的現(xiàn)值，投資者在操作時(shí)可以據(jù)此為依據(jù)來(lái)判斷實(shí)際交易價(jià)格是否與之相當(dāng)，再考慮其它各種市場(chǎng)因素，對(duì)現(xiàn)券作為合理

9、的定價(jià)。債券組合的現(xiàn)金流一般而言，債券投資者并不單單購(gòu)買(mǎi)一支債券，大多數(shù)情況下會(huì)將資金投資于幾支債券。不同債券由于發(fā)行時(shí)間，付息頻率不同而會(huì)產(chǎn)生不規(guī)則的現(xiàn)金流。我們先用本息拆離債券為例幫助讀者了解一下債券組合的概念。要前面的學(xué)習(xí)中，我們知道本息拆離債券實(shí)際上是將附息券在未來(lái)的每一筆現(xiàn)金都拆分出來(lái)，與本金一起，形成一組各自獨(dú)立的零息債券。例如，一支面值100元，票面利率5%,期限5年的本息拆離附息券，在進(jìn)行了拆離后，就會(huì)形成6支獨(dú)立的零息債。根據(jù)零息債折現(xiàn)的知識(shí)，我們把6支零息券分別折現(xiàn)，得到：,，一一5第一年利息折現(xiàn)：FV1=4.76兀15%一,一，5一第二年利息折現(xiàn)：FV2=2=454兀15

10、%,，一一5第三年利息折現(xiàn)：FV3=3=4.32兀15%5第四年利息折現(xiàn)：FV4=5-=4.11兀15%5第五年利息折現(xiàn)：FV5=5=3.92兀15%本金折現(xiàn)：FV=100=95.24元15%這樣，這一支拆離后的附息券可以看做是六支零息券的組合，而每支零息券都有各自的交易價(jià)格和代碼，在市場(chǎng)上可以作為獨(dú)立品種進(jìn)行交易。實(shí)際上這是一個(gè)可以在五年內(nèi)的平均時(shí)間段內(nèi)分別帶來(lái)一定的現(xiàn)金流的債券組合，見(jiàn)圖3-1。本金轉(zhuǎn)換的現(xiàn)金流口利息轉(zhuǎn)換的現(xiàn)金流圖3-1零息債券組合的現(xiàn)金流100現(xiàn)金流量Q0908070605040302010345拆離債-零息債組合現(xiàn)金流圖可以想象，這將是一組同理，由一組附息債券組成的債券

11、組合也可以理解為由多個(gè)系列零息債券組成的現(xiàn)金流。在不同時(shí)間期限上的許多未來(lái)收益的組合，如圖3-2。圖3-2多個(gè)附息券組成的現(xiàn)金流圖示債券組合現(xiàn)金流的類(lèi)型從圖3-2看到，在由五支附息券組成的一個(gè)債券組合里，由于到期時(shí)間的長(zhǎng)短不同而形成現(xiàn)金流分布的不均衡性。很明顯在總共十年的期限里，第3年和第9、第10年是現(xiàn)金流最為集中的時(shí)期。對(duì)于一個(gè)債券組合，我們可以按照在組合的時(shí)間期限內(nèi)不同的現(xiàn)金流量，將其分為啞鈴型、子彈型和梯子型。啞鈴型債券組合是指?jìng)F(xiàn)金流集中于期限兩端的債券組合，如圖3-2所示，在10年期限的兩頭集中了大部分的現(xiàn)金流，是一個(gè)典型的啞鈴型組合。子彈型債券組合是現(xiàn)金流都集中于時(shí)限中某個(gè)特定

12、時(shí)點(diǎn)的債券組合。如圖3-3所示，大部分現(xiàn)金流量集中于期限中的第6年和第7年。圖3-3子彈型債券組合構(gòu)成的現(xiàn)金流圖示梯子型債券組合是指現(xiàn)金流平均分布于期限限中各個(gè)時(shí)點(diǎn)的債券組合，如圖均勻地分布在整個(gè)整個(gè)期限的不同時(shí)段上。圖3-4梯子型債券組合構(gòu)成的現(xiàn)金流圖示3-4,可以看到梯子型的現(xiàn)金流比較現(xiàn)金流量口債券A債券B口債券C口債券D債券E由于債券期限長(zhǎng)短對(duì)于債券的風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)有很大的影響，所以不同類(lèi)型的債券組合代表了投資者的不同風(fēng)險(xiǎn)偏好,對(duì)于這方面的具體內(nèi)容，將在本書(shū)的第十一章“債券投資策略”中為讀者詳細(xì)描述。3-2債券到期收益率債券的到期收益率是對(duì)不同債券進(jìn)行價(jià)值衡量的一個(gè)重要指標(biāo)。本節(jié)將在前述知識(shí)的

13、基礎(chǔ)上深入分析債券到期收益率的計(jì)算，由收益率來(lái)推算債券價(jià)格，并通過(guò)不同債券之間的收益率水平進(jìn)行相對(duì)價(jià)值分析。債券到期收益率的計(jì)算在前面的章節(jié)中，我們向大家介紹了即期利率，遠(yuǎn)期利率及各種其它利率形式。但對(duì)于一般的投資者，并不總是在債券發(fā)行時(shí)就買(mǎi)入并持有到債券到期時(shí)為止。往往是在債券發(fā)行后在交易市場(chǎng)上買(mǎi)入，持有一斷時(shí)期后在交易市場(chǎng)上賣(mài)出。這樣一來(lái)，就需要一個(gè)對(duì)在債券存續(xù)期內(nèi)進(jìn)行投資行為進(jìn)行判斷的標(biāo)準(zhǔn)。在這里，我們引入到期收益率的概念。債券的到期收益率(Yeild-To-Mmaturity)是指投資者在即時(shí)市場(chǎng)上買(mǎi)入債券后，假設(shè)其持有到期時(shí)的收益率，是在整個(gè)債券存續(xù)期間內(nèi)的平均回報(bào)水平的一個(gè)測(cè)試值。

14、下面我們分別就零息券和附息券的到期收益率進(jìn)行了解。零息券的到期收益率零息券由于只發(fā)生一筆現(xiàn)金流所以其收益率的計(jì)算公式與前面所講的計(jì)算零息券折現(xiàn)券的公式比較相象:1YTM(3-2)FV-PVm.PV其中YTM到期收益率FV債券終值PV債券現(xiàn)值m到期期限例如，有一支2002年1月1日發(fā)行的一年期零息券，在2002年2月28日的市場(chǎng)價(jià)格為98.5元，到期時(shí)按面值3-2:100元支付，問(wèn)投資者在2002年2月28日買(mǎi)入后，持有到期時(shí)這筆投資的到期收益率是多少？按公式iYTM=1.03%100-98.5334365.98.5我們注意到，公式中的m單位決定了到期收益率的單位，在計(jì)算上例時(shí)，m的單位為年，所

15、以1.03%就是投資者在2002年2月28日買(mǎi)入該券后，假設(shè)其持有到2002年12月31日時(shí)的到期收益率。附息券的到期收益率附息券債是市場(chǎng)上最為重要的投資品種，所以對(duì)附息券的到期收益率的計(jì)算比零息債更有現(xiàn)實(shí)意義。附息券的到期收益率是指使債券未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于其當(dāng)前價(jià)格的內(nèi)部收益率。讓我們先加回顧一下附息券的內(nèi)部收益率計(jì)算公式：PV=x0X-XI川HX1r|1r1r按到期收益率的定義，假設(shè)以下情景：一支2002年1月1日發(fā)行的三年期附息債券，票值100元，票面利率5%,每年1月1日付息一次，在2003年1月1日該券市場(chǎng)交易價(jià)格為104.5元，問(wèn)如果在2003年1月1日買(mǎi)入并持有到期，其收益率為

16、多少？按公式得：血"A100(1+丫2可見(jiàn)式中的Y就是需要計(jì)算的到期收益率。將上式簡(jiǎn)單變形，得到：丫=2.658%。這個(gè)數(shù)值代表了投資者在該時(shí)點(diǎn)買(mǎi)入后再持有到期時(shí)的收益率水平，也就是未來(lái)所有的現(xiàn)金流按其進(jìn)行折現(xiàn)后將得到債券的現(xiàn)值，也就是為什么說(shuō)到期收益率是指使債券未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于其當(dāng)前價(jià)格的內(nèi)部收益率的原因。投資者在大多數(shù)情況下并不是剛好在付息日購(gòu)入債券，我們?cè)偌僭O(shè)投資者在2002年6月30日以104元買(mǎi)入該附息券，則有：555100104=+1041841841184.2184夕(1+丫3365(1+丫3/3651(1+丫3/365二(1十丫)365”同樣，變形計(jì)算后可得：Y=

17、4.3%,由此，我們得到一個(gè)計(jì)算附息債券的通用公式:CC嚕心1-TL加C+A(3-3)mm-n1YTM1YTM其中PV附息券的終值C附息券的票面利息YTM-到期收益率A附息券面值m成交日到下一次付息日的時(shí)間n成交日到到期日的剩余付息年限在這個(gè)公式中，m是指從債券成交日到下一次付息日的剩余時(shí)間，上例中的184。是以年為單位的剩余時(shí)間，365由于到期收益率的計(jì)算時(shí)限是根據(jù)投資者投資債券的成交日計(jì)算的，所以關(guān)于剩余時(shí)間的計(jì)算讀者需要特別注意。持有期收益率認(rèn)識(shí)了到期收益率后，下面再介紹持有期收益率，以避免讀者混淆。持有期收益率即持有期回報(bào)率，是指投資者在投資債券后在到期日前將其賣(mài)出，在一段持有的時(shí)間里

18、的收益水平。這是指在一段時(shí)間內(nèi)的投資回報(bào)水平，與到期收益率的計(jì)算水平和方法有很大的區(qū)別。在上仞中，2002年1月1日發(fā)行的三年期附息債券，票值100元，票面利率5%,每年1月1日付息一次，在2003年1月1日該券市場(chǎng)交易價(jià)格為104.5元，投資者在2003年1月1日以市場(chǎng)價(jià)買(mǎi)入并持有到2003年12月31日，以105.5元賣(mài)出，其持有期回報(bào)率為：1005%105.5-104.5104.5Y=100%.5.74%上述中可見(jiàn)，持有期回報(bào)計(jì)算中分子包含兩個(gè)部分，一是資本利得部分，一是持有期間的利息回報(bào)部分；分母是投資者投資債券時(shí)的投資成本。在已知投資成本與投資期限收入的情況下，可以很方便地求出持有期

19、間的回報(bào)率。從到期收益率計(jì)算債券價(jià)格計(jì)算出到期收益率后，投資者可以很方便地比較債券之間的投資價(jià)值。特別是對(duì)于在市場(chǎng)上進(jìn)行實(shí)際操作的投資者來(lái)說(shuō)，到期收益率是最為重要和普遍的一個(gè)比較指標(biāo)。在實(shí)際投資中，如果要求在到期時(shí)獲得一定量的收益，可以直接按上述公式進(jìn)行換算，如前例中，2002年1月1日發(fā)行的三年期附息債券，票值100元，票面利率5%,每年1月1日付息一次，在2003年1月1日有投資者意愿投資該債券，希望在持有到期后得到8%的回報(bào)率。那么在當(dāng)時(shí)以什么價(jià)格購(gòu)入能夠?qū)崿F(xiàn)6%投資目標(biāo)？我們以YTM=6%代入公式（3-3）,可以得到：PV二5116%51002216%16%=98.17元這就意味著投資

20、者在當(dāng)時(shí)以98.17的市場(chǎng)價(jià)格購(gòu)入該附息債券，持有到期將有6%的到期回報(bào)率，如果買(mǎi)入價(jià)格高于98.17元，那么到期的收益將低于6%;反之，如果買(mǎi)入價(jià)格低于98.17元，則到期收益率將高于6%。讀者可以在Excel里進(jìn)行換算，體驗(yàn)一下在不同到期收益期望下的投資成本。YTM=6%代入附息券到期收益率計(jì)算公式定價(jià)引擎的概念繼續(xù)上面的例子進(jìn)行分析，我們?cè)趯⒁粋€(gè)既定的收益率數(shù)值CCCAPV'=98.17元，就PV'=C+C一1r+HIHI+C石+A一而得到一個(gè)現(xiàn)值(1+YTM戶(hù)(1+YTM$(1+YTM)(1+YTM)是在已定收益率的情況下的債券定價(jià)。這個(gè)公式可以看做是進(jìn)行收益率定價(jià)的通

21、用引擎。在已知一個(gè)債券息票利率、票面價(jià)值、付息時(shí)間和成交時(shí)間和到期收益率的前提下，就可能從公式中得出一個(gè)當(dāng)前的投資價(jià)格，這就是到期收益率定價(jià)引擎的概念。同樣道理，在前一章中提到的基于即期利率的折現(xiàn)公式PVf合刖七代nCA=£-C+A一(3-4)nny1S1Sn也可以做為即期利率定價(jià)引擎，在假設(shè)已知一組即期利率和債券基本情況時(shí)，可以從公式中得到一個(gè)合理的現(xiàn)價(jià)值，如：2002年1月1日發(fā)行的三年期附息債券A,票值100元，票面利率5%,每年1月1日付息一次，在2003年1月1日有投資者意愿投資該債券，而當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)即期利率為§=2.78%,S2=2.83%,那么在這樣的即期利率條

22、件下，什么價(jià)格是比較合理的市場(chǎng)交易價(jià)格？根據(jù)上述公式可以得到：55100PV=1+2+2=104.16兀12.78%12.83%12.83%現(xiàn)值PV"=104.16是指根據(jù)當(dāng)時(shí)的即期利率（§=2.78%,S2=2.83%）,得到的附息債券A的市場(chǎng)定價(jià)，可以稱(chēng)公式（3-4）為即期利率定價(jià)引擎。定價(jià)引擎的作用在于能通過(guò)公式根據(jù)條件快捷地得到一個(gè)債券的定價(jià)，這對(duì)于本書(shū)今后的學(xué)習(xí)有重要的意義。基于收益率的債券相對(duì)價(jià)值分析到期收益率具有明顯的實(shí)用價(jià)值，通過(guò)計(jì)算市場(chǎng)上不同到期時(shí)間債券的到期收益率，我們獲得一系列到期收益率數(shù)值，如表3-1。表3-12003年1月24日上海證券交易所上市附

23、息國(guó)債到期收益率表債券代碼債券名稱(chēng)收市價(jià)（元）存續(xù)期（年）到期收益率00069696國(guó)債130.283.382.37%00089696國(guó)債105.160.761.75%00970497國(guó)債130.824.612.59%00990599國(guó)債103.044.562.55%00990899國(guó)債103.386.662.74%01010321國(guó)債102.955.242.68%01010720國(guó)債113.3618.523.29%01011021國(guó)債(10)101.188.672.80%01011221國(guó)債(12)101.908.762.80%01011521國(guó)債(15)101.695.902.69%010

24、20302國(guó)債99.389.232.61%01021002國(guó)債(10)99.256.562.52%01021302國(guó)債(13)99.4814.682.64%01021402國(guó)債(14)100.334.742.58%01021502國(guó)債(15)101.176.862.74%表3-1所列的是根據(jù)上海證券交易所2003年1月27日收盤(pán)價(jià)格計(jì)算出的附息國(guó)債到期收益率。表中的“存續(xù)期”是指?jìng)瘡?003年1月27日起至到期日的時(shí)間，“到期收益率”與“存續(xù)期”一一對(duì)應(yīng)，表明持有該支債券至存續(xù)期未，這筆投資將得到相應(yīng)的到期收益率。如國(guó)債20國(guó)債，如果在當(dāng)天以收盤(pán)價(jià)格113.36元買(mǎi)入，持有至到期（18.52

25、年），回報(bào)率將是3.29%。通過(guò)這樣的簡(jiǎn)單比較，可以對(duì)債券之間相對(duì)價(jià)值進(jìn)行分析。如表3-1中的21國(guó)債和21國(guó)債，到期收益率都為2.8%,而存續(xù)期分別為8.67年和8.76年。持有21國(guó)債8.67年就能得到與持有21國(guó)債8.76年相同的到期收益，可以說(shuō)持有21國(guó)債相對(duì)更為合算。又如21國(guó)債與02國(guó)債，到期收益率分別為2.68%和2.64%,而存續(xù)期分別為5.24年和14.68年，兩者的收益率水平相近，而存續(xù)期即投資者的持有期相差近10年，顯然前者的投資價(jià)值要高于后者。根據(jù)收益率與彳券價(jià)格呈反比的規(guī)律，理論上02國(guó)債面臨著大幅下跌的風(fēng)險(xiǎn)。這種從到期收益率和存續(xù)期長(zhǎng)短角度來(lái)考慮債券的投資價(jià)值的方法

26、我們稱(chēng)為基于到期收益率的債券相對(duì)價(jià)值分析，也是債券分析中最簡(jiǎn)單，最直觀的分析方法。3-4債券價(jià)值對(duì)市場(chǎng)利率變化的一階敏感度衡量指標(biāo)：久期上一節(jié)中，我們從到期收益率的角度出發(fā)，分析比較了市場(chǎng)上交易的附息國(guó)債的投資價(jià)值，到期收益率分析雖然比較直觀簡(jiǎn)便，但也存在不少缺陷，難以滿(mǎn)足投資者對(duì)于債券整體分析的更高層次要求。在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到投資者持有長(zhǎng)期債券將面臨收益率風(fēng)險(xiǎn)，收益率的變動(dòng)將會(huì)直接導(dǎo)致債券價(jià)格水平的上下波動(dòng)。這種波動(dòng)幅度可以稱(chēng)為債券價(jià)值相對(duì)于利率變化的敏感度。為了將這種敏感度量化，本節(jié)中引入債券分析中一個(gè)重要概念一一久期(Duration)o在本節(jié)中，我們將深入分析久期的一般概念、

27、性質(zhì)和應(yīng)用。并在后半部分講述另一個(gè)衡量債券波動(dòng)幅度的招標(biāo)，凸度(Convexity)。價(jià)格久期(DollarDuration)債券是一種固定收益證券，其現(xiàn)金流收入由于折現(xiàn)因素的存在而容易受到利率變動(dòng)的影響。債券價(jià)格對(duì)于利率變動(dòng)的影響的程度就是債券價(jià)格的敏感度。債券價(jià)格相對(duì)于利率的變動(dòng)幅度就是最簡(jiǎn)單的久期概念。假設(shè)利率和價(jià)dPdy格變動(dòng)分別為dy和dP,那么dP就表不在利率變動(dòng)一定程度時(shí)，債券價(jià)格發(fā)生的相應(yīng)變動(dòng)。從微積分的角度理.dP,，一一,*一，、dy解，dP表示在利率y發(fā)生一個(gè)單位變動(dòng)時(shí)價(jià)格P的變動(dòng)量，從價(jià)格收益率曲線理解，是圖形上某一點(diǎn)切線的斜,dP,、，一一一，.率。我們將稱(chēng)為價(jià)格久期

28、(或美元久期)，下文將用符號(hào)D來(lái)表示。dy例如，面值為100元的零息券當(dāng)收益率為5%時(shí)的，現(xiàn)值為95.24元，假如收益率上長(zhǎng)到6%,那么價(jià)格將會(huì)下降到94.34元，可見(jiàn)，當(dāng)收益率上升了1%(即100bp)時(shí)，價(jià)格下跌了0.8985元。按照價(jià)格久期的概念，D=dP=94.343.24=gg85,表示當(dāng)收益率變動(dòng)10000bp時(shí)，價(jià)格變動(dòng)達(dá)到89.85元。其中的負(fù)號(hào)代表了dy6%-5%-價(jià)格變動(dòng)的方向。由于收益率與價(jià)格一般都呈現(xiàn)反向變動(dòng)關(guān)系，所以收益率增加時(shí)，價(jià)格變化的符號(hào)一般是負(fù)號(hào)?；c(diǎn)現(xiàn)值(PVBP)在了解了價(jià)格久期的基礎(chǔ)I吃念后，再講述一下PVBP的概念。PVBP(PresentValuep

29、erBasisPoint)即基點(diǎn)現(xiàn)值,是指當(dāng)利率每波動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)(1bp)時(shí)，根據(jù)已知的收益率計(jì)算的已知的現(xiàn)金流量在現(xiàn)值上的差額。這一指標(biāo)反映了每當(dāng)市場(chǎng)利率波動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，對(duì)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值會(huì)有多大的影響，可以比較直觀地體現(xiàn)現(xiàn)金流量對(duì)利率的敏感性。假定市場(chǎng)收益率是y',并且在收益率為y'時(shí)債券價(jià)值為P(y),在利率變動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)1bp時(shí)，有以下公式可得至ijPVBP值:P(yr-1bp)P(y)PVBP=1p(y)P(y>1bp)(3-5)P(ydbp)P(y-1bp)2假設(shè)兩支期PM分別為5年和10年的附息債券，票息率都為5%,當(dāng)前的到期收益率為5%,一年付息一次。根據(jù)上一節(jié)

30、的收益率變動(dòng)計(jì)算公式，分別計(jì)算在收益率向上和向下波動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí)的債券價(jià)格變動(dòng)情況：表3-25年與10年期債券等收益率價(jià)格變動(dòng)表收益率變動(dòng)5年期附息券價(jià)格(元)10年期附息券價(jià)格(元)5.00%1001005.01%99.956899.92284.99%100.0433100.0773比較兩種情況下的債券價(jià)格變化程度，可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期品種與短期品種相比在利率變化情況相同的情況下波動(dòng)幅度更大，也可以說(shuō)是長(zhǎng)期債券比短期債券對(duì)收益率變化更為敏感，變動(dòng)比率比較見(jiàn)表3-3和圖3-5。表3-35年與10年期債券敏感度對(duì)比表5年期附息券差額(元)10年期附息券差額(元)收益率上升1bp時(shí)0.04320.0772收

31、益率下降1bp時(shí)0.04330.0773平均PVBP值0.043250.07725圖3-55年期與10年期債券平均PVBP值差額5年與10年期債券平均PVB植5年與1坪期債券平均PVB值PVBP是一個(gè)非常重要的概念，在很大程度上可以用來(lái)衡量在利率變動(dòng)時(shí)，債券頭寸的變動(dòng)幅度。如某投資者買(mǎi)進(jìn)上仞中5年期和10年期債券各10000元，當(dāng)利率上升1bp時(shí)，該投資者整個(gè)投資頭寸的下跌幅度就是10000父0.0433+10000X0.0773=1206元。所以，對(duì)于判斷某一支債券或者債券投資組合的利率敏感程度，PVBP是一個(gè)很有用的指標(biāo)。但是，在比較不同的債券以及利率變化的時(shí)間性上，PVBP缺乏統(tǒng)一性。所

32、以，久期仍是債券進(jìn)行利率敏感度比較中具有普遍性意義的指標(biāo)。麥考利久期(MacaulayDuration)與修正久期(ModifiedDuration)對(duì)于附息債券，由于債券的支付時(shí)間分布在不同的時(shí)間期限上，所以每一期的息票收入可以看做有各自各不相同的到期時(shí)間。這樣，每一次現(xiàn)金收入發(fā)生的時(shí)間由于期限的不同在整個(gè)債券的現(xiàn)金流束中占到的比重并不相同，所以對(duì)一系列現(xiàn)金流的時(shí)間期限進(jìn)行量度也是債券價(jià)格對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)敏感度衡量的標(biāo)準(zhǔn)。1938年弗里德里克.麥考利（FrederickMacaulay）最早提出久期（Duration）的概念，將其做為債券價(jià)格波動(dòng)性或者利率風(fēng)險(xiǎn)的衡量指標(biāo)。麥考利提出以未來(lái)現(xiàn)金流的貼

33、現(xiàn)值除以債券價(jià)格為權(quán)重，將各期現(xiàn)金流期限相乘得到加權(quán)平均值做為量度債券價(jià)格對(duì)收益率變動(dòng)敏感度的指標(biāo)。麥考利久期概念的中心思想就是將每一期現(xiàn)金折現(xiàn)價(jià)值與時(shí)間期限進(jìn)行加權(quán)，得到一個(gè)總的“到期期限”。簡(jiǎn)單地說(shuō)，考慮到時(shí)間因素的債券“期限”稱(chēng)為麥考利久期（下文用Dmac表示），一般以息票和本金支付時(shí)間的加權(quán)平均值來(lái)計(jì)算。用公式可表示為:(3-6)TD八tmact=4其中，A債券現(xiàn)價(jià)A在時(shí)點(diǎn)t時(shí)的債券價(jià)格At公式（3-6）表明久期是現(xiàn)金流現(xiàn)值的加權(quán)值，從公式中的t是每一筆現(xiàn)金流的時(shí)間數(shù)值。而丫）就是麥考A利久期中的權(quán)重，可定義為wt。其中的分子At是未來(lái)t時(shí)點(diǎn)上現(xiàn)金流R的折現(xiàn)價(jià)值，而分母A是計(jì)算期1yT

34、的債券現(xiàn)值，公式（3-6）也即Dmac=£tMwt。t4公式（3-6）也可以用泰勒展開(kāi)式推導(dǎo)得出，在下面我們進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)之前，先來(lái)用一個(gè)簡(jiǎn)例了解一下麥考利久期的概念。例如，02年1月1日一支期限為3年的附息券債，票面利率是8%,面值100元，每年12月31日付息，02年5月1當(dāng)前的市場(chǎng)交易的收益率假設(shè)為10%,求久期。由于到當(dāng)前交易日間止該券仍沒(méi)有付息，所以在在到期前共會(huì)發(fā)生3次現(xiàn)金流。通過(guò)表格計(jì)算的形式來(lái)對(duì)這幾期現(xiàn)金流折現(xiàn)和權(quán)重因子進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。表3-4久期計(jì)算明細(xì)表abcdefg年限付息次數(shù)當(dāng)期現(xiàn)金流折現(xiàn)因子（1書(shū)0%）t現(xiàn)金流折現(xiàn)價(jià)值（c刈）w久期（bMf）1180.90917.2

35、7270.07650.07652280.82646.61160.06960.1392331080.751381.14200.85392.5617總計(jì)95.02631.00002.7774表3-4中每一列都用一個(gè)字母來(lái)表示，b列表示現(xiàn)金流產(chǎn)生的次數(shù)，c列是各期發(fā)生的現(xiàn)金流量，而e是經(jīng)過(guò)折現(xiàn)的各期現(xiàn)金流，f列是公式中的wt,而g列就是最后求得的久期。在本例中，我們假設(shè)當(dāng)時(shí)市場(chǎng)交易的債券收益率為10%,在統(tǒng)計(jì)了三期現(xiàn)金流的折現(xiàn)后得到的95.0263的數(shù)字就是當(dāng)時(shí)市場(chǎng)交易的債券價(jià)格。將各個(gè)期限的久期累加后得到2.7774就是該債券在02年5月1日時(shí)點(diǎn)上的債券麥考利久期。在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道，久期實(shí)

36、際上是在收益率價(jià)格曲線上的某一點(diǎn)上切線的斜率。如果讀者熟悉高等數(shù)學(xué)的微積分中泰勒展開(kāi)式(Taylorexpansion)的概念，可以取展開(kāi)式中的一階部分，就能得到一個(gè)用數(shù)學(xué)方程式表示久期公式：f(y+Ay)=f(y)+f'(y)Ay口f(y+Ay)f(y)=f'(y)Ay,這里我們?nèi)√├照归_(kāi)式一階求導(dǎo)的部分。假設(shè)有利率y與債券價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系P(y),那么P(y+Ay)-P(y)=Py)，所以在時(shí)間期限TTTT內(nèi)，如果現(xiàn)金流為A,則P(y)=£Att=ZA(1+y)，再行求導(dǎo)，得到P'(y)=£At(1)(1+y),。t4(1-y)t=y假設(shè)在t

37、時(shí)點(diǎn)上，該券的交易價(jià)格是A,那么將P'(y)除以現(xiàn)值A(chǔ),變形得到修正久期Dm0d:DmodDmod=(1+y)Dmac,=-PSn'tAT=tA-t,特別地，如果定義AAy(1y)(1y)(1y)Ay(1y)那么:macDmod(1y)(3-7)(3-8)可以看到公式(3-8)與上面講到的麥考利久期公式(3-6)是一致的，反映了現(xiàn)金流的現(xiàn)值在進(jìn)行時(shí)間加權(quán)后得到的期限。而修正久期則與麥考利久期相區(qū)別，在于兩者的換算公式(3-7)。久期一般有以下幾個(gè)特征：1 .零息券的久期就是它的到期時(shí)間，這一點(diǎn)將在本章后半部分具體講述。2 .當(dāng)息面利率不變時(shí)，債券的久期隨著債券到期時(shí)間的增長(zhǎng)而增

38、長(zhǎng)。3 .到期日不變時(shí)，債券的久期隨著息票利率的降低而延長(zhǎng)。注3-1:泰勒展開(kāi)式(Taylorexpansion)：f(y+Ay)定f(y)+f'(y)Ay+)Ay2+|23-5凸度本書(shū)在上一節(jié)中講到，久期是債券價(jià)格收益率曲線上斜率。如果用債券價(jià)格P作為收益率y的函數(shù)（即P（y）,那么久期即為該函數(shù)的斜率，用以衡量債券價(jià)格因?yàn)槭找媛实淖儎?dòng)而產(chǎn)生的變動(dòng)。而本節(jié)講到的凸度則是斜率相對(duì)于收益率變動(dòng)而產(chǎn)生的變化。斜率的變動(dòng)的幅度是衡量?jī)r(jià)格曲線彎曲程度的指標(biāo)。(3-9),與久期定義為D=上空"一樣，凸度定義為C二PdyPdy2Pt(1y)1T=£P(1+y),，得到:1-2P

39、(1y)T't(1t)t4Pt(1y)t(3-10)11從推導(dǎo)的過(guò)程中，可以看到，凸度是價(jià)格收益率曲線的二階導(dǎo)數(shù)值，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是收益率變動(dòng)一個(gè)單位造成第一階導(dǎo)數(shù)變動(dòng)的程度，也就是價(jià)格收益率函數(shù)斜率因收益率變動(dòng)而產(chǎn)生的變動(dòng)量。下面我們?nèi)杂靡粋€(gè)例子來(lái)幫忙讀者理解凸度的概念。假設(shè)一90年發(fā)行的附息債券票面利率為6%,期限15年，一年付息一次。其價(jià)格將隨根據(jù)收益率的變動(dòng)而發(fā)生一系列變化，當(dāng)該券到期收益率從5%上升到8.2%,我們可以根據(jù)收益率定價(jià)引擎得到每個(gè)收益率下的債券價(jià)格，并可以分別計(jì)算該債券的久期和凸度：表3-5凸度計(jì)算表到期收益率債券價(jià)格（兀）一階導(dǎo)數(shù)（價(jià)格久期）二階導(dǎo)數(shù)久期5.00

40、%110.385.50%105.02-1072.1718424.17175.445.80%101.97-1016.906.10%99.046.70%93.50-922.2023345.63249.686.90%91.75-875.517.20%89.217.80%84.40-800.7112299.28145.728.20%81.40-751.51在表3-5中，當(dāng)收益率從5%上升到5.5%時(shí)，債券價(jià)格從110.38元下降到105.02元，計(jì)算一階導(dǎo)函數(shù)在y=5.5%時(shí)的數(shù)值：=1072.17;105.02-110.385.50%-5.00%同理，我們可以計(jì)算出當(dāng)y=5.80%時(shí)的一階導(dǎo)函數(shù)的數(shù)

41、值:=-1016.90；101.97-105.025.80%-5.50%第二階導(dǎo)函數(shù)是第一階導(dǎo)函數(shù)的變動(dòng)率，在y=5.50%時(shí)的數(shù)值為:-101690-(-107217)(1072.,7)=18424.17,而根據(jù)公式(3-9),凸度在y=5.50%的數(shù)值，是以第二階導(dǎo)函數(shù)值除以5.80%-5.50%該點(diǎn)價(jià)格的價(jià)格：18424.17C=175.44105.02同理，我們可以計(jì)算當(dāng)y=6.7%和y=7.8%時(shí)的債券凸度，分別為249.68和145.72。凸度最大的用途就在于衡量債券價(jià)格敏感性時(shí)，配合一階導(dǎo)數(shù)提升衡量的精確性，當(dāng)價(jià)格敏感性衡量更加精確,使投資者在債券投資和資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理上能達(dá)到更理想

42、的結(jié)果。開(kāi)式的二階部分來(lái)表示債券的變化幅度。同久期一樣，對(duì)于凸度，我們同樣可以通過(guò)泰勒展取泰勒展開(kāi)式的二階部分，可得:P(yy)=P(y)P(y)yP(y)2P(y)2,、，-r、，+4yL兇=P(y+Ay)P(y)=P'(y)Ay十一(Ay，代入久期和凸度的公22D:一也；。二皿可得,PPP(yy)-P(y)=p(y)yP(y)2CP2y二P(yLy)-P(y)=-DPyy=22P(yy)-P(y)C2-，:PC2二-Dyy7一r二一Dyy我們得到一個(gè)最后的結(jié)論是關(guān)于債券價(jià)格變動(dòng)與久期和凸度關(guān)系的一個(gè)公式:P一.C.2=DAy+Ay(3-11)P2PC2公式(3-11)的刖半部分=-

43、DAy完全符合前面關(guān)于久期概念的描述，一Ay2則是加入了凸度C后修正的部P2分。由于Ay2是一個(gè)正數(shù)，凸度C和Ay2相乘后CAy2將會(huì)起到修正-DAy的作用，得到的債券價(jià)格變化比率2P7丁將會(huì)更加精確。當(dāng)然，如果收益率的變化幅度Ay比較小，則Ay2將會(huì)是一個(gè)非常小的數(shù)值，起到的修正作用也會(huì)非常有限。所以凸度在利率變化幅度越大時(shí)，起到的修正作用就越大。以上面例子，再度簡(jiǎn)單了解一下凸度修正作用:從表3-5中可以看到當(dāng)債券的收益率從5.5%增加到5.8%時(shí)，債券的價(jià)格久期為-1016.9,計(jì)算-1016.91016.9=9.97。101.97,P_.由(,=_D：y=-9.97父0.3%=-0.02

44、99,或-2.99%,事實(shí)上這比債券的價(jià)格下降得要多許多。PC2175.442（）2=DAy+兇=-9.97x0.3%+父（0.3%）=0.0299+0.0008=0.0291或-2.91%?？梢?jiàn)凸P度在一定程度上的確起到了修正根據(jù)久期計(jì)算的債券變動(dòng)值的作用。3-6債券投資組合的久期和凸度前面兩節(jié)中關(guān)于債券PVBP、久期和凸度的描述都是對(duì)于單個(gè)債券而言，但在實(shí)際操作中，投資者往往會(huì)投資于一組債券而不是單個(gè)品種，而且可能同時(shí)會(huì)有幾個(gè)不同的投資組合來(lái)進(jìn)行選擇,的利率敏感度進(jìn)行衡量。這樣就需要對(duì)一組債券投資組合我們先來(lái)看表3-2和表3-3里的例子，并再加入一支15年期債券。當(dāng)收益率發(fā)生1bp的變化時(shí)

45、時(shí)，從表中的數(shù)據(jù)可得到，三支附息券的平均PVBP值分另I是0.0433、0.0772和0.1037。很明顯，如果投資者買(mǎi)進(jìn)5年和10年債券各一個(gè)單位，則該組合在風(fēng)險(xiǎn)收益率變化1bp時(shí)受到的損失為0.0432+0.0772=0.1204,這與兩券的PVBP值相等；同理，如果購(gòu)入10年期和15年期，或者購(gòu)入5年期和PVBP值之和。15年期，這三種組合的變化都等于該組合中各收益率變動(dòng)5年期附息券價(jià)格（元）10年期附息券價(jià)格（元）15年期附息券價(jià)格（元）5.00%1001001005.01%99.956899.922899.89634.99%100.0433100.0773100.1039表3-65年

46、、10年與15年期債券等收益率價(jià)格變動(dòng)表5年期附息券差額（元）10年期附息券差額（元）15年期附息券價(jià)格（元）收益率上升1bp時(shí)0.04320.07720.1037收益率下降1bp時(shí)0.04330.07730.1039平均PVBP值0.043250.077250.1038表3-75年、10年與15年期債券敏感度對(duì)比表所以，可以說(shuō)債券組合中的PVBP值實(shí)際上就是組合中各支債券的PVBP值相加。由于PVBP本身就是價(jià)格相對(duì)于利率變動(dòng)的程度，所以上述規(guī)則和高等數(shù)字中導(dǎo)函數(shù)的和等于和有導(dǎo)函數(shù)定理是相同的原理。久期與PVBP代表的是相同的觀念，相對(duì)于PVBP而言，雖然久期相對(duì)于PVBP而言有更為廣泛的適

47、用性，但由于久期是加權(quán)后的“期限”概念，所以對(duì)于實(shí)際交易頭寸的衡量并沒(méi)有dPPVBP那么直接，根據(jù)D父P=，dy在久期與價(jià)格相乘后，得到與PVBP相同的數(shù)值。所以雖然投資組合的久期與PVBP有類(lèi)似的性質(zhì)，但在考慮時(shí)必須將P考慮在內(nèi)。將投資組合的價(jià)格與久期分別定義為P和D,并將構(gòu)成投資組合的個(gè)券的價(jià)格和久期分別定義為(3-12)TdPt)dy由于整個(gè)函數(shù)的加總，其導(dǎo)函數(shù)等于個(gè)別導(dǎo)函數(shù)的加總，所以久期D=PTdPt)tz4dy公式(3-12)表示，債券投資組合是構(gòu)成組合的各支債券的久期的加權(quán)平均數(shù)，其中權(quán)數(shù)是各支債券的價(jià)格除以投資組合的價(jià)格。下面我們對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)：41dP根據(jù)久期的定義，投資

48、組合的久期可以描述為:D=PdyT因?yàn)榻M合的價(jià)格P可表示為P=£P,所以上述久期公式可寫(xiě)為t4根據(jù)定義，我們知道Dt=1咀，所以在上述方程式的右側(cè)乘以Pi,得到咀=-DtP,代入上式得:RdydyDtRo1JdFt1JDDtR=DPidyPy卜面我們用一個(gè)簡(jiǎn)例來(lái)說(shuō)明上述公式，通過(guò)計(jì)算一組債券的價(jià)格加權(quán)久期和來(lái)計(jì)算債券組合的久期:假設(shè)有甲、乙、丙三支彳券，價(jià)格分別為85元，102元和124元，久期分別為5.82、7.45、12.98,那么該組合的久期為9.21。表3-8債券組合的久期計(jì)算彳貝券口口種債券價(jià)格價(jià)格權(quán)數(shù)債券久期久期與權(quán)數(shù)乘積甲850.2733118975.821.59乙10

49、20.3279742777.452.44丙1240.39871382612.985.18總計(jì)31119.21計(jì)算式為：D=5.820,2737.450.32812.980.399=9.21凸度是對(duì)收益率函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以同理，債券投資組合的凸度與構(gòu)成組合的各支債券凸度之間也存在著類(lèi)似于久期的關(guān)系，用公式可表示為：C="且Ct(3-13)t=tP證明的推理與久期證明相似，讀者可自行推證。3-7久期應(yīng)用：債券組合的現(xiàn)金流匹配在本章的第一節(jié)中，我們第一節(jié)中現(xiàn)金流分析中講到對(duì)于不同的附息債券投資組合不同的現(xiàn)金流分布類(lèi)型。在學(xué)習(xí)了久期的概念后，讀者應(yīng)該對(duì)于這種這種進(jìn)行了時(shí)間加權(quán)后的債券“期限”有一定的了解。而久期是衡量債券現(xiàn)金流折現(xiàn)時(shí)間長(zhǎng)短的指標(biāo)，也是衡量債券風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)之一，所以如果將久期的概念運(yùn)用到債券組合的現(xiàn)金流運(yùn)用中，將會(huì)對(duì)投資者債券投資的風(fēng)險(xiǎn)管理和控制起到很大的作用。我們知道，久期比較長(zhǎng)的債券，