借助數(shù)形結(jié)合發(fā)展核心素養(yǎng)

1、借助數(shù)形結(jié)合發(fā)展核心素養(yǎng)一數(shù)與形教學(xué)案例分析麻城市第一實驗小學(xué)李友丹【教學(xué)背景】數(shù)與形是人教2011版六年級上冊數(shù)學(xué)教材第八單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)和形結(jié)合起來解決問題，可以使復(fù)雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀，在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過“數(shù)形結(jié)合”思想，經(jīng)常有數(shù)形結(jié)合的練習(xí)題，數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生頭腦中已經(jīng)初步形成，只是以前的練習(xí)比較分散，沒有作為獨立的單元進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。這節(jié)課通過一些特殊的計算，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，具體觀察圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有一定的難度，在解題時，老師要引導(dǎo)學(xué)生往“數(shù)形結(jié)合”思想這一方面靠攏，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并

2、運(yùn)用規(guī)律，滲透一些數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解決問題的能力。六年級學(xué)生具備一定的動手操作能力、探究能力、語言表達(dá)能力，這為本節(jié)課學(xué)生自主探究規(guī)律創(chuàng)造了條件。數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中隨處可見。有些情況下，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。本單元的例1以及相關(guān)練習(xí)就屬于這種情況。作為教材新增的內(nèi)容，我們考慮最多的還是目標(biāo)的定位問題。恰逢我校正在進(jìn)行研究省級課題基于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)策略研究，我確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1、使學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，并會應(yīng)用規(guī)律。2、使學(xué)生會利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題，并用數(shù)的規(guī)律解釋圖形的排列規(guī)律。3、

3、使學(xué)生在解決實際問題的過程中，體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理等基本的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。重點：引導(dǎo)學(xué)生通過探索在數(shù)與形之間建立聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決相關(guān)問題。難點：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法探究規(guī)律的過程和解決問題時的運(yùn)用，提高學(xué)生分析問題的能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)?！菊n堂寫真】一、激發(fā)興趣，導(dǎo)入新課師：同學(xué)們！老師這周又學(xué)會了一絕招，那就是像這樣的算式老師也能很快算出他們的結(jié)果（課件出示算式：1+3+5+7+9+11=、1+3+5+17+19K1+3+5+97+99=）,你們信嗎？師：首先來看看這些算式有什么特點？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：“從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)的和”）老師到底能不能很快算出來呢

4、？我們比比看行嗎？請一個同學(xué)在這幾道題中選一題或自己重新出一道這樣的題，我們同時開始好吧！請準(zhǔn)備好草稿紙和筆，用計算器也行。XX同學(xué)請出題。師生同時做題。想知道老師是怎么算得這么快的嗎？（想）是老師直接告訴你們方法，還是大家一起研究一下呢？（我們自己研究）師：其實這種速算源于拼圖游戲里的發(fā)現(xiàn)，今天我們也到游戲中來研究“數(shù)與形”。（板書課題：數(shù)與形）【設(shè)計意圖】充分利用現(xiàn)有資源，引導(dǎo)學(xué)生自主質(zhì)疑，引發(fā)由數(shù)到形的數(shù)學(xué)思考和研究。二、動手動腦、探究新知1 .通過拼擺小正方形，初步感受數(shù)與形的聯(lián)系師：復(fù)雜的問題，我們通常從簡單的入手。（1） 比如，我手里拿的這一個小正方形，可以用數(shù)字幾來表示？（1,貼

5、上1個正方形，并板書1.）請你也拿出一個小正方形。（2） 至少再拼幾個這樣的小正方形就能拼成一個較大的正方形呢？（3個）請動手拼一拼。（3） 誰能說說你是怎么拼的？（原來有一個，再拿三個往它旁邊一圍就成了。）把你的拼法呈現(xiàn)在黑板上。（4） 現(xiàn)在共有幾個小正方形？（4個）可以怎樣算出來呢？生1:1+3=4（板書1+3,請你說一說1和3分別在哪兒？）生2:2X2=4（請你說一說兩個2分別指什么？）（5） “2X2”還可以寫成什么？（2的平方）老師板書2：1+3和2的平方都表示這個大正方形里一共有4個小正方形，所以1+3和2的平方是？（相等的）板書“=”。（6） 猜猜看，在這個基礎(chǔ)上再加幾個小正方形

6、又能拼一個更大的正方形呢？（5個）動手拼一拼吧?。▽W(xué)生開始拼圖。）（7） 誰能說一說你是怎么拼的？把你的拼法呈現(xiàn)在黑板上。（8） 現(xiàn)在共有幾個小正方形？（9個）你是怎么算出來的？生1:1+3+5=9（老師板書1+3+5,請你說一說5在哪里？）生2:3X3=9（老師請你說一說兩個3分別指什么？）（9） “3X3”還可以寫成什么？（3的平方）老師板書32,1+3+5和3的平方都表示這個大正方形里一共有9個小正方形，所以1+3+5和3的平方是？（相等的）板書“=”。（10） 4個小正方形和9個小正方形分別可以看22和32,那么1個小正方形呢？（12）2 .觀察比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察這幾個算式左邊的

7、加數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)學(xué)生觀察討論后匯報。(從1開始的連續(xù)奇數(shù))(3)式子右邊幾的平方與左邊的加數(shù)的個數(shù)有什么關(guān)系？把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說一說吧！(4)指名匯報。(5)如果求從1開始的“n”個連續(xù)奇數(shù)相加的和，和是？(n的平方)板書：n2【設(shè)計意圖】形中發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，同時利用圖形的排列規(guī)律證明了數(shù)的規(guī)律。(6)按照這個規(guī)律，在1+3+5的基礎(chǔ)上再加上一個奇數(shù)，該加上幾呢？(7)猜一猜和是多少呢？(16,因為1+3+5+7共有4個加數(shù)。)課件畫圖檢驗一下：1=121+3=2"這個式子再次證明了:21+3+5+7=421開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和，和是n2。(6)你能利用規(guī)律直接寫一寫

8、嗎？請在課本第107頁完成。1+3+5+7+9+11+13=9你是怎么想到1+3+5+7+9+11+13+15+17=9的？()我看到9的平方,我想到了一個邊長9格的大正方形里包含著81個小正方形，我們來涂色看看這81個小正方形是不是由1到17的連續(xù)奇數(shù)相加的和？課件檢驗?？磥硗瑢W(xué)們研究的結(jié)論很有效，其實老師用的就是這個結(jié)論。這個結(jié)論是？大家齊讀一遍吧！從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和，和是n2。2 .發(fā)揮“動3 .圖形驗證學(xué)數(shù)的運(yùn)算可以用【設(shè)計意圖】1.放手讓學(xué)生動手拼擺，在實踐中獲取數(shù)學(xué)知識;車組”(小組討論)合力作用，擦亮未來數(shù)學(xué)家思維碰撞的火花；生的猜想1+3+5+7=4,讓學(xué)生體會圖形

9、的排列中包含數(shù)的規(guī)律，圖形來直觀解釋；4.及時應(yīng)用，讓學(xué)生的發(fā)現(xiàn)更有價值。三、活學(xué)活用、鞏固新知你能應(yīng)用這個規(guī)律解決下面的問題嗎？1.課本第108頁“做一做”第1題。(1)請根據(jù)例1的結(jié)論算一算。把書翻到課本第108頁，獨立完成“做一做”第1題。(2)指名匯報，請說明你是怎么算的？(3)根據(jù)學(xué)生的回答電腦逐一出示：1+3+5+7+5+3+1=42+32=25、1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=72+62=852.課本第108頁“做一做”第2題(1)下面每個圖中各有多少個紅色小正方形和多少個藍(lán)色小正方形?(2)照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個紅色小正方形和多少個藍(lán)色小

10、正方形？6X2+6=18(個)(3)你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？(4)第10個圖形呢？(5)第100個圖形呢？你是怎么算出來的？【設(shè)計意圖】通過兩個練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的特點，感受用形來解決數(shù)的有關(guān)問題的直觀性與用數(shù)和數(shù)的運(yùn)算來表達(dá)圖形的排列規(guī)律的簡捷性。在練習(xí)中充分讓學(xué)生動腦、動口、動手，在交流中發(fā)現(xiàn)特點，解決問題。四、全課小結(jié)、強(qiáng)化新知1 .通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲能跟大家分享一下嗎？(全班交流)2 .引導(dǎo)小結(jié)：正如華羅庚先生所說“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！? .現(xiàn)在知道老師剛才為什么算得這么快了吧！學(xué)生質(zhì)疑：怎樣求從1開始的一列連續(xù)奇數(shù)共有多少個呢？生1:最大的奇數(shù)加上1

11、的和再除以2的商就是這一列奇數(shù)的個數(shù)。生2:因為第n個奇數(shù)是2n-1,所以可以利用最后的一個奇數(shù)倒推出n。4 .如果這樣的問題還能用例1的規(guī)律解決嗎？3+5+7+9=5 .宣布下課?！驹O(shè)計意圖】1.體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值，生活離不開數(shù)學(xué)；2.滲透數(shù)學(xué)文化教育，突出“數(shù)形結(jié)合”的好處；3.培養(yǎng)學(xué)生“舉一反三”的能力。五、板書。從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n21=121+3=221+3+5=g【分析研究】經(jīng)歷數(shù)與形5次修改教學(xué)設(shè)計，5次磨課研課，再加上基于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)策略研究課題的實踐研究，我們關(guān)注發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比較多，結(jié)合數(shù)與形這課，我想借助數(shù)形結(jié)合思想談?wù)勅绾螏椭鷮W(xué)

12、生發(fā)展核心素養(yǎng)。1 .引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)感和數(shù)據(jù)分析觀念。形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問題也可以用形來幫助解決，教學(xué)時，既可以從數(shù)的角度出發(fā)，讓學(xué)生看看可以怎樣用圖形來表示數(shù)的規(guī)律，也可以讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律。通過數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果、感受數(shù)學(xué)的魅力。發(fā)現(xiàn)“和”都是“平方數(shù)”，再通過圖形的規(guī)律理解“平方數(shù)”（即正方形數(shù)）的含義，并讓學(xué)生大膽說出自己發(fā)現(xiàn)的其他規(guī)律，從不同角度尋找規(guī)律，例如從第一個圖到第三個圖，每次增加多少個小正方形，用加法怎樣列式，加數(shù)都是連續(xù)奇數(shù)，這些奇數(shù)在圖中什么地方，從而對規(guī)律形式更直觀的認(rèn)識。讓學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)

13、行數(shù)據(jù)分析與比較，并作出正確而合理的判斷，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和數(shù)據(jù)分析能力。2 .引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之幾何直觀和空間觀念。小學(xué)六年級的學(xué)生已具備初步的邏輯思維能力，但仍以形象思維為主，教材在小學(xué)中年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，已經(jīng)逐漸借助推理與知識遷移來完成，并結(jié)合教材挖掘、創(chuàng)造條件開始滲透數(shù)形結(jié)合思想。高年級學(xué)生邏輯思維能力已有一定發(fā)展，為了使學(xué)生更直觀的理解知識，同時又滿足學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展，因此本課教材在編排上體現(xiàn)了先“數(shù)”后“形”的順序，把形象真正放在“支撐”地位，課中，我引導(dǎo)學(xué)生在形中發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，又用形來驗證數(shù)的規(guī)律，體現(xiàn)了幾何直觀的優(yōu)勢；我又讓學(xué)生“猜一猜在1+3

14、+5的基礎(chǔ)上再加上一個奇數(shù)，該加上幾呢？和是多少呢？"學(xué)生要想象“7”加在哪里？加了7以后會是4的平方嗎？孩子們會自覺在幾何直觀的基礎(chǔ)上展開空間想象。3 .引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之推理能力和運(yùn)算能力。因為要研究“從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和的速算”才展開系列的研究活動。在拼圖活動中發(fā)現(xiàn)：1=1：1+3=22,1+3+5=或然后引導(dǎo)學(xué)生思考：式子右邊幾的平方與左邊的加數(shù)的個數(shù)有什么關(guān)系？計算一個數(shù)的平方比求一列數(shù)的和要簡單多了，為了提高運(yùn)算能力，學(xué)生希望這組數(shù)的和是某的數(shù)的平方，這僅只是推理，然后增加奇數(shù)進(jìn)行驗證，證明推理“從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)的和等于這組數(shù)的個數(shù)的平方

15、?！睂W(xué)生在數(shù)形結(jié)合猜想驗證的過程中發(fā)展推理能力，提高運(yùn)算能力。4 .引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之符號意識和模型思想。借助圖形，學(xué)生已經(jīng)推導(dǎo)出“從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)的和等于這組數(shù)的個數(shù)的平方?！崩蠋燀槃荻鵀?，問：如果是從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和，和怎么表示？這時候?qū)W生會自然而然想到用符號“n”，并建立了“如果是從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和等于n2”這樣的模型，并由此在本課小結(jié)時有學(xué)生產(chǎn)生這樣的疑問：怎樣求從1開始的一列連續(xù)奇數(shù)共有多少個呢？完善了對模型思想的認(rèn)識。5 .引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的整個研究過程，學(xué)生已經(jīng)建立模型，然而實際問題中奇數(shù)數(shù)列有倒序排列、有在一個算式里有時有兩個或兩個以上的奇數(shù)數(shù)列、還有不完整的奇數(shù)數(shù)列，他們都能遷移類推到剛剛學(xué)會的模型上來，說明孩子們有極強(qiáng)的應(yīng)用意識。在這節(jié)課中也有一些同學(xué)有著了不起的創(chuàng)新意識，例