中考數學專題講練二次函數與根的分布(解析版)

1、.二次函數與根的分布知識精講一二次函數與軸交點1拋物線與軸的交點：二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式斷定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點頂點在軸上拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.2平行于軸的直線與拋物線的交點：可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，那么橫坐標是的兩個實數根.3拋物線與軸兩交點之間的間隔 假設拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故：.二二次函數與一元二次方程根的分布問題如下表以為例：判別式:二次函數的圖象一元二次方程

2、:的根有兩相異實根有兩相等實根沒有實根三點剖析一考點：二次函數與軸交點問題，利用二次函數解決一元二次方程根的分布問題二重難點：1二次函數與軸交點問題即當時，轉化為一元二次方程；2在利用二次函數分析一元二次方程根的分布問題時要結合函數圖像的性質來分析三易錯點：利用二次函數分析一元二次方程根的分布問題時首先確定開口方向，然后再結合函數的增減性，對稱軸的位置，函數值等因素最終確定一元二次方程根的分布情況題模精講題模一：根的分布問題例1.1.1 務實數的取值范圍，使關于的方程1有兩個實根，且滿足；2至少有一個正根；3方程一個根大于而小于，另一個根大于而小于【答案】 1；2；3【解析】 1設；那么有：，

3、解得：2可以利用韋達定理來解決此題由圖1、圖2，可得：；解得：由圖，可得：；解得：；由圖，可得：；解得：綜上可得3設；那么有：，解得例1.1.2 拋物線y=-x2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x  -2 -1 0 1 2  y  0 4 6 6 4  從上表可知，以下說法正確的個數是拋物線與x軸的一個交點為-2，0；拋物線與y軸的交點為0，6；拋物線的對稱軸是x=1；在對稱軸左側y隨x增大而增大A 1B 2C 3

4、D 4【答案】C【解析】 從表中知道：當x=-2時，y=0，當x=0時，y=6，拋物線與x軸的一個交點為-2，0，拋物線與y軸的交點為0，6，從表中還知道：當x=-1和x=2時，y=4，拋物線的對稱軸方程為x=-1+2=0.5，同時也可以得到在對稱軸左側y隨x增大而增大所以正確應選C例1.1.3 二次函數y=x2+px+q中，由于二次項系數為10，所以在對稱軸左側，y隨x增大而減小，從而得到y(tǒng)越大那么x越小，在對稱軸右側，y隨x增大而減大，從而得到y(tǒng)越大那么x也越大，請根據你對這句話的理解，解決下面問題：假設關于x的方程x2+px+q+1=0的兩個實數根是m、nmn，關于x的方程x2+px+q

5、5=0的兩個實數根是d、ede，那么m、n、d、e的大小關系是 A mdenB dmneC dmenD mdne【答案】B【解析】 二次函數y=x2+px+q+1圖象如下圖：結合圖象可知方程x2+px+q5=0的兩個實數根即為函數y=x2+px+q+1和y=6的交點，即dmne例1.1.4 二次函數a0的圖象過點，對稱軸為直線1求這個二次函數的解析式；2假設，直接寫出y的取值范圍；3假設一元二次方程，m為實數在的范圍內有實數根，直接寫出m的取值范圍【答案】 123【解析】 該題考察的是二次函數的根本性質1對稱軸為直線，圖象過點 圖象過點 .1分設二次函數解析式為 .2分圖象過點 解得 即 2當

6、時，當時，當， 3分 .4分3將一元二次方程看作二次函數，可知，由2可知m的取值范圍為 6分題模二：函數交點問題例1.2.1 函數的圖像與軸的交點坐標為，0，0，且，那么該函數的最小值為 A 2B -2C 10D -10【答案】D【解析】 函數的圖象與軸的交點坐標為，0，0，與是的兩根， ，即，解得，拋物線解析式為，故最小值為例1.2.2 關于x的函數圖象與坐標軸只有2個交點，那么m=_【答案】 1或0或【解析】 解：1當m-1=0時，m=1，函數為一次函數，解析式為，與x軸交點坐標為，0；與y軸交點坐標0,1，符合題意；2當時，函數為二次函數，與坐標軸有兩個交點，那么過原點，且與x軸有兩個不

7、同的交點，于是，解得，解得或將代入解析式得，符合題意；3函數為二次函數時，還有另外一種情況是：與x軸只有一個交點，與y軸交于另一點，此時，解得例1.2.3 假設關于x的一元二次方程x1x2=m有實數根x1、x2，且x1x2，有以下結論：x1=1，x2=2；m；二次函數y=x1x2m的圖象對稱軸為直線x=1.5；二次函數y=x1x2+m的圖象與y軸交點的一定在0，2的上方其中一定正確的有只填正確答案的序號【答案】 【解析】 當m=0時，x1=1，x2=2，所以錯誤；方程整理為x23x+2m=0，=3242m0，解得m，所以正確；二次函數為y=x23x+2m，所拋物線的對稱軸為直線x=1.5，所以

8、正確；當x=0時，y=x23x+2+m=2+m，即拋物線與y軸的交點為0，2+m，而m，所以二次函數y=x1x2+m的圖象與y軸交點的一定在0，的上方，所以錯誤故答案為例1.2.4 關于x的方程1討論此方程根的情況；2假設方程有兩個整數根，求正整數k的值；3假設拋物線與x軸的兩個交點之間的間隔 為3，求k的值【答案】 1見解析21；330；【解析】 該題考察的是二次函數與一元二次方程的綜合題1當時，方程=0為一元一次方程，此方程有一個實數根；當時，方程=0是一元二次方程，即， k為除外的任意實數時，此方程總有兩個實數根 2分綜上，無論k取任意實數，方程總有實數根2，= 方程的兩個根是整數根，且

9、k為正整數， 當時，方程的兩根為，0；當時，方程的兩根為， ，3 4分3 拋物線與x軸的兩個交點之間的間隔 為3，或當時，；當時，綜上，-3 6分隨堂練習隨練1.1 “假如二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根請根據你對這句話的理解，解決下面問題：假設m、nmn是關于x的方程1xaxb=0的兩根，且ab，那么a、b、m、n的大小關系是 A mabnB amnbC ambnD manb【答案】A【解析】 依題意，畫出函數y=xaxb的圖象，如下圖函數圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，bab方程1xaxb

10、=0轉化為xaxb=1，方程的兩根是拋物線y=xaxb與直線y=1的兩個交點由mn，可知對稱軸左側交點橫坐標為m，右側為n由拋物線開口向上，那么在對稱軸左側，y隨x增大而減少，那么有ma；在對稱軸右側，y隨x增大而增大，那么有bn綜上所述，可知mabn隨練1.2 二次函數1當時，求出該二次函數的圖象與x軸的交點坐標；2假設時，該二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍【答案】 1；2或【解析】 該題考察的是二次函數與x軸交點問題1由題意，得當時，解得，該二次函數的圖象與x軸的交點坐標為，. 2分2拋物線的對稱軸為3分 假設拋物線與x軸只有一個交點，那么交點為. 有，解得. 4分 假

11、設拋物線與x軸有兩個交點，且滿足題意，那么有 當時， 0，解得. 當時，解得. .6分綜上所述，c的取值范圍是或.隨練1.3 二次函數，a，b，c是常數中，自變量x與函數y的對應值如下表：假設，那么一元二次方程的兩個根，的取值范圍是 A ，B ，C ，D ，【答案】A【解析】 ，；由表中的數據可知，在與之間，故對應的的值在與0之間，故隨練1.4 假設二次函數的圖象與x軸有兩個交點，坐標為m，0，n，0，且，圖象上有一點C3，P在x軸下方，那么以下判斷正確的選項是 A B C D 以上都不對【答案】D【解析】 A二次函數的圖象與x軸有兩個交點，坐標為m，0，n，0，且，故A錯誤；B的符號不能確定

12、，B錯誤；C當時，點C3，P在x軸下方，當時，假設點在對稱軸的左側，那么，假設點在對稱軸的右側，那么，那么C錯誤隨練1.5 1關于x的方程有兩實根，一個根小于1，另一個根大于1，務實數k的取值范圍；2二次方程兩根，分別屬于和，求m的取值范圍【答案】 1或；2【解析】 1令，；由題，即或；2由題 ，那么，隨練1.6 假設關于x的函數的圖像與坐標軸有兩個交點，那么a的值為_【答案】 ，或【解析】 關于x的函數的圖像與坐標軸有兩個交點，所以可以分如下三種情況：當函數為一次函數時，有，此時，與坐標軸有兩個交點；當函數為二次函數，與x軸有一個交點，與y軸有一個交點；函數與x軸有一個交點，解得；函數為二次

13、函數時，與x軸有兩個交點，與y軸的交點和x軸上的一個交點重合，即圖象經過原點，當，此時，與坐標軸有兩個交點隨練1.7 二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標為，那么以下結論：方程的兩根為，；當時，；，；，其中正確結論的序號是_【答案】 【解析】 二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，即為令方程的兩個根，故該結論正確；由于k值不確定，所以拋物線的開口方向可能向下，故該結論不一定成立；根據一元二次方程根與系數的關系，得，那么，故該結論成立；，由于k的符號不確定，故該項錯誤隨練1.8 拋物線的對稱軸為，假設關于的一元二次方程在的范圍內有兩個相等的實數根，那么的取值范圍是 A B C 或D 或【答案】D【解析】

14、 由對稱軸可知，拋物線，令時，；時，；關于的一元二次方程在的范圍內有兩個相等的實數根，當時，即，此時，滿足題意；當時，此時，在的范圍內與軸有交點，；當，此時或，不滿足題意；的范圍：或，應選D隨練1.9 關于x的一元二次方程1求證：該方程必有兩個實數根2假設該方程只有整數根，求k的整數值3在2的條件下，在平面直角坐標系中，假設二次函數與x軸有兩個不同的交點A和BA在B左側，并且滿足，求m的非負整數值【答案】 1見解析231【解析】 該題考察的是一元二次方程綜合1該方程必有兩個實數根 -1分2 -3分方程只有整數根， 應為整數，即應為整數k為整數 -4分3根據題意，即， -5分，此時， 二次函數為

15、二次函數與x軸有兩個不同的交點A和BA在B左側m為非負整數或 -6分當時，二次函數為，此時， 不滿足 -7分當時，二次函數為，此時， 滿足 -8分自我總結 課后作業(yè)作業(yè)1 假設、是一元二次方程的實根，且滿足，那么m的取值范圍是_【答案】 【解析】 該題考察的是一元二次方程與二次函數的關系由題意，即二次函數與x軸的兩個交點橫坐標分別為二次函數過點，故作業(yè)2 拋物線， 1假設，求該拋物線與軸公共點的坐標；2假設，且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；3假設，且時，對應的；時，對應的，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？假設有，有幾個，證明你的結論；假設沒有，闡述理由【答案】 1解析式

16、為；公共點坐標為和2或3在范圍內，該拋物線與軸有兩個公共點【解析】 該題考察的是二次函數綜合1當，時，拋物線為，方程的兩個根為， 該拋物線與軸公共點的坐標是和 12當時，拋物線為，且與軸有公共點對于方程，判別式0，有 2當時，由方程，解得此時拋物線為與軸只有一個公共點 3當時， 時，時，由時，該拋物線與軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，應有 即解得綜上，或 43對于二次函數，由時，；時，又，于是而，即 5關于的一元二次方程的判別式拋物線與軸有兩個公共點，頂點在軸下方6又該拋物線的對稱軸，由，得， .7又由時，；時，觀察圖象，可知在范圍內，該拋物線與軸有兩個公共點 8作業(yè)3 以下關于函數的圖

17、象與坐標軸的公共點的情況：當時，有三個公共點；時，只有兩個公共點；假設只有兩個公共點，那么；假設有三個公共點，那么其中描繪正確的選項是 A 一個B 兩個C 三個D 四個【答案】A【解析】 令，可得出，當，時，函數是一次函數，與坐標軸有兩個交點，故錯誤；當時，與x軸有一個公共點，與y軸有一個公共點，總共兩個，故正確；假設只有兩個公共點，或，故錯誤；綜上只有正確作業(yè)4 二次函數與x軸交于，兩點，其中點是個定點，分別在原點的兩側，且，那么直線與x軸的交點坐標為_【答案】 或【解析】 ，分別在原點的兩側， 點在左側，且，設，那么，二次函數與x軸的交點就是方程的根，解得或；當時， 直線為直線，與x軸的交

18、點坐標為；當時， 直線為直線，與x軸的交點坐標為不合題意舍去；故直線與x軸的交點坐標為作業(yè)5 在平面直角坐標系中，拋物線：1當拋物線經過點-5，6時，求拋物線的表達式及頂點坐標；2假設拋物線：與x軸的交點的橫坐標都在和0之間不包括-1和0，結合函數的圖象，求m的取值范圍；3參考2小問考慮問題的方法解決以下問題：關于x的方程在范圍內有兩個解，求的取值范圍【答案】 1，頂點坐標為-2，-3；2；3【解析】 1拋物線經過點-5，6，解得拋物線的表達式為 拋物線的頂點坐標為-2，-3；2拋物線：與x軸的交點的橫坐標都在和0之間，當時，且，即，解得：；3方程的解即為方程的解，而方程的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標方程在范圍內有兩個解，當時，時，且，即解得：作業(yè)6 關于的一元二次方程有兩個不等的實根，1求的取值范圍；2假設取小于的整數，且此方程的解為整數，那么求出此方程的兩個整數根；3在2的條件下，二次函數與軸交于A、B兩點A點在B點的左側，D點在此拋物線的對稱軸上，假設，求點D的坐標【答案】 12，3或【解析】 該題考察的是二次函數綜合1方程有兩個不等的實根， 1分即解得2分2取小于1的整數或 3分