第二講(第二章單自由度系統(tǒng)自由振動)

1、汽車振動學(xué)汽車振動學(xué)汽車振動學(xué) 2009年9月3日第一章第一章 概論概論一、振動及其研究的問題 1、振動 2、振動研究的問題二、 汽車上的振動問題三、振動分類及研究振動的一般方法 1、振動分類 2、研究振動的一般方法 （1）理論分析方法 （2）實(shí)驗(yàn)研究方法 （3）理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法四、簡諧振動、諧波分析及頻譜分析 1、簡諧振動 2、諧波分析 3、頻譜分析函數(shù)表示法)2sin()2sin()sin(ftAtTAtAx)2sin()cos(tAtAx )sin()sin(22tAtAx 旋轉(zhuǎn)矢量表示法（1）簡諧振動）簡諧振動4、簡諧振動、諧波分析、頻譜分析、簡諧振動、諧波分析、頻譜分析xtAx

2、22)sin( cossincossini ti tetitetitcos()sin()zAtiAt復(fù)數(shù)表示法 在簡諧振動中，加速度的方向與位移的方向相反，大小與位移的大在簡諧振動中，加速度的方向與位移的方向相反，大小與位移的大小成正比，始終指向靜平衡位置。小成正比，始終指向靜平衡位置。()Im()sin()itxAeAt()()2ititxiA eA e 2()2()ititxAeAe ()itzAe簡諧振動的合成01212( )coscos2sinsin22af tatatbtbt01sin()2jjjaAj t01=cos()sin()2jjjaaj tbj t（2 2）周期振動的諧波分

3、析）周期振動的諧波分析( )()0, 1, 2,f tf tnTn 2T基頻一個周期函數(shù)如果滿足如下條件，就可以展成傅立葉級數(shù)。（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個間斷點(diǎn)，且間斷點(diǎn)的左右極限都存在；（2）在一個周期內(nèi)，具有有限個極大、極小點(diǎn)。002( )Taf t dtT02( )cos()Tjaf tj t dtT02( )sin()Tjbf tj t dtT22jjjAabarctanjjjab其中對方波信號0002( )2TtFf tFTtT 進(jìn)行諧波分析。01,3,5,4sin( )jFj tf tj例題例題11（P11）0411sinsin3sin535Fttt（3 3）振動的頻譜分析

4、）振動的頻譜分析 將頻率特性分析方法用于振動分析，成為頻譜分析。 頻率特性分析是經(jīng)典控制理論中研究與分析系統(tǒng)特性的主要方法。利用此方法可以將系統(tǒng)傳遞函數(shù)從復(fù)域引到具有明顯物理概念的頻域來分析系統(tǒng)的特性。引入頻譜分析的重要性在于：可將任意激勵函數(shù)分解為疊加的諧波信號，即可將周期激勵函數(shù)分解為疊加的頻譜離散的諧波信號，可將非周期激勵函數(shù)分解為疊加的頻譜連續(xù)的諧波信號。對于無法用分析法求得傳遞函數(shù)或微分方程的振動系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)求出系統(tǒng)的頻率特性，進(jìn)而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或微分方程。輸出和輸入的傅氏變換之比等于頻率響應(yīng)函數(shù) （頻響函數(shù)）( )H時域模型：微分方程描述 狀態(tài)空間描述頻域模型：傳遞函數(shù)描

5、述 頻率特性描述 零極點(diǎn)描述物理特性模態(tài)特性響應(yīng)特性響應(yīng)模型:位移、速度、加速度 力學(xué)模型:質(zhì)量、剛度、阻尼模態(tài)模型:固有頻率、模態(tài)矢量模態(tài)質(zhì)量、剛度、阻尼引出引出牛頓力學(xué)方程存在如下缺陷牛頓力學(xué)方程存在如下缺陷: 1）劃分若干個分離體，分別列出方程，導(dǎo)致計(jì)算可能不必要質(zhì)點(diǎn)間約束力及支反力。）劃分若干個分離體，分別列出方程，導(dǎo)致計(jì)算可能不必要質(zhì)點(diǎn)間約束力及支反力。 2）采用物理坐標(biāo)，導(dǎo)致考慮約束條件，使問題復(fù)雜化。）采用物理坐標(biāo)，導(dǎo)致考慮約束條件，使問題復(fù)雜化。振動的分析力學(xué)基礎(chǔ)振動的分析力學(xué)基礎(chǔ)2221221222121)()(1lyyxxlyx質(zhì)點(diǎn)的物理坐標(biāo)可以用廣義坐標(biāo)來表示。質(zhì)點(diǎn)的物理

6、坐標(biāo)可以用廣義坐標(biāo)來表示。一、虛功原理一、虛功原理(靜動法，靜動法，J.Bernoulli)011iNiiiNiirfrF01iNiirf理想約束理想約束2211222112111111coscossinsincossinllyllxlylx補(bǔ)充知識0),(11111121 jnjNijiijNinjjiiiNiijnjjiiniiqqrFqqrFrFWqqrrqqqrr0011jjnjjjjiNiiQqQWQqrF令令則則01iNiirFW一個系統(tǒng)如果在某些施加力作用下一個系統(tǒng)如果在某些施加力作用下達(dá)到靜力平衡，則在系統(tǒng)的約束所達(dá)到靜力平衡，則在系統(tǒng)的約束所允許的微小位移下，諸力所做的功允許

7、的微小位移下，諸力所做的功之和應(yīng)當(dāng)為零。之和應(yīng)當(dāng)為零。在理想約束下，在理想約束下，n個自由度的系統(tǒng)個自由度的系統(tǒng)處于靜力平衡的充要條件是處于靜力平衡的充要條件是n個廣個廣義力均為零。義力均為零。),(),(2121nNqqqVrrrVVnjjjiNiiqqVdVrFW1100jjjqVqVQ二、達(dá)朗伯（二、達(dá)朗伯（DAlembert）原理（動靜法）原理（動靜法）勢能是系統(tǒng)的位形的函數(shù)勢能是系統(tǒng)的位形的函數(shù)保守力在虛位移下所做的虛功保守力在虛位移下所做的虛功只在保守力作用下的系統(tǒng)，在其勢能函數(shù)只在保守力作用下的系統(tǒng)，在其勢能函數(shù)的駐點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)靜力平衡。的駐點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)靜力平衡。動能是系統(tǒng)的廣義速度的二

8、次型函數(shù)動能是系統(tǒng)的廣義速度的二次型函數(shù)srnrnsrsqqmT11210)(0)(01NiiiiiiiiiiiiiirrmFrrmfFrmfF 在理想約束下，對于任何動態(tài)系統(tǒng)，在理想約束下，對于任何動態(tài)系統(tǒng)，有效力在符合系統(tǒng)約束的任何無限小有效力在符合系統(tǒng)約束的任何無限小虛位移上所做的虛功之和為零。虛位移上所做的虛功之和為零。三、拉格朗日（三、拉格朗日（Lagrange）方程）方程jjjjnjjjjjnjjjNiiiinjjjNiiiNiNiiiiiiNiiiiiQqTqTdtdqQqTqTdtdqqTqTdtdrrmqQWrFrrmrFrrmF 000)(11111111施加力所做的虛功施

9、加力所做的虛功慣性力所做的虛功慣性力所做的虛功0jjjqVqTqTdtdjjjjQqVqTqTdtdjjjjjQqDqVqTqTdtd當(dāng)施加力僅為保守力時，則保守系統(tǒng)的拉格朗日方程是：當(dāng)施加力僅為保守力時，則保守系統(tǒng)的拉格朗日方程是：當(dāng)施加力既有保守力又有非保守力時，則系統(tǒng)的拉格朗日方程是：當(dāng)施加力既有保守力又有非保守力時，則系統(tǒng)的拉格朗日方程是：當(dāng)施加力既有保守力又有非保守力，且把阻尼力從非保守力分離出來時，當(dāng)施加力既有保守力又有非保守力，且把阻尼力從非保守力分離出來時，則系統(tǒng)的拉格朗日方程是：則系統(tǒng)的拉格朗日方程是：jjqTQnrnssrrsqqcD1121保守力保守力汽車振動學(xué)汽車振動學(xué)

10、2009年年8月月第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動（9學(xué)時）學(xué)時）第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動一、單自由度振動系統(tǒng) 1、振動微分方程的建立 2、振動等效系統(tǒng)及外界激勵 3、振動微分方程的求解二、單自由度系統(tǒng)的自由振動 1、無阻尼系統(tǒng)的自由振動 2、有阻尼系統(tǒng)的自由振動三、單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵作用下的受迫振動 1、簡諧激勵下的受迫振動響應(yīng)及頻譜分析 2、受迫振動的復(fù)數(shù)求解法單位諧函數(shù)法 3、支座簡諧激勵（位移激勵）引起的振動與被動隔振 4、偏心質(zhì)量（力激勵）引起的振動與主動隔振 5、測振傳感器的原理 四、單自由度系統(tǒng)在周期性激勵作用下的受迫振動 1、諧波

11、分析與疊加原理 2、傅立葉（Fourier）級數(shù)法五、單自由度系統(tǒng)在任意激勵作用下的受迫振動 1、脈沖響應(yīng)函數(shù)法或杜哈梅（Duhamel）積分法 2、傅立葉（Fourier）變換法 3、拉普拉斯（Laplas）變換法 一、單自由度振動系統(tǒng)一、單自由度振動系統(tǒng) 1、單自由度系統(tǒng)及其振動微分方程建立 2、振動等效系統(tǒng)及外界激勵 3、振動微分方程的求解1、單自由度系統(tǒng)及其、單自由度系統(tǒng)及其振動微分方程建立振動微分方程建立（1）單自由度振動系統(tǒng)( )( )( )( )mx tcx tkx tF tFNmx非線性函數(shù)令則( , )Nf x xNkxcx (0,0)(0,0),ffkcxx(0,0)(0,

12、0)(0,0)ffNfxxxx從而（2）單自由度系統(tǒng)振動方程的一般形式（3）單自由度系統(tǒng)振動方程的建立方法牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理例題例題2-1建立如圖所示振動系統(tǒng)的振動微分方程。（教材例題2.10）222120badmlxcxkkxlllfmxMJ0MJ0fmx能量法例題例題2-2 半徑為r、重力為mg的圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)滾動而不滑動，如圖所示。試求圓柱體繞其平衡位置作微小振動的微分方程。（教材例題2.11）203()gRr0dTUdtTUCont2、等效振動系統(tǒng)及外界激勵、等效振動系統(tǒng)及外界激勵 在工程上為便于研究，常把一些較為復(fù)雜的振動系統(tǒng)進(jìn)行簡化，以便當(dāng)作運(yùn)動坐標(biāo)方向上只存在

13、一個質(zhì)量和彈簧來處理，經(jīng)簡化后得到的質(zhì)量和剛度，分別成為原系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。 同樣，實(shí)際振動系統(tǒng)不可避免地存在阻力，因而在一定時間內(nèi)自由振動會逐漸衰減，直至完全消失。振系中阻力有各種來源，如干摩擦、流體阻力、電磁阻力、材料內(nèi)阻力等，統(tǒng)稱阻尼。 在這些阻尼中，只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比，易于數(shù)學(xué)處理，可以大大簡化振動分析問題的數(shù)學(xué)求解，因而通常均假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為粘性阻尼。對于其他比較復(fù)雜的實(shí)際阻尼，則被轉(zhuǎn)化為等效粘性阻尼來處理。 通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效剛度，即按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的彈簧的彈性勢能與等效系統(tǒng)彈簧勢能相等的原則來求系統(tǒng)的等效剛度。串聯(lián)彈簧的剛度扭轉(zhuǎn)剛度3DEAk

14、l12111kkk313BEIkl2pCGIkl（1）等效剛度拉壓剛度彎曲剛度12kkk并聯(lián)彈簧的剛度（2）等效質(zhì)量 通常用能量法求復(fù)雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量，即按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動能與等效系統(tǒng)質(zhì)量動能相等的原則來求系統(tǒng)的等效質(zhì)量。例題例題2-42eqJml2teqkkamgl2eqJmL2teqkkamgL例題例題2-32221RmrmJmeq242231)()(RkkrkkkeqJmeq2421413232lGdlGdkeq例題例題2-5例題例題2-6例題例題2-7（教材例題2.4）例題例題2-8 （教材例題2.5）3eLmm22213vsAJm bm bma例題例題2-9（教材例題2.3、

15、2.6）求軸向軸轉(zhuǎn)化的單軸系的等效剛度和等效旋轉(zhuǎn)質(zhì)量2121eeki kJi J 在工程實(shí)際中，往往根據(jù)在振動一周期內(nèi)實(shí)際阻尼所耗散的能量與粘性阻尼所耗散的能量相等來求系統(tǒng)的等效粘性阻尼。系統(tǒng)作簡諧振動時，粘性阻尼在振動的一周期內(nèi)所作的功2222200cos ()TccWF xdtcXtdtc X 庫侖阻尼流體阻尼結(jié)構(gòu)阻尼4eqmgcX83eqAceqac（3）等效阻尼)sin(tXx)cos(tXx （4）外界激勵)()()()(tFtkxtxctxm 單自由度系統(tǒng)的振動方程的一般形式0)(tF 如果系統(tǒng)受到外界持續(xù)激勵（即 ），就會從外界不斷地獲得能量，補(bǔ)充阻尼所消耗的能量，使系統(tǒng)保持等幅振動。這種由外界持續(xù)激勵引起的振動即是受迫振動或強(qiáng)迫振動。 當(dāng)外界激勵為零（即 ）時，系統(tǒng)僅在開始時受到外界干擾即初始干擾（如初始位移或速度），靠系統(tǒng)本身的固有特性而進(jìn)行振動，即自由振動。0)(tF 由此可見，單自由度