教案《數(shù)據(jù)的數(shù)字特征》

1、陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校課時(shí)教案4課題：數(shù)據(jù)的數(shù)字特征一、教學(xué)分析在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差等概念，它們都是一些統(tǒng)計(jì)量，反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度。在這個(gè)基礎(chǔ)上高中階段還將進(jìn)一步學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)差，并在學(xué)習(xí)中不斷地體會(huì)它們各自的特點(diǎn)，在具體的問題中根據(jù)情況有針對(duì)性地選擇一些合適的數(shù)字特征。二、教學(xué)建議1、本節(jié)開始，可結(jié)合上一節(jié)莖葉圖的相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生計(jì)算初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的統(tǒng)計(jì)量，讓學(xué)生復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)量的內(nèi)容，并能在這個(gè)過程中體會(huì)用不同的統(tǒng)計(jì)量刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的不同。2、在選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)來分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，學(xué)生會(huì)很自然地想到義務(wù)教育階段時(shí)學(xué)

2、習(xí)過的極差和方差。在教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生自主思考，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)來表示，在此基礎(chǔ)上，再鼓勵(lì)他們積極交流，并認(rèn)真觀察、比較不同刻畫方式之間的異同。3、作為本節(jié)的結(jié)束，可安排教材的“動(dòng)手實(shí)踐”活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷的過程，進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（1）能結(jié)合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義，并能根據(jù)問題的需要選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字特征來表達(dá)數(shù)據(jù)的信息。（2）通過實(shí)例理解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。2、過程與方法在分析和解決具體實(shí)際問題的過程中，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)的方法，并能結(jié)合統(tǒng)計(jì)量對(duì)所給數(shù)據(jù)的分布情況作出合理的解釋。23

3、、情感態(tài)度價(jià)值觀通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中統(tǒng)計(jì)問題的分析和解決，體會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活及各學(xué)科問題的方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要性。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。教學(xué)難點(diǎn): 根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，合理地選擇統(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)。（一）課題引入 數(shù)據(jù)的信息除了通過前面介紹的各種統(tǒng)計(jì)圖表來加以整理和表達(dá)之外，還可以通過一些統(tǒng)計(jì)量來表述，也就是將多個(gè)數(shù)據(jù)“加工”為一個(gè)數(shù)值，使這個(gè)數(shù)值能夠反映這組數(shù)據(jù)的某些重要的整體特征。（二）探求新知請(qǐng)大家思考，初中時(shí)我們學(xué)習(xí)了幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量？它們?cè)诳坍嫈?shù)據(jù)時(shí)，各有什么樣的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？請(qǐng)大家結(jié)合下面問題的解決，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行思考。1、平均

4、數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)某公司的33名職工的月工資（單位：元）如下：職 務(wù)董事長副董事長董 事總經(jīng)理經(jīng) 理管理員職 員人 數(shù)11215320工 資5500500035003000250020001500（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從 5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平？為什么？（4）公司經(jīng)理會(huì)選取上面哪個(gè)數(shù)據(jù)來代表該公司員工的月工資情況？ 稅務(wù)官呢？工會(huì)領(lǐng)導(dǎo)呢？通過這個(gè)問題的解決，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，各個(gè)不同的統(tǒng)計(jì)量適用于刻畫不同的統(tǒng)

5、計(jì)數(shù)據(jù)，并且有著各自的特點(diǎn)。平均數(shù)：一般地，對(duì)于個(gè)數(shù)，我們把叫做這個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)。平均數(shù)是數(shù)據(jù)的重心，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)。它的優(yōu)點(diǎn)在于：對(duì)變量的每一個(gè)觀察值都加以利用，比起眾數(shù)與中位數(shù)，它會(huì)獲得更多的信息；但是平均數(shù)對(duì)個(gè)別的極端值敏感，當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值時(shí)，最好不要用均值刻畫數(shù)據(jù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。眾數(shù)著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察, 是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān),當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往是我們關(guān)心的一種統(tǒng)計(jì)量；注意：（1）一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不只一個(gè)，如數(shù)據(jù)2、3、-1、2、l、3中， 2和3都出現(xiàn)了

6、2次，它們都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) （2）如果出現(xiàn)個(gè)數(shù)一樣的數(shù)據(jù)，或者每個(gè)數(shù)據(jù)都只有一次，那么眾數(shù)可以 不止一個(gè)或者沒有。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列或從大到小排列，處在中間位置上一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）。中位數(shù)將觀測(cè)數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分都比這個(gè)數(shù)小而另一部分都比這個(gè)數(shù)據(jù)大，對(duì)于非對(duì)稱的數(shù)據(jù)集，中位數(shù)更能實(shí)際地描述數(shù)據(jù)的中心。某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它的中位數(shù)影響不大。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用它來描述其集中趨勢(shì)。注意：（1）求中位數(shù)要將一組數(shù)據(jù)按大小順序，而不必計(jì)算，顧名思義，中位數(shù)就是位置處于最中間的一個(gè)數(shù)（或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），排序時(shí)，從小到大或從大到小都

7、可以 （2）在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的情況下，中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)；但在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下，其中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它不一定與這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)相等 在同一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)也各有其特性:（1）中位數(shù)與平均數(shù)是唯一存在的,而眾數(shù)是不唯一的； （2）眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)在一般情況下是各不相等,但在特殊情況下也可 能相等。如,在數(shù)據(jù)6、6、6、6、6中,其眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是6。（3）眾數(shù)和中位數(shù)可以代表數(shù)據(jù)分布的大體趨勢(shì)，缺點(diǎn)在于并沒有對(duì)數(shù)據(jù)中的其它值加以利用。到底用什么統(tǒng)計(jì)量來刻畫數(shù)據(jù)，需要結(jié)合數(shù)據(jù)的特點(diǎn)及你想要說明的問題進(jìn)行選擇。不同的人立場(chǎng)不同，會(huì)選擇不同額

8、統(tǒng)計(jì)量來說明他的觀點(diǎn)，這也就是我們要對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)論進(jìn)行批判性思維的原因。2、極差、方差甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40mm的零件。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件中各抽取10件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下：甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9那么，我們可以用哪些數(shù)據(jù)來刻畫數(shù)據(jù)的離散情況呢？方法1、極差甲：40.2-39.8=0.4（mm），乙：40.1-39.9=0.2（mm）；方法2、方差甲：，乙：；方法3、甲：，乙：；方法4、甲：乙：那么，在刻畫數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，這個(gè)統(tǒng)

9、計(jì)量應(yīng)該滿足哪些原則呢？（1）應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息；（2）僅用一個(gè)數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度；（3）對(duì)于不同的數(shù)據(jù)集，當(dāng)離散程度大時(shí)，該數(shù)值也大。 極差是指一組數(shù)據(jù)內(nèi)的最大值和最小值之間的差。極差=最大值最小值極差只指明了測(cè)定值的最大離散范圍，而未能利用全部測(cè)量值的信息，不能細(xì)致地反映測(cè)量值彼此相符合的程度。極差是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的有偏估計(jì)值，當(dāng)乘以校正系數(shù)之后，可以作為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)值，它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，估算大致范圍時(shí)用它.極差大的那一組不一定方差大，反過來，方差大的，極差不一定也大 方差，是一組數(shù)據(jù)據(jù)內(nèi)，每個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差數(shù)的平方和。方差是表現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散程度的（

10、波動(dòng)情況），方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，也就越接近平均值,當(dāng)要求某問題的穩(wěn)定程度就用它. 計(jì)算公式：設(shè)在一組數(shù)據(jù)中，是它們的平均數(shù)，則方差為： 3、標(biāo)準(zhǔn)差方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，而刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一種理想度量應(yīng)該具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位，因而引入標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差更能反映數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），也稱均方差（mean square error），是各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離的平均數(shù)，在概率統(tǒng)計(jì)中最常使用作為統(tǒng)計(jì)分布程度（statistical dispersion）上的測(cè)量。標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根，反映組內(nèi)個(gè)體間的離散程度。測(cè)量到分布程度的結(jié)果，

11、原則上具有兩種性質(zhì)：為非負(fù)數(shù)值， 與測(cè)量資料具有相同單位。 一個(gè)總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個(gè)子集合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。標(biāo)準(zhǔn)差的意義：標(biāo)準(zhǔn)差越高,表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越離散,也就是說越不精確；反之,標(biāo)準(zhǔn)差越低,代表實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)越精確。注：以上各量都帶單位。（三）知識(shí)應(yīng)用例 甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射擊靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5（1）分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）分別求出這兩組數(shù)據(jù)的方差；（3）請(qǐng)根據(jù)這兩名射擊手的成績

12、畫出折線統(tǒng)計(jì)圖，并估計(jì)這兩名戰(zhàn)士的 射擊情況。解：（1）（環(huán)），（環(huán)）（2）（環(huán)） （環(huán)）（3）因?yàn)?，所以說明甲、乙兩名戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)又因?yàn)?，所以說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動(dòng)大故乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定（四）課堂練習(xí)1、一家鞋店在一段時(shí)間里銷售了某種女鞋20雙，其中各種尺碼的鞋的銷量 如表所示：鞋的尺碼（cm）302820232125銷售量（雙）512354 指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。 解：30cm，21cm的鞋各出現(xiàn)5次，故眾數(shù)為30cm，21cm； 求中位數(shù)時(shí)應(yīng)注意，在排列數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)考慮每一個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，本題 中共有個(gè)數(shù)據(jù)，第10位數(shù)據(jù)為23，第11位 數(shù)據(jù)是25， 故中位數(shù)24

13、(cm) 。 平均數(shù)為(cm)2、下表是某班40名學(xué)生參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”的得分統(tǒng)計(jì)表：分 數(shù)012345人 數(shù)4710x8y請(qǐng)參照這個(gè)表解答下列問題：（1）用含x，y的式子表示該班參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”的班平均分；（2）若該班這次競(jìng)賽的平均分為分，求的值。解：（1）； （2）依題意，有解得3、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各 射箭20次，三人的測(cè)試成績?nèi)缦卤恚?甲的成績：環(huán) 數(shù)78910頻 數(shù)5555 乙的成績：環(huán) 數(shù)78910頻 數(shù)6446 丙的成績：環(huán) 數(shù)78910頻 數(shù)4664 分別表示甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績的標(biāo)準(zhǔn)差， 則有（C） A. B. C. D.4、課本第31頁 練習(xí)（五