例子一塊長方形的金屬板

1、YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度例子：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐例子：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方問題的答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度

2、方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向?qū)?shù)圖示方向?qū)?shù)圖示 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方沿某一方向的變化率問題向的變化率問題( , )zf x y YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 :, ,( )()()lim().PPP x y zf PPlPPlPlPf Pf PPPf PPlfPl 定定義義 設(shè)設(shè)為為一一給給定定點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)在在 點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近有有定定義義，是是從從 點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)的的射射線線，設(shè)設(shè)是是射射線線 上上的

3、的一一點(diǎn)點(diǎn)。令令沿沿 趨趨于于 時(shí)時(shí)，如如果果存存在在，就就稱稱此此極極限限為為在在 點(diǎn)點(diǎn)沿沿 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為怎樣計(jì)算方向?qū)?shù)呢？怎樣計(jì)算方向?qū)?shù)呢？YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度00000( , , )(,),( , , )f x y zP xyzf x y zPl定定理理： 如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 則則在在 點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任何何方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且 000000000,cos,cos,cosxyzffxyzfxyzfxyzl cos,cos,cosl 其其中中是是 的的方方向向余余弦弦。 000,Pxx yy zzl

4、 證證明明：若若是是 上上的的點(diǎn)點(diǎn)，則則000cos,cos,cos,xyzP PP PP P 0fPP由由假假設(shè)設(shè)在在 點(diǎn)點(diǎn)可可微微, ,則則有有YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 0000000222000,xyzf Pf Pfxy zxfxy zyfxy zzoxyz 于于是是 00000000002220002220,xyzf Pf Pxyfxy zfxy zP PP PP Poxyzzfxy zP Pxyz 0PlP令令沿沿 趨趨于于 時(shí)時(shí)，有有YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 000000000,cos,cos,co

5、sxyzffxyzfxyzfxyzl 注注：對(duì)對(duì)二二元元函函數(shù)數(shù)，有有 00000000,cos,cos,cos,sinxyxyffxyfxylfxyfxy 二、梯度二、梯度( , , ).u x y zC 定定義義：由由所所確確定定的的曲曲面面稱稱為為等等量量面面( , ).u x yC 由由所所確確定定的的曲曲線線稱稱為為等等量量線線YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度:(,)(,)grad,grad,PPPuu x y zPuuuijkxyzu x y zPuuuuuxyz 定定 義義設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn) 附附 近近 有有 定定 義義 ，稱稱 向向 量量為為在在點(diǎn)點(diǎn)

6、 的的 梯梯 度度 ， 記記 為為即即222uuuuxyz 長長度度記記為為 g gr ra ad dYunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度1u意意義義：（）梯梯度度方方向向是是 增增長長最最快快的的方方向向。2u（ ）梯梯度度的的模模是是 沿沿這這一一方方向向的的變變化化率率。cos,cos,cos ,( , , )lu x y zl 證證：設(shè)設(shè) 的的方方向向余余弦弦為為這這時(shí)時(shí)沿沿 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為coscoscosuuuulxyz 00coscoscoslllijk 令令 是是 方方向向的的單單位位向向量量：于于是是YunnanUniversity6.

7、 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 ,cos,cos,cosuuuulxyz 0gradu l 0gradcos grad ,uu l 0,cos(grad ,)1,lu l 當(dāng)當(dāng) 與與梯梯度度的的方方向向一一致致時(shí)時(shí).ul 從從而而有有最最大大值值grad.u變變化化率率等等于于梯梯度度的的模模YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度0,nun 用用 表表示示等等量量面面的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量 它它指指向向 的的數(shù)數(shù)值值增增大大的的方方向向，用用 表表示示等等量量面面的的一一個(gè)個(gè)單單位位法法向向量量 則則0graduunn 1212121212(1) grad()gr

8、adgrad,(2)gradgradgrad,(3) gradgrad .uuuuu uuuu uF uFuu 梯梯度度運(yùn)運(yùn)算算法法則則：YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 1.1,1,12, 1,3uxyzMl 例例求求在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，梯梯度度，及及梯梯度度的的模模. .解解：,.xyzuyzuxzuxy 1,1,11,1,1,11,1,1,11xyzuuu 213cos, cos, cos,141414l 方方向向 的的方方向向余余弦弦為為故故YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 1,1,1 cos1,

9、1,1 cos1,1,1 cos4.14xyzfuuul grad1,1,11,1,11,1,1.xyzuuiujukijk 222grad3.xyzuuuu YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度222312,rrxyzrr 例例證證明明g gr ra ad d，其其中中.rxiy jzk 22211,urxyz 證證： 令令則則 33222222,xyxyuuxyzxyz 3222zzuxyz YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度 3222332222221gradxirxyzyzkkxyzxyz 從從而而3rr YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity6. 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度YunnanUniversity