關(guān)于-全等三角形的旋轉(zhuǎn)難題

1、旋轉(zhuǎn)A、B作已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,F是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C,分別過點(diǎn)l的垂線，即ADXCE,BE±CE,(1)如圖1,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：ADCACEB;(2)如圖2,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD;(3)如圖3,當(dāng)CE在4ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析：(1)利用同角的余角相等得出/CAD=進(jìn)而卞據(jù)AAS證明ADCACEB.(2)根據(jù)AAS證明ADCACEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BE-AD.解答:

2、(3)根據(jù)AAS證明ADCCEB后，得DC=BE,AD=CE,又有ED=CE+DC,進(jìn)而得至UED=AD+BE(1)證明：.AD±CE,BE±CE,/ADC=/CEB=90°./ACD+/ECB=90°,zCAD+/ACD=90°,/CAD=/BCE(同角的余角相等).在ADC與CEB中/ADC=/CEB/CAD=/BCEAC=BC,ADCACEB(AAS).(2)證明：ADXCE,BE±CE,/ADC=/CEB=90°./ACD+/ECB=90°,zCAD+/ACD=90°,/CAD=/BCE(同角的余

3、角相等).在ADC與CEB中/ADC=/CEB/CAD=/BCEAC=BC,ADCACEB(AAS).DC=BE,AD=CE.又ED=CD-CE,ED=BE-AD.(3) ED=AD+BE.證明：ADXCE,BE±CE,/ADC=/CEB=90°. /ACD+/ECB=90°,zCAD+/ACD=90/CAD=/BCE(同角的余角相等).在ADC與CEB中/ADC=/CEB/CAD=/BCEAC=BCADCACEB(AAS).DC=BE,AD=CE.又ED=CE+DC,，ED=AD+BE.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交

4、換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3,AOB,COD均是等腰直角三角形，/AOB=ZCOD=90o,（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由。（2）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？（3）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問AC與BD還相等后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問AC與BD還么？考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答.（2）證明DOBCOA,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說明.

5、解答：解：（1）相等.在圖1中，AOB,COD均是等腰直角三角形，/AOB=/COD=90°,OA=OB,OC=OD, 0A-0C=0B-OD,AC=BD;（2）相等.在圖2中，0D=OC,/DOB=/COA,OB=OA, .DOBACOA,BD=AC.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.4. （2008河南）.（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，AB=AC,P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ,使/QARBAC,連接BQ、CP,則B

6、Q=CP.”小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過對(duì)圖的分析，證明了ABQAACP,從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請(qǐng)你就圖給出證明.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析：此題的兩個(gè)小題思路是一致的；已知/QAP=/BAC,那么這兩個(gè)等角同時(shí)減去同一個(gè)角（2題是加上同一個(gè)角），來證得/QAB=/PAC;而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS證得ABQ0ACP,進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論.解答：證明：（1）QAP=ZBAC,:人QAP-/BAP=/BAC-/BAP,即/QAB

7、=/CAP;在BQA和CPA中，AQ=AP/QAB=/CAPAB=AC,BQACPA(SAS);BQ=CP.(2) BQ=CP仍然成立，理由如下： /QAP=/BAC, /QAP+/PAB=/BAC+/PAB,即/QAB=/PAC;在QAB和PAC中，AQ=AP/QAB=/PACAB=AC,QABAPAC(SAS), .BQ=CP.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵.5. (2009山西太原)將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片4ABC和DEF,且ABC0DEF。將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E

8、重合，把DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.當(dāng)4DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)B(E),C,D在同一直線上時(shí)，/AFD與/DCA的數(shù)量關(guān)系是當(dāng)4DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.圖點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：探究型.分析：(1)根據(jù)外角的性質(zhì)，得/AFD=/D+/ABC,/DCA=/A+/ABC,從而得出/AFD=/DCA;(2)成立.由4ABCADEF,可證明/ABF=/DEC.則ABFDEC,從而證出/AFD=/DCA;(3)BOXAD,由ABCDEF,可證得點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點(diǎn)O在A

9、D的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BOXAD.解答：解：(1)/AFD=/DCA(或相等).(2)/AFD=/DCA(或成立)，理由如下：方法一：由ABCADEF,得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),/ABC=/DEF,/BAC=/EDF./ABC-/FBC=/DEF-/CBF,/ABF=/DEC.在ABF和DEC中，AB=DE/ABF=/DECBF=ECABFDEC,/BAF=/EDC. /BAC-/BAF=/EDF-/EDC,/FAC=/CDF. /AOD=/FAC+/AFD=/CDF+/DCA,./AFD=/DCA.方法二：連接AD.同方法一ABFDEC,AF=DC

10、.由ABCADEF,得FD=CA.在AFDDCA,AF=DCFD=CAAD=DAAFDADCA,/AFD=/DCA.(3)如圖，BOXAD.方法一：由ABCADEF,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得/BAC=/BDF,BA=BD. 點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，且/BAD=/BDA. /OAD=/BAD-/BAC,/ODA=/BDA-/BDF,./OAD=ZODA. .OA=OD,點(diǎn)O在AD的垂直平分線上. 直線BO是AD的垂直平分線，BOXAD.方法二：延長(zhǎng)BO交AD于點(diǎn)G,同方法一，OA=OD.在ABO和DBO中,AB=DBBO=BOOA=ODABOADBO,/ABO=/DBO.在ABG和DBG中,AB=D

11、B/ABG=/DBGBG=BGABGADBG,ZAGB=ZDGB=90°. .BOAD.點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求/EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證ABGADF(SAS)可得AF=AG,進(jìn)而求證AEGAAEF可得/EAG=/EAF,再求出/EAG+/EAF=900即可解題.解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF,在ABG和ADF中，由AB=AD/ABG=/ADF=90°BG=DF,可

12、得ABG/ADF(SAS),DAF=/BAG,AF=AG,又EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,AAEGAEF(SSS),EAG=/EAF,ZDAF+/EAF+/BAE=90°EAG+/EAF=90°,EAF=45°.答：/EAF的角度為45°.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證/EAG=/EAF是解題的關(guān)鍵.例2D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM,(1) 當(dāng)/MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證(2) 若AB=2,求四邊形DECF的面積DN,DM,DN分別交BC,CA

13、于點(diǎn)E,F。DE=DFoMCJFY-AB考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：計(jì)算題.分析:(1)連CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分/ACB,CDXAB,/A=45°,CD=DA,則/BCD=45°,£DA=90°,由/DM，DN得/EDF=90°,根據(jù)等角的余角相等得到/CDE=/ADF,根據(jù)全等三角形的判定易得DCEADF,即可得到結(jié)論；(2)由DCEADF,貝USADCE=SAADF,于是四邊形公式易求得SAACD,從而得到四邊形DECF的面積.解答:D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD平分/ACB

14、,CDXAB,/A=45°,CD=DA,ZBCD=45°,zCDA=90°,DECF的面積=S4ACD,由而AB=2可彳導(dǎo)CD=DA=1,根據(jù)三角形的面積解：(1)連CD,如圖,:/DM±DN,EDF=90°,CDE=/ADF,在DCE和AADF中，/DCE=/DAFDC=DA/CDE=/ADFADCEAADF,DE=DF;(2)DCEAADF,SADCE=SAADF,:四邊形DECF的面積=S4ACD,而AB=2,CD=DA=1,:四邊形DECF的面積=S4ACD=12CDRA=1等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.(圖2)(圖3)

15、2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等,即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).1、已知四邊形ABCD中，AB_LAD,BC-LCD,AB=BC,/ABC=1201/MBN=60/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E,F.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1),易證AE+CF=EF.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE#CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立,線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.解：國(guó)10-2成立，圖10-3不成立.證明圖10-2.

16、如圖1口-4。延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K,使CK二長(zhǎng)K,連接EK,則切E9BCK,-BE=BK,ZABSZKBC.=/砂F=64,ZC=12(T£EBS&8Eu砥圖10-4:“BC+"BC=W，ZKBF=ZFBE=fr-,HKBFSU£EBF，KF=EF、KC-CFEF，即松十。尸=郎.圖103不成立，AE,CF,的關(guān)系是AECF=EF.2、(西城09年一模)已知:PA=&,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1如圖，當(dāng)/APB=45°時(shí)求AB及PD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)/APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及

17、相應(yīng)/APB的大小.3、在等邊AABC的兩邊ab、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n,D為|_ABC外一點(diǎn)，且/MDN=60：/BDC=120：bd=dc.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長(zhǎng)Q與等邊AABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.圖1圖2圖3Q(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MNN間的數(shù)量關(guān)系是;止匕時(shí)一=L(II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM。DN時(shí)，猜想(I)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=X,則Q=(用X、L表示).考

18、點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)由DM=DN,MMDN=60°,可證得/WDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD,易證得RtBDM/RtACDN,然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN,此時(shí)QL=23;(2)在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM,連接DM1.可證DBM/4DCM1,即可得DM=DM1,易證得/CDN=/MDN=60°,則可證得AMDNAMIDN,然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM,連接DM1,可證DBMDCM1,即可得DM=DM1,然后證得

19、/CDN=/MDN=60°易證彳MDNM1DN,則可得NC-BM=MN.解答：解：（1）如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN.此時(shí)QL=23.（2分）.理由：DM=DN,/MDN=60°,.MDN是等邊三角形，ABC是等邊三角形，A=60°,BD=CD,/BDC=120ZBDC=/DCB=30MBD=/NCD=90DM=DN,BD=CD,RtABDMRtACDN,二MBDM=/CDN=30°,BM=CN,DM=2BM,DN=2CN,MN=2BM=2CN=BM+CN;AM=AN,：AMN是等邊三角形，AB=AM+BM,AM:AB=2:3,

20、QL=23;（2）猜想：結(jié)論仍然成立.（3分）.證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM,連接DM1.（4分） ./MBD=/M1CD=90°即=CD, ADBMADCM1,DM=DM1,/MBD=/M1CD,M1C=BM,V ,/MDN=60。,zBDC=120°,M1DN=/MDN=60。，AMDNAM1DN,MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,.AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,QL=23;X（3）證明：在CN上截取CM1=BM,連接DM1.（4分）一"丁可證DBM/ADCM1,DM=DM1,（5分）圖；D可證/CDN=

21、ZMDN=60°,AMDNAM1DN,MN=M1N,（7分）,NC-BM=MN.（8分）.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.例8.（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD.相交于點(diǎn)E,F時(shí)，（如圖131）,通過觀察或測(cè)量BE

22、,AT"一/CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；/W（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD.：/.圖132圖131的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,F時(shí)(如圖132),你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說明理由.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：(1)利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；(2)根據(jù)已知可以得出/BAE=/CAF,進(jìn)而求出ABEACF即可；(3)利用四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可.解答：解：(1)得出結(jié)論是：BE=CF,證明：/BAC=/EAF=60°

23、,.ZBAC-/EAC=/EAF-/EAC,即：/BAE=/CAF,又AB=AC,/ABE=ZACF=60°,/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF,.-.ABEACF(ASA),BE=CF,(2)還成立,證明：/BAC=/EAF=60°,2 .ZBAC+/EAC=/EAF+/EAC,即/BAE=/CAF,又AB=AC,/ABE=ZACF=60°,即/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF,.-.ABEACF(ASA),BE=CF,(3)證明：.ABEACF,3 SAABE=SAACF,，四邊形AECF的面積S=SAAEC+SAACF=SAEC+SA

24、ABE=SAABC;而SAABC=12S菱形ABCD,.S=12S菱形ABCD.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵.解：(1)BE=CF.證明：在ABE和4ACF中，./BAE+/EAC=/CAF+/EAC=60,./BAE=/CAF.AB=AC,/B=/ACF=60,-.ABEAACF(ASA).BE=CF.(2)BE=CF仍然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和4ACF旋轉(zhuǎn)型以CG為一邊向正方形ABCD1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，外作正方形GCEF,連接DE交BG的延長(zhǎng)線

25、于H。求證：BCGDCEBHXDE考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).專題：動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過SAS判定BCGADCE,從而利用全等的性質(zhì)得到/BGC=/DEC;(2)連接BD,解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE,從而找到BD=2,CE=BE-BC=2-1,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.解答：解：(1)證明：二四邊形ABCD、GCEF都是正方形，BC=DC,/BCG=/DCE=90°,GC=EC.BCGADCE（3分）BGC=/DEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE,貝U有BD=BE（6分）BC=CD

26、=1,BD=2（8分）CE=BE-BC=2-1（9分）CG=CE=2-1即當(dāng)CG=2-1時(shí)，BH垂直平分DE.（10分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握.2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC.（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DCLBE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：（1）此題根據(jù)ABC與4AED均為等腰直角

27、三角形，容易得到全等條件證明ABEAACD;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明DCLBE.解答：證明：（1）.ABC與4AED均為等腰直角三角形，AB=AC,AE=AD,/BAC=/EAD=90°.BAC+/CAE=/EAD+/CAE.即/BAE=/CAD,在4ABE與4ACD中，AB=AC/BAE=/CADAE=AD.ABE里ACD.（2）ABE口ACD,ZACD=/ABE=45°.又/ACB=45°,ZBCD=/ACB+/ACD=90DC，BE.點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，利用全等三角形的性質(zhì)與判定來解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是理解題意，得到所需要的已知條件.

28、3、（1）如圖7,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求/AEB的大??；O圖7（2）如圖8,AOAB固定不動(dòng)，保持AOCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（AOAB和AOCD不能重疊），求/AEB的大小.4、如圖，AE±AB,ADXAC,AB=AE,/B=/E,求證：(1)BD=CE;(2)BD±CE.,證明：（1）AE±AB,ADLAC/BAE=/CAD二/BAD=/CAE,而AB=AE,/B=/E,ABDAAEC.BD=CE.（2）由ABDAAEC知/B=

29、/E.而/AGB=/EGF,./EFG=/EAB=90°,.BDICE.如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連接AC和BD,相交于點(diǎn)E,連接BC.求/AEB的大小.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：由于BOC和ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA,進(jìn)而求出/BDA與/CAD的大小及關(guān)系，則可求解/AEB.解答：解：DOC和ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，OD=DC=OC=OB=OA,ACDADBA,./BDA=/CAD.又/BDA+/OBD=/BOA=6

30、0°,而/ODB=/OBD,/BDA=30°./CAD=30°./AEB=ZBDA+/CAD,，/AEB=60。.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.答題：yeyue5、如圖所示，已知AE±AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC。求證：(1)EC=BF;(2)EC±BFE6、正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求/EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：延長(zhǎng)

31、EB使得BG=DF,易證ABGADF(SAS)可得AF=AG，進(jìn)而求證AEGAAEF可得/EAG=/EAF,再求出/EAG+/EAF=90°即可解題.解答:解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF,在4ABG和4ADF中，由AB=AD/ABG=/ADF=90°BG=DF,可得ABG0ADF(SAS),:人DAF=/BAG,AF=AG,又EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,.-.AEGAEF(SSS),/EAG=/EAF,/DAF+/EAF+/BAE=90°/EAG+/EAF=90°,/EAF=45°.答：/EAF的角度為45°.點(diǎn)評(píng)：本

32、題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證/EAG=/EAF是解題的關(guān)鍵.7、D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM，DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)/MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2,/ABC=/AED=90°,求五邊形ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：應(yīng)用題.分析：可延長(zhǎng)DE至F,使EF=BC,可得ABCAAEF，連AC,AD,AF,可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論.

33、解答：解：延長(zhǎng)DE至F,使EF=BC,連AC,AD,AF, AB=CD=AE=BC+DE,/ABC=/AED=90°,CD=EF+DE=DF,在RtAABCRtAAEF中， AB=AE/ABC=/AEFBC=EFRtAABCRtAAEF(SAS),AC=AF,在ACD與AFD中， AC=AFCD=DFAD=ADACDAAFD(SSS),SABCDE=2SAADF=2X121DF罌E=2X12X2X2=4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求/EAF的度數(shù).將三角

34、形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABGWJGE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF又/EAF+/BAE+/DAF=90(1)如圖1,現(xiàn)有一正方形ABCD,將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F.請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，PE、PF之間是否還具有(2)中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請(qǐng)說明所以/

35、EAF=45度理由.如果沒有，那么點(diǎn)P在AC的什么位置時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：（1）證明ABEADF可推出AE=AF.（2）本題要借助輔助線的幫助.過點(diǎn)P作PMLBC于M,PNXDC于N,證明PMEPNF可推出PE=PF.（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE,PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.解答：解：（1）如圖1,AE=AF.理由：證明ABEAADF（ASA）（2）如圖2,PE=PF.理由：過點(diǎn)P作PMLBC于M,PNLDC于N,貝UPM=PN.由此可證得PMEPNF（ASA）,從

36、而證得PE=PF.（3） PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：（1）證明ABEADF可推出AE=AF.（1） 本題要借助輔助線的幫助.過點(diǎn)P作PMLBC于M,PNLDC于N,證明PMEPNF可推出PE=PF.（3） PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE,PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.解答：解：（1）如圖1,AE=AF.理由：證明ABEADF（ASA）（4） 如圖2,PE=PF.理由：過點(diǎn)P作PM,BC于M,PN，DC于N,則PM=PN,由此可證

37、得PMEAPNF（ASA）,從而證得PE=PF（5） PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定.例8.（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)BC,CD相交于點(diǎn)E,F時(shí)，（如圖13-1）,通過觀察或測(cè)量BE,CF的長(zhǎng)BC,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,F時(shí)（如圖13-2）,你在（1）中得到的（6） 當(dāng)三角尺的兩邊分別

38、與菱形的兩邊度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（7） 當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說明理由.圖132解：(1)BE=CF.證明：在ABE和4ACF中，./BAE+/EAC=/CAF+/EAC=60,./BAE=/CAF.AB=AC,/B=/ACF=60,.ZABEAACF(ASA).BE=CF.（8） BE=CF仍然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和ACF1、用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的600角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），你在（1）中得到的