(完整版)三角恒等變換知識(shí)總結(jié)及基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、sin(cos(tan(tan22tan1 tan2第四講三角色等變形、三角包等變形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.兩角和與差的三角函數(shù))sincoscossin)coscossinsintan tan)°1 mtan tan2 .二倍角公式sin2 2sin cos ；c22c2cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin33113。222244#3 .三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角公式常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 的逆用等。(2)化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量 使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。(1

2、)降哥公式sin cos1sin2 ； sin2 21 cos2 2；cos 21 cos22(2)輔助角公式asin x bcosx. a2b2 sin,cos其中sin4 .三角函數(shù)的求值類(lèi)型有三類(lèi)(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀(guān)察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消 去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于 變角”,如 ()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為 給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函

3、數(shù)的 單調(diào)性求得角。5.三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化 異”為 同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或 分析法進(jìn)行證明。二、典例解析【題型1】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)）的值。【例 1】已知 sin sin 1,cos cos 0 ,求 cos(分析：因?yàn)椋ǎ┘瓤煽闯墒桥c的和,也可以看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解：由已知sin+sin =1cos +cos =02+2得2+2cos cos (22得cos2+cos2+2cos ()=T,

4、即 2cos (cos()1sinsin 、cos關(guān)系.本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化,整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用?！纠?】已知tan ,tan是方程5x 6 0的兩個(gè)實(shí)根,求 2sin23sincos2cos的值。解法一：由韋達(dá)定理得 tan tan5, tantan6,點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯(cuò)誤是利用方程組解cos ，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂(lè)觀(guān)，其錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意到所求式與已知式的2sin21tan tan3sin1 6cos2 cossin22 cos2tan23tan1 2 1311tan211 151.原式解法二：由韋達(dá)定理得tantan5, tant

5、an tantan 6所以tan所以tantan tantantan1.于是有原式 2sin2 k3一 sin 2k2cos點(diǎn)評(píng)：(1)本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識(shí) 最近發(fā)展區(qū)”。(2)運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀(guān)察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征, 變形式也要熟悉，如聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。(3)對(duì)公式

6、的逆用公式,coscossinsincostan1tan tantantantantantantantan tantantantantan tantan二倍角公式【題型2】【例3】化簡(jiǎn):1 cos22,2, 一 3解：因?yàn)?2所以11 cos22 2cosL 1，所以J1221 cos2sin 2sin 2所以，原式=sin 一。2點(diǎn)評(píng)：(1)在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于的二倍,要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)同時(shí)還要注意2，44角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，cos2 sin2sin 4cos 4是常用的三角變換。(2)化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn),sin 2 cos2sin其中的降次

7、，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。(3)公式變形【例4】若2，cos1 cos2 . 2 ,sin1 cos2cos 43 17一,5 12r. c八27，求 Sin以 2cos X 的值1 tan x ,17斛：由一12又因cos 一43 .一,sin 5cosx coscoscossin 一 x sin 44,210，x44443從而 sinx 上，tanx 7.102原式 2sin xcosx 2sin x7.21027.2 2210101 tan x2875點(diǎn)評(píng)：此題若將 cos - x3回-的左邊展開(kāi)成 cos- cosx sinsinx3、一一再求sin x,

8、cos x的值，就很5繁瑣，把x作為整體，并注意角的變換42 - - x 2x,運(yùn)用二倍角公式，問(wèn)題就公難為易，化42繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問(wèn)題時(shí), 般方法是拼角與拆角，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系,【題型3】輔助角公式【例5】已知函數(shù)(1)(2)(1),2,2123y= cos2x+ -sinxcosx+ 1, xC R.當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量 x的集合;該函數(shù)的圖象可由y=sinx (xC R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到解：y= cos2x+23sinxcosx+12(2cos2x1)3(2sinxcosx) + 14=cos2x+sin2x+

9、 一1=一 (cos2x sin + sin2x cos )y取得最大值必須且只需2x+ =F 2 k it, kC Z,即 x=1- k tt, kCZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量 x的集合為 x|x= + k kCZ。(2)將函數(shù)y= sinx依次進(jìn)行如下變換:把函數(shù)y= sinx的圖象向左平移 一，得到函數(shù)y= sin (x+)的圖象;把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)7y= sin (2x+ )的圖象;把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(橫坐標(biāo)不變)1y= - sin (2x+ 6)的圖象;. 5把得到的圖象向上平移 -個(gè)單位長(zhǎng)度,4得到函數(shù)1y= - sin

10、(2x+25)+ z的圖象;1.3綜上得到函數(shù) y= cos2x+ sinxcosx+1的圖象。點(diǎn)評(píng)：引入輔助角技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式asin.2. 2.bcos . a b sin其中tanb一,或 asin abcosa2 b2 cos,其中tana在歷年高考中使用頻率是相 b當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注?！绢}型4】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)【例6】已知函數(shù)f(x)1 .2sin(2x )4-( 的第四象限的角)cosxtan解：因?yàn)閠an4一,且是第四象限的角，所以sin34一 ,cos535,故 f (x),2sin(2 -)1 2(2；2sin25 cos2sin 2 cos 2coscoscos2-.

11、2cos 2sincoscos142(cos sin )。5【題型5】三角函數(shù)的值及周期【例7】設(shè)函數(shù)f (x) ,cos2 x sin xcosx a (其中 >0,a R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一6(I )求3的值；(n)如果f(x)在區(qū)間5上的最小值為6<*3 ,求a的值。解：(I) f (x)30s221 sin 22、3 x 2a sin(2 x依題意得(II)由(I)知,f(x)sin(x又當(dāng)最小值為.3時(shí),70，Tsin(x ) 3從而f (x)在區(qū)間Tt 5 7t AA上的3 6a,【題型6】三角函數(shù)綜合問(wèn)題【例8已知向量(sinr ,1

12、),b(1,cos ),(I)rb,求(II)求rb的最大值。解:(1)r ra b,r v agosin cos 0r(2). a(sin1,cos1)sin1)2 (cos 1)2sin22sin 12cos 2cos 1 2(sin cos ) 32.2sin( ) 34當(dāng) sin(一)=1 時(shí) a4rb有最大值，此時(shí)_ 最大值為22.22.322.14°513.、基礎(chǔ)訓(xùn)練、選擇題：1已知sin 22皿 2/ 一則 cos (32.3.4.B.4) =13D.函數(shù)f(x)sin xcosx-cos2x的最小正周期和振幅分別是 2兀,1B.7t,2C. 2 兀,1D.,2設(shè) si

13、n ( +B.D.f(x)、.3 sincosx( 0), xR.在曲線(xiàn)yf (x)與直線(xiàn)1的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為則f (x)的最小正周期為35.6.7.8.A.一22B.3C.D. 2sin47o sin170 cos30ocos17oA.B.1c.2,3D.2已知sincos(0兀)則sin 2A.B.-22.2 C.2D.1函數(shù)f(x)(1Etan x)cosx的最小正周期為3B. 一2C.D.已知f(x)A. a+b= 0 2 ，sin (x )若 a=f (lg5)B. a-b= 0,1b f (lg -)則5C. a+b=1D. a-b= 1二、填空題:9.已知 tan

14、(x7)2,則tanx 田的值為tan2x10.已知立則tan211.函數(shù)ysin 一 2x cos - x6的最大值為12.函數(shù)y2sin xcos x的最大值為；5三、解答題:13.已知函數(shù)f (x)(1)求A的值;(2)14(1)(2)(2)(1)因?yàn)樗詂os(Acosx46 ?x R ,且f - 3,2一 ，f24433017f 42385,求 cos(Acos126Acos4二A2V2,解得A 2。2cos362cos22sin30，即sin172cos662cos8 ,即5cos45o)的值.0,0,一,所以已知函數(shù)f(x)sin2xcos2sin17sin2cos)cos cossinsin_8