初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)：幾何不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第二十三講幾何不等式平面圖形中所含的線段長度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會(huì)呈現(xiàn)不等的關(guān)系.由于這些不等關(guān)系出現(xiàn)在幾何問題中，故稱之為幾何不等式.在解決這類問題時(shí)，我們經(jīng)常要用到一些教科書中已學(xué)過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運(yùn)用這些基本定理，通過幾何、三角、代數(shù)等解題方法去解決幾何不等式問題.這些問題難度較大，在解題中除了運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì).幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關(guān)的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式.下面

2、先給出幾個(gè)基本定理.定理1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊.定理2同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，反之亦然.定理3在兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中，第三邊大的，所對(duì)的角也大，反之亦然.定理4三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于另一頂點(diǎn)到這兩頂點(diǎn)距離之和.定理5自直線l外一點(diǎn)P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長.pApbhA-hB.從而定理容易得證.定理6在ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，則有PA&maxAB,AC,當(dāng)點(diǎn)P為A或B時(shí)等號(hào)成立.說明maxAB,AC表示AB,AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于P

3、HCBH由上面的定理5知PA0BA,從而PA&maxAB,AC.同理，若P在線段HC上，同樣有PAWmaxAB,AC.例1在銳角三角形ABC中，AB>ACAM為中線，PAAMC內(nèi)一點(diǎn)，證明：PB>PC（圖2-137）.證在AMBf4AM/，AM是公共邊，BM=MC且AB>AC,由定理3知，/AMB>/AMC所以/AM&90°.過點(diǎn)P作PHLBC,垂足為H,則H必定在線段BM勺延長線上.如果H在線段MC內(nèi)部，則BH>BM=MCHC如果H在線段MC的延長線上，顯然BH>HC,所以PB>PC.說明如圖2-135所示.PAPB是斜線，

4、HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA>HB則PA>PB;若PA>PB,則HA>HB事實(shí)上，由勾股定理知pA2-hA?=pH?=pB?-hB!,所以例2已知P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)（圖2-138）.學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)求證:Q+b+c)<PA+PB+PCa<a+b+c；(2)若ABC為正三角形，且邊長為1,求證:例3如圖2-139.在線段BC同側(cè)作兩個(gè)三角形ABC和DBC使彳AAB=ACDB>DC且AB+AC=DBDC若AC與BD相交于E,求證：AE>DE證在DB上取點(diǎn)F,使DF=AC并連接AF和AD.由已知2DB>DB+DC=AB+

5、AC=2ACPA+P母PC<2.證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得所以DB>AC.PA+PB>c,PB+PC>a,PC+PA>b.把這三個(gè)不等式相加,再兩邊除以2,便得由于DB+DC=ABbAC=2AC所以在ABF中,又由定理4可知PA+PB<a+b,PB+PC<b+c,PC+P*c+a.把它們相加，再除以2,便得PA+PB+PC<a+b+c.Ca+b+O<PA+PB+PC<a+b+C.所(2)過P作DE/BC交正三角形ABC的邊AB,AC于D,E,如圖2-138所示.于是PA<maxAD,AE=ADPB<BD+DP,P

6、C<PE+EC,所以PA+PB+PC<AD+BD+DP+P臥EC=AB+AE+EC=2DOBF=AC=ABAF>ABBF=DC在ADC和ADF中,AD=ADAC=DFAF>CD.由定理3,/1>/2,所以AE>DE例4設(shè)G是正方形ABCD勺邊DC上一點(diǎn)，連結(jié)AG并延長交BC延長線于K,求證：(AG+AK)>AC.分析在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般是設(shè)法構(gòu)造好#對(duì)應(yīng)的三角形，轉(zhuǎn)化為角的不等轉(zhuǎn).即構(gòu)造以<(AG+AK)和其所之為邊的三角形.證如圖2-140,在GK上取一點(diǎn)M使GM=MK則1(AG+AK)=AM.在RtGCK中，CM是GK邊上的

7、中線，所以/GCM=MGC而/ACG=45,/MGC>/ACG于是ZMGC>45°,學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以<(x+y+z)maxAA',BB',CC即證BD/CD,因?yàn)锽AMCABOA+OB，+OC<XY+BX+CY=BC所以O(shè)A+OB+OC=x-AA'+yBB'+z-CC所以->2BDAB即BO2BD.又CD>BC-BD,所以/ACMWACG-/GCIW90°.由于在ACMF/ACM>/AMC所以AM>AC故；Cag+ak)>ac,例5如圖2-141.設(shè)BC是ABC的最長邊，在此三角形內(nèi)部

8、任選一點(diǎn)O,AO,BQCO分別交又邊于A',B',C'.證明：(1)OA'+OB+OC<BC;(2)OA'+OB+OC<maxAA',BB',CC.證(1)過點(diǎn)O作OXOY分別平彳f于邊AB,AC,交邊BC于X,丫點(diǎn)，再過X,Y分別作XS,YT平行于CC'和BB'交AB,AC于S,T.由于OXPABC,所以XY是OXY的最大邊，所以O(shè)A<maxOXOY<XY.又BXSABCC,而BC是ABCC中的最大邊，從而BX也是BXS中的最大邊，而且SXOC是平行四邊形，所以BX>XS=OC.同理CY&g

9、t;OB.所以=maxAA',BB',CC下面我們舉幾個(gè)與角有關(guān)的不等式問題.例6在4ABC中,D是中線AM上一點(diǎn)，若/DCB>/DBC求證：/ACB>/ABC(ffl2-142).證在4BCD中，因?yàn)?DCB>/DBC所以BD>CD.在DMB£<DMC,DM為公共邊，BM=MC并且BD>CD,由定理3知，/DMB>/DMC在AMB1AMW,AM是公共邊，BM=MC且/AMB>/AMC由定理3知，AB>AC,所以/ACB>/ABC說明在證明角的不等式時(shí)，常常把角的不等式轉(zhuǎn)換成邊的不等式.例在ABC中，若ABe

10、二AC,求證ZACB<ZASC.證由于AOAB,所以/B>/C.作/ABD=/C,如圖-143所示.欲證只需證2學(xué)習(xí)必備BOCD>2BD+BCBR所以CD>BD.從而命題得證.例8在銳角ABC中，最大的高線AH等于中線BM求證:/B<60°（圖2-144）.證作MH，BC于H1,由于M是中點(diǎn)，所以122于是在RtMHB中，/MBH=30°.延長BM至N,使得MN=BM則ABC可平行四邊形.因?yàn)锳H為最大高，由三角形的面積公式=（如*=二匕鼠=：曲1知，E瑰ABC中的最短邊，所以AN=B（C；AB,從而/ABN</ANBNMBC=30,/B

11、=/ABM-J/MBC；60°.下面是一個(gè)非常著名的問題一一費(fèi)馬點(diǎn)問題.例9如圖2-145.設(shè)O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/AOBhBOC=COA=120,P為任意一點(diǎn)（不是O）.求證：PA+PB+PC>OA+OB+QC歡迎下載證過ABC的頂點(diǎn)A,B,C分別引OAOBOC的垂線，設(shè)這三條垂線的交點(diǎn)為Ai,Bi,G（如圖2-145）,考慮四邊形AOBC.因?yàn)?OAC=/OBC=90°,/AOB=120,所以/G=60°.同理，/A1=/B1=60°.所以A1B1C1為正三角形.設(shè)P到A1B1G三邊3G,C1A1,A1B1的距離分別為ha,hb,hc,且A1B

12、1G的邊長為a,高為h.由等式、匕A1BiCi=SAPB1C1+SAPGA+SAPA1B1知gh式.ghJa+g%，&+,a,所以h=ha+hb+hc.這說明正ABG內(nèi)任一點(diǎn)P到三邊的距離和等于AB1C1的高h(yuǎn),這是一個(gè)定值，所以O(shè)LO打OC=h先值.顯然，PA+PB+POP到A1B1C1三邊距離和，所以PA+PB+PC>h=OAO打OC這就是我們所要證的結(jié)論.由這個(gè)結(jié)論可知O點(diǎn)具有如下性質(zhì)：它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和小于其他點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離和，這個(gè)點(diǎn)叫費(fèi)馬點(diǎn).練習(xí)二十三1 .設(shè)D是4ABC中邊BC上一點(diǎn)，求證：AD不大于AB計(jì)的最大邊.2 .AM是ABC的中線，求證：AM<1（AB+AC）.3 .已知ABC的邊BC上有兩點(diǎn)D,E,且BD=CE求證：AB十AOAAAE.4 .設(shè)4ABC中，/C>/B,BD,CE分別為/B與/C的平分線，求證：BD>CE學(xué)習(xí)必備歡迎