初中數(shù)學競賽專題培訓：幾何不等式

1、學習必備歡迎下載初中數(shù)學競賽專題培訓第二十三講幾何不等式平面圖形中所含的線段長度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會呈現(xiàn)不等的關系.由于這些不等關系出現(xiàn)在幾何問題中，故稱之為幾何不等式.在解決這類問題時，我們經(jīng)常要用到一些教科書中已學過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運用這些基本定理，通過幾何、三角、代數(shù)等解題方法去解決幾何不等式問題.這些問題難度較大，在解題中除了運用不等式的性質和已經(jīng)證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點和性質.幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式.下面

2、先給出幾個基本定理.定理1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊.定理2同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然.定理3在兩邊對應相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然.定理4三角形內(nèi)任一點到兩頂點距離之和，小于另一頂點到這兩頂點距離之和.定理5自直線l外一點P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長.pApbhA-hB.從而定理容易得證.定理6在ABC中，點P是邊BC上任意一點，則有PA&maxAB,AC,當點P為A或B時等號成立.說明maxAB,AC表示AB,AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于P

3、HCBH由上面的定理5知PA0BA,從而PA&maxAB,AC.同理，若P在線段HC上，同樣有PAWmaxAB,AC.例1在銳角三角形ABC中，AB>ACAM為中線，PAAMC內(nèi)一點，證明：PB>PC（圖2-137）.證在AMBf4AM/，AM是公共邊，BM=MC且AB>AC,由定理3知，/AMB>/AMC所以/AM&90°.過點P作PHLBC,垂足為H,則H必定在線段BM勺延長線上.如果H在線段MC內(nèi)部，則BH>BM=MCHC如果H在線段MC的延長線上，顯然BH>HC,所以PB>PC.說明如圖2-135所示.PAPB是斜線，

4、HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA>HB則PA>PB;若PA>PB,則HA>HB事實上，由勾股定理知pA2-hA?=pH?=pB?-hB!,所以例2已知P是ABC內(nèi)任意一點（圖2-138）.學習必備歡迎下載(1)求證:Q+b+c)<PA+PB+PCa<a+b+c；(2)若ABC為正三角形，且邊長為1,求證:例3如圖2-139.在線段BC同側作兩個三角形ABC和DBC使彳AAB=ACDB>DC且AB+AC=DBDC若AC與BD相交于E,求證：AE>DE證在DB上取點F,使DF=AC并連接AF和AD.由已知2DB>DB+DC=AB+

5、AC=2ACPA+P母PC<2.證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得所以DB>AC.PA+PB>c,PB+PC>a,PC+PA>b.把這三個不等式相加,再兩邊除以2,便得由于DB+DC=ABbAC=2AC所以在ABF中,又由定理4可知PA+PB<a+b,PB+PC<b+c,PC+P*c+a.把它們相加，再除以2,便得PA+PB+PC<a+b+c.Ca+b+O<PA+PB+PC<a+b+C.所(2)過P作DE/BC交正三角形ABC的邊AB,AC于D,E,如圖2-138所示.于是PA<maxAD,AE=ADPB<BD+DP,P

6、C<PE+EC,所以PA+PB+PC<AD+BD+DP+P臥EC=AB+AE+EC=2DOBF=AC=ABAF>ABBF=DC在ADC和ADF中,AD=ADAC=DFAF>CD.由定理3,/1>/2,所以AE>DE例4設G是正方形ABCD勺邊DC上一點，連結AG并延長交BC延長線于K,求證：(AG+AK)>AC.分析在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般是設法構造好#對應的三角形，轉化為角的不等轉.即構造以<(AG+AK)和其所之為邊的三角形.證如圖2-140,在GK上取一點M使GM=MK則1(AG+AK)=AM.在RtGCK中，CM是GK邊上的

7、中線，所以/GCM=MGC而/ACG=45,/MGC>/ACG于是ZMGC>45°,學習必備歡迎下載所以<(x+y+z)maxAA',BB',CC即證BD/CD,因為BAMCABOA+OB，+OC<XY+BX+CY=BC所以OA+OB+OC=x-AA'+yBB'+z-CC所以->2BDAB即BO2BD.又CD>BC-BD,所以/ACMWACG-/GCIW90°.由于在ACMF/ACM>/AMC所以AM>AC故；Cag+ak)>ac,例5如圖2-141.設BC是ABC的最長邊，在此三角形內(nèi)部

8、任選一點O,AO,BQCO分別交又邊于A',B',C'.證明：(1)OA'+OB+OC<BC;(2)OA'+OB+OC<maxAA',BB',CC.證(1)過點O作OXOY分別平彳f于邊AB,AC,交邊BC于X,丫點，再過X,Y分別作XS,YT平行于CC'和BB'交AB,AC于S,T.由于OXPABC,所以XY是OXY的最大邊，所以OA<maxOXOY<XY.又BXSABCC,而BC是ABCC中的最大邊，從而BX也是BXS中的最大邊，而且SXOC是平行四邊形，所以BX>XS=OC.同理CY&g

9、t;OB.所以=maxAA',BB',CC下面我們舉幾個與角有關的不等式問題.例6在4ABC中,D是中線AM上一點，若/DCB>/DBC求證：/ACB>/ABC(ffl2-142).證在4BCD中，因為/DCB>/DBC所以BD>CD.在DMB£<DMC,DM為公共邊，BM=MC并且BD>CD,由定理3知，/DMB>/DMC在AMB1AMW,AM是公共邊，BM=MC且/AMB>/AMC由定理3知，AB>AC,所以/ACB>/ABC說明在證明角的不等式時，常常把角的不等式轉換成邊的不等式.例在ABC中，若ABe

10、二AC,求證ZACB<ZASC.證由于AOAB,所以/B>/C.作/ABD=/C,如圖-143所示.欲證只需證2學習必備BOCD>2BD+BCBR所以CD>BD.從而命題得證.例8在銳角ABC中，最大的高線AH等于中線BM求證:/B<60°（圖2-144）.證作MH，BC于H1,由于M是中點，所以122于是在RtMHB中，/MBH=30°.延長BM至N,使得MN=BM則ABC可平行四邊形.因為AH為最大高，由三角形的面積公式=（如*=二匕鼠=：曲1知，E瑰ABC中的最短邊，所以AN=B（C；AB,從而/ABN</ANBNMBC=30,/B

11、=/ABM-J/MBC；60°.下面是一個非常著名的問題一一費馬點問題.例9如圖2-145.設O為ABC內(nèi)一點，且/AOBhBOC=COA=120,P為任意一點（不是O）.求證：PA+PB+PC>OA+OB+QC歡迎下載證過ABC的頂點A,B,C分別引OAOBOC的垂線，設這三條垂線的交點為Ai,Bi,G（如圖2-145）,考慮四邊形AOBC.因為/OAC=/OBC=90°,/AOB=120,所以/G=60°.同理，/A1=/B1=60°.所以A1B1C1為正三角形.設P到A1B1G三邊3G,C1A1,A1B1的距離分別為ha,hb,hc,且A1B

12、1G的邊長為a,高為h.由等式、匕A1BiCi=SAPB1C1+SAPGA+SAPA1B1知gh式.ghJa+g%，&+,a,所以h=ha+hb+hc.這說明正ABG內(nèi)任一點P到三邊的距離和等于AB1C1的高h,這是一個定值，所以OLO打OC=h先值.顯然，PA+PB+POP到A1B1C1三邊距離和，所以PA+PB+PC>h=OAO打OC這就是我們所要證的結論.由這個結論可知O點具有如下性質：它到三角形三個頂點的距離和小于其他點到三角形頂點的距離和，這個點叫費馬點.練習二十三1 .設D是4ABC中邊BC上一點，求證：AD不大于AB計的最大邊.2 .AM是ABC的中線，求證：AM<1（AB+AC）.3 .已知ABC的邊BC上有兩點D,E,且BD=CE求證：AB十AOAAAE.4 .設4ABC中，/C>/B,BD,CE分別為/B與/C的平分線，求證：BD>CE學習必備歡迎