函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)定義域的要求：無論是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）對(duì)稱2、軸對(duì)稱的等價(jià)描述：（1）faxfaxfx關(guān)于xa軸對(duì)稱（當(dāng)a0時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）ab,.（2） faxfbxfx關(guān)于x軸對(duì)稱2在已知對(duì)稱軸的情況下，構(gòu)造形如faxfbx的等式只需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)f前面的符號(hào)相同，且括號(hào)內(nèi)x前面的符號(hào)相反；二是a,b的取值保ab證xab為所給對(duì)稱軸即可。例如：fx關(guān)于x1軸對(duì)稱fxf2x,2或得到f3xf1x均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是fx更為方便（3） fx

2、a是偶函數(shù)，則fxafxa,進(jìn)而可得到：fx關(guān)于xa軸對(duì)稱。 要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在fxa中，x僅是括號(hào)中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，即fxafxa,要與以下的命題區(qū)分：若fx是偶函數(shù)，則fxafxa:fx是偶函數(shù)中的x占據(jù)整個(gè)括號(hào)，所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有fxafxa 本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，fxa是偶函數(shù)，則fxa關(guān)于x0軸對(duì)稱，而fx可視為fxa平移了|a個(gè)單位（方向由a的符號(hào)決定），所以fxxa對(duì)稱。全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編(附詳解)3、中心對(duì)稱的等價(jià)描述：(1)faxfaxfx關(guān)于a,0軸對(duì)稱

3、(當(dāng)a0時(shí)，恰好就是奇函數(shù))ab(2) faxfbxfx關(guān)于,0軸對(duì)稱2在已知對(duì)稱中心的情況下，構(gòu)造形如faxfbx的等式同樣需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)f和x前面的符號(hào)均相反；二是a,b的取值保證x圣為所給2對(duì)稱中心即可。例如：fx關(guān)于1,0中心對(duì)稱fxf2x,或得到f3xf5x均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是fx更為方便(3) fxa是奇函數(shù)，則fxafxa,進(jìn)而可得到：fx關(guān)于a,0軸對(duì)稱。要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在fxa中，x僅是括號(hào)中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相反，即fxafxa,要與以下的命題區(qū)分：若fx是奇函數(shù)，則fxafxa:fx是奇函

4、數(shù)中的x占據(jù)整個(gè)括號(hào)，所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有fxafxa本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，fxa是奇函數(shù)，則fxa關(guān)于0,0中心對(duì)稱，而fx可視為fxa平移了|a個(gè)單位(方向由a的符號(hào)決定)，所以fx關(guān)于a,0對(duì)稱。4、對(duì)稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：(1)可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編(附詳解)(2)在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對(duì)稱性得到另一半圖像(3)極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)對(duì)稱(4)在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)

5、間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同(二)函數(shù)的周期性1、定義：設(shè)fx的定義域?yàn)镈,若對(duì)xD,存在一個(gè)非零常數(shù)T,有fxTfx,則稱函數(shù)fx是一個(gè)周期函數(shù)，稱T為fx的一個(gè)周期2、周期性的理解：可理解為間隔為T的自變量函數(shù)值相等3、若fx是一個(gè)周期函數(shù)，則fxTfx，那么fx2TfxTfx,即2T也是fx的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：kTkZ也是fx的一個(gè)周期4、最小正周期：正由第3條所說，kTkZ也是fx的一個(gè)周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)fxC5、函數(shù)周期性的判定：(1)

6、 fxafxb:可得fx為周期函數(shù)，其周期Tba(2) fxafxfx的周期T2a分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個(gè)等式：fx2afxa所以有：fx2afxafxfx,即周期T2a注：遇到此類問題，如果一個(gè)等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個(gè)等式，進(jìn)而通過兩個(gè)等式看能否得出周期全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編(附詳解)(3)fxafx的周期T2a分析：fx2a(4)fxfxak(k為常數(shù))fx的周期T2afxfxak,fxafx2ak,兩式相減可得：fx2afx(5)fxfxak(k為常數(shù))fx的周期T2a(6)雙對(duì)稱出周期：若一個(gè)函數(shù)fx存在兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系，則fx

7、是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下：(假設(shè)ba)若fx的圖像關(guān)于xa,xb軸對(duì)稱，則fx是周期函數(shù)，周期T2ba分析：fx關(guān)于xa軸對(duì)稱fxf2axfx關(guān)于xb軸對(duì)稱fxf2bxf2axf2bxfx的周期為T2b2a2ba若fx的圖像關(guān)于a,0,b,0中心對(duì)稱，則fx是周期函數(shù)，周期T2ba若fx的圖像關(guān)于xa軸對(duì)稱，且關(guān)于b,0中心對(duì)稱，則fx是周期函數(shù),周期T4ba7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。(1)函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值(2)圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行

8、“復(fù)全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編(附詳解)制+粘貼”(3)單調(diào)區(qū)問：由于間隔kTkZ的函數(shù)圖象相同，所以若fx在a,bbaT上單調(diào)增(減)，則fx在akT,bkTkZ上單調(diào)增(減)(4)對(duì)稱性：如果一個(gè)周期為T的函數(shù)fx存在一條對(duì)稱軸xa(或?qū)ΨQ中心)，kT則fx存在無數(shù)條對(duì)稱軸，其通式為xa一kZ2證明：fx關(guān)于xa軸對(duì)稱fxf2ax函數(shù)fx的周期為TfxkTfx一.kT,一fxkTf2axfx關(guān)于xa一軸對(duì)稱2注：其中(3)(4)在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛，可作為檢驗(yàn)答案的方法二、典型例題：f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x,例1:設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x2)則f(7.5)思

9、路：由f(x2)f(x)可得:的周期T4,考慮將f(7.5)用0x1中的函數(shù)值進(jìn)行表示：f(7.5)f3.5f0.5,此時(shí)周期性已經(jīng)無法再進(jìn)行調(diào)整,考慮利用奇偶性進(jìn)行微調(diào)：f0.5f0.5,所以f(7.5).1f(7.5)20.2定義域?yàn)镽的函數(shù)A.B.5218C.D.思路:2f2,可類比函數(shù)的周期性,所以考慮0.2全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）f51f22答案：D小煉有話說:雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關(guān)系與周期性類似，可理解為:間隔2個(gè)單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關(guān)系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進(jìn)行靠攏。例3:定義在R上的函數(shù)fx對(duì)任意xR,都有fxr

10、v，f則f2016等于B.c.3D.思路：由f1f2x一及所求fx2010可聯(lián)想到周期性，所以考慮故f20161fx1fx11fxf4,而由已知可得ffx是周期為4的周期函數(shù),2016-5答案：D例4(2009山東）：定義在R上的函數(shù)x滿足fx10g21fxx,x0fx2,x0'則f2009的值為（A.1B.0C.D.2思路：所給fx的特點(diǎn)為x0才有解析式能夠求值，而x0只能通過fx2減少自變量的取值，由所求f2009可聯(lián)想到判斷fx全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編(附詳解)是否具有周期性，fxfx1fx2,則有兩式相加可得：fxfx3,則0時(shí)周期是6,故2009答案：C小煉有話說

11、：(1)本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質(zhì)向含解析式的自變量靠攏，而x2009數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。(2)如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達(dá)到余數(shù)。例如本題中200963345,從而f2009f5(3)本題推導(dǎo)過程中fxfx3也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進(jìn)行“微調(diào)”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi)例5:函數(shù)fx是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)，fx10g2x11,則不等式xfx0在1,3上

12、的解集為思路：從已知出發(fā)可知x0,2時(shí)，fx為增函數(shù)，且f110g2210,所以x0,1時(shí)，fx0,x1,2時(shí)，fx0,由偶函數(shù)可得：x1,0時(shí)，fx0,fx2,1時(shí)，fx0O從而可作出草圖。由所解不等式xfx0可將1,3分為1,0U0,3兩部分，當(dāng)x0時(shí)，fx0,所以x1,0,當(dāng)x0時(shí)，fx0,所以fx1,3,綜上解集為：1,0U1,3全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）答案：1,0U1,3例6:已知fx是定義在R上的函數(shù)，滿足fxfx0,fx1fx1,當(dāng)x0,1時(shí)，fxx2x,則函數(shù)fx的最小值為（A.B.C.D.思路：由fx1fx1可得fx是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一

13、個(gè)周期內(nèi)的最值即可。由fxfx0可得fx為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間2一11.11.1,1,在x0,1時(shí)，fxx-,所以fxmaxf-一，而由于24max24111fx為奇函數(shù)，所以在x1,0時(shí)，fx訕f1f1，所以min2241.f2即為fx在1,1的最小值，從而也是fx在R上的最小值答案：B例7:已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足fxfx4,且函數(shù)fx在區(qū)間2,上單調(diào)遞增，如果x12x2，且x1x24,則fx1fx2的值（A.可正可負(fù)B.恒大于0C.可能為0D.恒小于0思路一：題目中給了單調(diào)區(qū)間，與自變量不等關(guān)系，所求為函數(shù)值的關(guān)系，從而想到單調(diào)性，而xx24可得x24x1，因?yàn)閤12,所以4x12,

14、進(jìn)而將x2,4x1裝入了2,中，所以由x24x1可得fx2f4x1，下一步需要轉(zhuǎn)化f4x1,由fxfx4可得fx關(guān)于2,0中心對(duì)稱，所以有f4xfxo代入x1可得f4x1fx1,從而fx2fx1fx1fx20全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）思路二：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更便于求解。先從fxfx4分析出fx關(guān)于2,0中心對(duì)稱，令x2代入到fxfx4可得f20。中心對(duì)稱的函數(shù)對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同，從而可作出草圖。而X24配32,即2xi,x2的中點(diǎn)位于x2的左側(cè)，所以xi比x2距離x2更遠(yuǎn)，結(jié)合圖象便可分析出fxifx2恒小于0答案：D小煉有話說：（1）本題是單調(diào)性與對(duì)稱性的一個(gè)結(jié)合，入手點(diǎn)

15、在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系，與所求函數(shù)值關(guān)系，而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性，所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。而對(duì)稱性起到一個(gè)將函數(shù)值等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系（2）數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)：第一個(gè)是中心對(duì)稱圖像的特點(diǎn)，不僅僅是單調(diào)性相同，而且是呈“對(duì)稱”的關(guān)系，從而在圖像上才能看出f%fx2的符號(hào)；第二個(gè)是f20,進(jìn)而可知x2,fx0;x,2,fx0;第三個(gè)是xix24迎力2,既然是數(shù)形結(jié)合，則題中條件也要盡可能轉(zhuǎn)為圖像特點(diǎn)，2而xix24表現(xiàn)出中點(diǎn)的位置，從而能夠判斷出xi,x2距離中心對(duì)稱點(diǎn)的遠(yuǎn)近。例8:函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,若fxI與fxi都是奇函數(shù)，則（）A.fx

16、是偶函數(shù)B.fx是奇函數(shù)C.fxfx2D.fx3是奇函數(shù)思路：從已知條件入手可先看fx的性質(zhì)，由fxi,fxi為奇函數(shù)分別可得到：fxi,fxifxi,所以fx關(guān)于i,0,i,0中心對(duì)全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）稱，雙對(duì)稱出周期可求得T2114,所以C不正確，且由已知條件無法推出一定符合A,B。對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)門4,所以fx5fx1fx1,進(jìn)而可推出fx關(guān)于3,0中心對(duì)稱，所以fx3為fx圖像向左平移3個(gè)單位，即關(guān)于0,0對(duì)稱，所以fx3為奇函數(shù)，D正確答案：D例9:已知定義域?yàn)镽的函數(shù)yfx在0,7上只有1和3兩個(gè)零點(diǎn)，且yfx2與yfx7都是偶函數(shù)，則函數(shù)yfx在0,20

17、13上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.404B.804C.806D.402思路：已知區(qū)間僅是0,7,而所求區(qū)間為0,2013,跨度如此之大，需要函數(shù)性質(zhì)。從條件入手fx2,fx7為偶函數(shù)可得fx關(guān)于x2,x7軸對(duì)稱，從而判斷出fx是周期函數(shù)，且T27210,故可以考慮將0,2013以10為周期分組，先判斷出一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點(diǎn)即可解：；fx2,fx7為偶函數(shù)fx2fx2,fx7fx7fx關(guān)于x2,x7軸對(duì)稱fx為周期函數(shù)，且T27210將0,2013劃分為0,10U10,20U-U2000,2010U2010,2013.fx關(guān)于x2,x7軸對(duì)稱fxf4x,fxf14x.f1

18、f60f8f148f60f3f43f10在0,10中只含有四個(gè)零點(diǎn)全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題學(xué)案匯編（附詳解）而0,10U10,20U-U2000,2010共201組所以N2014804在2010,2013中，含有零點(diǎn)f2011f10,f2013f30共兩個(gè)所以一共有806個(gè)零點(diǎn)答案：C小煉有話說：（1）周期函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可以考慮先統(tǒng)計(jì)一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個(gè)周期，相乘即可。如果有不滿一個(gè)周期的區(qū)間可單獨(dú)統(tǒng)計(jì)（2）在為周期函數(shù)分段時(shí)有一個(gè)細(xì)節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時(shí)“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時(shí)，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達(dá)到分段要求，而且每段之間保持隊(duì)型，結(jié)構(gòu)整齊，便于分析。（3）當(dāng)一個(gè)周期內(nèi)含有對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）時(shí)