自動(dòng)控制原理第九章狀態(tài)空間分析方法ppt課件

1、第九章形狀空間分析方法第第9 9章章 形狀空間分形狀空間分 析方法析方法根本要求9-1 形狀空間方法根底9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3 形狀反響和形狀觀測(cè)器9-4 有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5 李雅普諾夫第二方法經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論(50年代前年代前)現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論(50年代后年代后)研究對(duì)象研究對(duì)象單輸入單輸出的線單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述輸入、輸出描述)狀態(tài)方程狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚摼€性代數(shù)、矩陣

2、理論設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)特點(diǎn)非唯一性、試湊成非唯一性、試湊成份多份多, 經(jīng)驗(yàn)起很大經(jīng)驗(yàn)起很大作用。主要在復(fù)數(shù)作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。域進(jìn)行。設(shè)計(jì)的解析性，與計(jì)設(shè)計(jì)的解析性，與計(jì)算機(jī)結(jié)合，主要在時(shí)算機(jī)結(jié)合，主要在時(shí)間域進(jìn)行。間域進(jìn)行。掌握由系統(tǒng)輸入輸出的微分方程式、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)構(gòu)造圖、及簡(jiǎn)單物理模型圖建立系統(tǒng)形狀空間模型的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計(jì)算方法，熟練掌握由時(shí)域和復(fù)數(shù)域求解形狀方程的方法。熟練掌握由動(dòng)態(tài)方程計(jì)算傳送函數(shù)的公式。正確了解可逆線性變換, 熟練掌握可逆線性變換前、后動(dòng)態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確了解可控性和可觀測(cè)性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。 熟練掌握可逆線性變換

3、矩陣的構(gòu)成方法, 能將可控系統(tǒng) 化為可控規(guī)范形。能將不可控系統(tǒng)進(jìn)展可控性分解。正確了解對(duì)偶原理, 會(huì)將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測(cè)性的問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶系統(tǒng)的可控性問題來研討。正確了解單變量系統(tǒng)零、極點(diǎn)對(duì)消與動(dòng)態(tài)方程可控、可觀測(cè)的關(guān)系。熟練掌握傳送函數(shù)的可控性規(guī)范形實(shí)現(xiàn)、可觀性規(guī)范形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確了解形狀反響對(duì)可控性，可觀性的影響, 正確了解形狀反響可恣意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件。熟練掌握全維形狀觀測(cè)器的公式和設(shè)計(jì)方法, 熟練掌握由觀測(cè)器得到的形狀估計(jì)值替代形狀值構(gòu)成的形狀反響系統(tǒng), 可進(jìn)展閉環(huán)極點(diǎn)配置和觀測(cè)器極點(diǎn)配置。正確了解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念, 熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和

4、判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。正確了解李雅普諾夫方程正定對(duì)稱解存在的條件和解法, 能經(jīng)過解李雅普諾夫方程進(jìn)展穩(wěn)定性分析。9-1 形狀空間方法根底 在經(jīng)典控制實(shí)際中，用傳送函數(shù)來設(shè)計(jì)和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。 在現(xiàn)代控制實(shí)際中，用形狀變量來描畫系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)約明了，為系統(tǒng)的分析研討提供了有力的工具。形狀：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的形狀可以定義形狀：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的形狀可以定義為信息的集合。為信息的集合。一、形狀空間的根本概念知知 時(shí)形狀，時(shí)形狀， 時(shí)的輸入，可確定時(shí)的輸入，可確定 時(shí)任一變量的運(yùn)動(dòng)情況。時(shí)任一變量的運(yùn)動(dòng)情況。0t0tt 0tt 形狀變量：確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)形狀的形狀變量：確

5、定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)形狀的最小一組變量最小一組變量 。)(,),(1txtxn 12nx txtX txt 形狀空間：由 張成的n維向量空間。)(tX形狀向量：形狀向量： 假設(shè)完全描畫一個(gè)假設(shè)完全描畫一個(gè)給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為需求需求n n個(gè)形狀變量，那個(gè)形狀變量，那么形狀向量定義為么形狀向量定義為X(t)X(t)對(duì)于確定的某個(gè)時(shí)辰，形狀表示為形狀空間中一個(gè)點(diǎn)，形狀隨時(shí)間的變化過程，構(gòu)成了形狀空間中的一條軌跡。例9-2 設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如下圖。 回路方程為( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC圖9-2 RLC網(wǎng)絡(luò)2( )( )x ti t dt)()(1tit

6、x選擇形狀變量11211RxxxeLLCL 那么有21xx11010RuLCLLxx寫成21)()(xCtcty10Cx輸出11100RLLuLCxx寫成)()(1titx21( )( )x ti t dtC假設(shè)選另一組形狀變量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 那么有 uyayayaynnnnn 02211 假 設(shè) 給 出 ( t = 0 ) 時(shí) 的 初值 、 、 、 和 時(shí)就可確定系統(tǒng)的行為。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx單輸入單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)單輸出線性定常系統(tǒng)選取形狀變量二、系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式12231nnxxx

7、xxx9-170 11 21nnnxa xa xaxu或?qū)懗蓌AxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB9-19系統(tǒng)構(gòu)造圖如下圖圖9-3例9-3222yyyu輸入為輸入為 u u ，輸出為，輸出為y y 。試求系統(tǒng)的形狀方程和輸出方程。試求系統(tǒng)的形狀方程和輸出方程。思索用以下常微分方程描畫的系統(tǒng)思索用以下常微分方程描畫的系統(tǒng)解：12222122xxxxxu 1122220102xxuxx形狀方程為寫成取形狀變量12,xy xy 輸出1210 xyx圖9-4 例9-3系統(tǒng)的構(gòu)造圖多輸入-多輸出系統(tǒng)圖9-6 多變量系統(tǒng)ppnnububxaxaxax111112

8、121111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 為形狀變量；puuu,21 為輸入量；qyyy,21 為輸出變量。矩陣方式：xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中ppnnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211輸出變量方程111212122212nnqqqncccccccccC1112121222

9、12ppqqqpdddddddddDyC xD u圖9-7 系統(tǒng)構(gòu)造圖三、線性定常系統(tǒng)形狀方程的解式中式中 均為列向量。均為列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx9-28齊次向量微分方程齊次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(9-29方程的解為方程的解為1、齊次形狀方程的解)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得( ) txxAx代入方程 將方程兩邊系數(shù)必相等方程兩邊系數(shù)必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA bk ！0)0(bx我們定義022)121()(xtAktAAtItxkk！9-31kKAttAk

10、tAAtIe！121229-32因此，齊次形狀方程的解為將 t=0 代入9-29中得0)(xetxAt9-33( )( )x tAx t9-34)()(0sAxxssx9-35Ate為nn矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次形狀方程的解為于是齊次形狀方程的解為用拉氏變換法求解用拉氏變換法求解01)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAtA tkIAAAssss！拉氏反變換后得到9-379-38最終得到 與前一種解法所得結(jié)果一致。 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x 9-41形狀轉(zhuǎn)移矩陣具有以

11、下性質(zhì)：形狀轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk圖9-8 形狀轉(zhuǎn)移特性例9-511220100 xxxx設(shè)系統(tǒng)的形狀方程為設(shè)系統(tǒng)的形狀方程為試求形狀轉(zhuǎn)移矩陣。試求形狀轉(zhuǎn)移矩陣。解：2 211( )2!Atk kteIAtA tA tk230100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求形狀轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為例9-6x3210 x設(shè)系統(tǒng)形狀方程為設(shè)系統(tǒng)形狀方程為試求形狀方程的解。試求形狀方程的解。解：2s21s12s21s22s11s1

12、2s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù) 形狀方程之解為 t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt將上式進(jìn)展拉氏反變換將上式進(jìn)展拉氏反變換圖9-9 系統(tǒng)的瞬態(tài)解a與相軌跡b改寫為 )()()(tButAxtx用 左乘等式兩邊 Ate2 2 非齊次形狀方程的解非齊次形狀方程的解非

13、齊次方程)()()(tButAxtx9-53)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt9-54dBuextxetAAt)()0()(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式兩邊Ate9-540( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 那么式9-54可以寫成9-55積分上式得討論非齊次形狀方程的拉氏變換解法討論非齊次形狀方程的拉氏變換解法 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反變換得拉氏反變換得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuA

14、sIL0)(11)()(由卷積定理有由卷積定理有 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到例9-7uxx103210求下述系統(tǒng)形狀的時(shí)間呼應(yīng)求下述系統(tǒng)形狀的時(shí)間呼應(yīng)控制量控制量u u為單位階躍函數(shù)。為單位階躍函數(shù)。解：112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由形狀轉(zhuǎn)移矩陣tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0

15、()()(220.50.5( )tttteex tee假設(shè)初始形狀為零形狀，那么假設(shè)初始形狀為零形狀，那么)()()(sBUsAXssX)()()(sDUsCXsY四、傳送函數(shù)矩陣BuAxx9-58系統(tǒng)形狀方程系統(tǒng)形狀方程DuCxy9-59輸出方程輸出方程拉氏變換為拉氏變換為解出解出定義傳送函數(shù)矩陣為)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(9-63所以所以特征方程為AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI例9-8 設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 試求該系統(tǒng)的傳送函數(shù)矩陣。11122

16、21122011002011001xxuxxuyxyx解：011010,0020101ABCD知知11111(2)()2102sss ssIAoss故故1( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss例9-90100001061161Ab 設(shè)系統(tǒng)的形狀方程為設(shè)系統(tǒng)的形狀方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。解：3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。五、

17、動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換五、動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩陣1 PAPA1 CPCBPB特征多項(xiàng)式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多項(xiàng)式?jīng)]有改動(dòng)。DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(傳送函數(shù)陣傳送函數(shù)陣傳送函數(shù)陣沒有改動(dòng)傳送函數(shù)陣沒有改動(dòng)例9-10 對(duì)例9-9之系統(tǒng)進(jìn)展坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為 試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。112233111

18、123149xxxxxx解： 根據(jù)題意求變換矩陣11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132| (1)(2)(3)61160sIP APssssss 特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果一樣?？傻?-2 9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 在形狀空間法中，對(duì)系統(tǒng)的描畫可由形狀方程和輸出方程來表示。 形狀方程是描畫由輸入和初始形狀所引起的形狀的變化；輸出方程那么是描畫由于

19、形狀變化而引起輸出的變化 可控性和可觀測(cè)性的概念，就是回答可控性和可觀測(cè)性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入能否系統(tǒng)的輸入能否能控制形狀的變化能控制形狀的變化和和“形狀的變化能否由輸出反映出形狀的變化能否由輸出反映出來來這樣兩個(gè)問題。這樣兩個(gè)問題。一、預(yù)備知識(shí)一、預(yù)備知識(shí)設(shè)設(shè)A A 是是 n nn n 矩陣矩陣, x , x 是是 n n1 1 向量向量, ,齊次方程組齊次方程組假設(shè) |A|=0, 9-70式存在非零解；假設(shè)|A|0, 9-70式只需零解。Ax=09-701 1、齊次方程組的非零解、齊次方程組的非零解2、Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出， 矩

20、陣A滿足本人的特征多項(xiàng)式。那么A滿足1110( )nnnfIAaaa9-710)(0111IaAaAaAAfnnn9-72A的特征多項(xiàng)式運(yùn)用Cayley-Hamilton 定理)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte9-78120,nnAAA AI,Ate)( ,nkAk對(duì)于矩陣指數(shù) 可以用來表示。例9-11解：矩陣A的特征多項(xiàng)式22| (1)21IA1201A100?A要求計(jì)算矩陣 的矩陣A滿足本人的特征多項(xiàng)式，有2324323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI此題中n=100，故有3 引理nbAbAAbbrankn12的

21、充分必要條件是：存在的充分必要條件是：存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT9-80非奇特。這里非奇特。這里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.假設(shè)對(duì)恣意形狀假設(shè)對(duì)恣意形狀 ，存在一個(gè)有限時(shí)辰，存在一個(gè)有限時(shí)辰 和控制和控制量量 ，能在，能在 時(shí)辰將形狀時(shí)辰將形狀 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到0 0，那么稱此系，那么稱此系統(tǒng)的形狀完全可控。統(tǒng)的形狀完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx二、線性系統(tǒng)的可控性二、線性系統(tǒng)的可控性1 定義對(duì)于恣意時(shí)辰對(duì)于恣意時(shí)辰 和和 ，假設(shè)存在控制向量，假設(shè)存在控制向量 ，能將，能將 的每個(gè)初始形狀的每個(gè)初始形狀 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時(shí)

22、辰的另一恣意形狀時(shí)辰的另一恣意形狀 , ,那么稱此系統(tǒng)的形狀完全可控。那么稱此系統(tǒng)的形狀完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等價(jià)的定義例如圖9-10 二維系統(tǒng)形狀轉(zhuǎn)移過程如下圖二維系統(tǒng)形狀轉(zhuǎn)移過程如下圖系統(tǒng)可控。系統(tǒng)可控。2 可控性判據(jù)其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系統(tǒng)可控的充分必要條件是ducxybuAxx9-849-85nbAAbbrankn 19-86單變量線性定常系統(tǒng)證明：將u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT9-87假設(shè)式假設(shè)式(9-86)(9-86)成立，由前面

23、預(yù)備知識(shí)的引理，存在成立，由前面預(yù)備知識(shí)的引理，存在t10t10，使得使得(1-30)(1-30)式定義的式定義的W(0, t1)W(0, t1)矩陣非奇特，取矩陣非奇特，取t1t1為可控性為可控性定義中的定義中的tf tf ，且在，且在0, tf 0, tf 上定義上定義由定義可知式(9-86)成立時(shí)，系統(tǒng)可控。 ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbexe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff再證明假設(shè)系

24、統(tǒng)可控，那么式(9-86)成立 根據(jù)凱萊哈密爾頓定理 d)(bue)0(xft0A9-881n0mmmAA)(e9-89假定系統(tǒng)由恣意初始形狀被控制到零形狀，即 x(tf)=0 。根據(jù)(9-54)式，那么有把(9-89) 式代入(9-88) 式，得記d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x這時(shí)0111(0)nnuuxbAbAbu9-90由于x(0)是恣意的n維向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于由上述可控性判據(jù)可知，系

25、統(tǒng)的可控性只取決于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A陣和陣和b b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為為S S，這樣，可控的充要條件就寫成：，這樣，可控的充要條件就寫成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。圖9-11 不可控系統(tǒng)例子系統(tǒng)可控uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系統(tǒng)3 約當(dāng)型方程的可控性判據(jù) 約當(dāng)塊的普通方式為111111001由前面討論可知，等價(jià)變換不改動(dòng)可控性。可控的充分必要條件為同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊只需一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。每一約當(dāng)塊最后一行，所對(duì)應(yīng)

26、的b中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。例9-12ubbbbx11x43212211系統(tǒng)形狀方程為系統(tǒng)形狀方程為i21b,試確定系統(tǒng)可控時(shí)，試確定系統(tǒng)可控時(shí)， 應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。解：0bb)(4221 假設(shè)用直接計(jì)算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果 .由于由于A A陣有兩個(gè)假設(shè)當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的陣有兩個(gè)假設(shè)當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)(1)應(yīng)應(yīng)有有 ，由判據(jù)的，由判據(jù)的(2)(2)，A A的第二行所對(duì)的第二行所對(duì)應(yīng)的應(yīng)的b b中的元素中的元素b2,b4b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為控的充要條件為214、可控規(guī)范形uxxn1

27、000100000100001012109-92那么系一致定可控。一個(gè)單輸入系統(tǒng)，假設(shè)具有如下方式(9-92)式的方式被稱為單輸入系統(tǒng)的可控規(guī)范形 。 對(duì)于普通的單輸入n維動(dòng)態(tài)方程 (9-93) 其中A，b分別為nn,n1的矩陣。成立以下定理： 假設(shè)n維單輸入系統(tǒng)可控，那么存在可逆線性變換，將其變換成可控規(guī)范形。buAxx下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法 計(jì)算可控性矩陣S；計(jì)算 ，并記 的最后一行為h。構(gòu)造矩陣 P令 1S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1CPCDD 即可求出變換后的系統(tǒng)形狀方程。即可求出變換后的系統(tǒng)形狀方程。例9-13 設(shè)系統(tǒng)形狀方程為 試將系統(tǒng)形狀方程化為

28、可控規(guī)范形。u110 x041020122x解： 先判別可控性，再計(jì)算變換矩陣，將形狀方程化為可控規(guī)范形。 故系統(tǒng)可控。 一定可將它化為可控規(guī)范形。 0Sdet941421210bAAbbS2此時(shí)規(guī)范形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號(hào)相反。那么變換矩陣為112h112225012S1102121012P324223112P1可求出1211221210322020121423140201010001254APAP 100110324223112Pbb5 系統(tǒng)按可控性進(jìn)展分解 系統(tǒng)可控時(shí)，可經(jīng)過可逆線性變換變換為可控規(guī)范形，如今研討不可控的情況，這時(shí)應(yīng)有nnbAAbbrank

29、11n下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)展分解的定理 假設(shè)單變量系統(tǒng)(9-84，85)式的可控性矩陣滿足(9-103式，那么存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下方式 式中 是n1維向量, 是n2維向量，并且121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n1119-1069-1071x2x(9-106)式闡明下面的動(dòng)態(tài)方程是可控的： 9-107)式闡明的動(dòng)態(tài)方程式(9-108，109)和原來的n維動(dòng)態(tài)方程式(9-84，85)具有一樣的傳送函數(shù)?；蛘哒f傳送函數(shù)中未能反

30、映系統(tǒng)中不可控的部分。duxcyubxAx1111119-1089-109證明：證明：nnbAbAbAAbbrank11nn1n119-110調(diào)查調(diào)查(9-103)(9-103)式，并將它重新寫出如下式，并將它重新寫出如下11nnbAAbbrank1進(jìn)而可以證明進(jìn)而可以證明1nn21q,q,q補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量組并使得向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。令q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1假設(shè)將假設(shè)將(9-104(9-104，105)105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能

31、更直觀地表達(dá)出來，可控性分解的意義就能更直觀地表達(dá)出來，(9-104(9-104，105)105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-129-12所示。所示。Pbb,PAPA1即可證明 具有定理所要求的(9-104)的方式。圖9-12 系統(tǒng)按可控性分解 從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改動(dòng) 也不能經(jīng)過影響 間接改動(dòng) ，故 這一部分形狀分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。 由圖上還可看出系統(tǒng)的傳送函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決議，即傳送函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。 1x2x2x例9-14 設(shè)有系統(tǒng)方程如下 其傳送函數(shù)為 試進(jìn)展可控性分解 。x001yu010 x110010

32、011x2) 1s (1) s (g解：210111210bAAbbS2系統(tǒng)的可控性矩陣系統(tǒng)的可控性矩陣由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列與第列與第2 2列的線性組合，列的線性組合，系統(tǒng)不可控系統(tǒng)不可控 。1(001)Tq選取選取計(jì)算出 1010110011PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11構(gòu)成構(gòu)成110100101P故有因此得10c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111三、線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為cxy,buAxx(9-11

33、3,114) 假設(shè)在有限時(shí)間間隔0, t1 內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，可以獨(dú)一確定系統(tǒng)的初始形狀x(0)的每一個(gè)分量，那么稱此系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀的。式中A,b,c分別為 矩陣。1 1、 可觀測(cè)性的定義可觀測(cè)性的定義,1,1nn nn圖9-13 不可觀測(cè)系統(tǒng) 分析(9-117)式，當(dāng)知道某一時(shí)辰的輸出時(shí)， (9-117)式是n個(gè)未知量x(0)的(一個(gè))方程，顯然不能獨(dú)一確定初值，要解出x(0) ，必需求利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個(gè)列向量，再從0到t1積分就可得到n個(gè)未知數(shù)x(0)的n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在獨(dú)一解的條件來研討。()0(

34、)( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我們思索沒有外作用的系統(tǒng)，可求出2 可觀測(cè)性判據(jù) 可觀測(cè)的充分必要條件是ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。式9-118又可以寫成det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，這一非零的初始形狀引起的輸出為AtAtce)0(xce) t (y9-1200dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根據(jù)預(yù)備知識(shí)中的引理，存在將 代入上式，得 顯然不能夠由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測(cè)。1n0kkkAtA) t (

35、e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA2030111 0 xxuyx 試判別系統(tǒng)的可觀測(cè)性。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為例題9-15解： 系統(tǒng)的可觀性矩陣 是奇特的，故系統(tǒng)不可觀測(cè)。0201cAcV系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對(duì)系統(tǒng)作可逆線性變換下系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對(duì)系統(tǒng)作可逆線性變換下堅(jiān)持不變，因此可逆線性變換不改動(dòng)系統(tǒng)的可觀測(cè)性。堅(jiān)持不變，因此可逆線性變換不改動(dòng)系統(tǒng)的可觀測(cè)性。 現(xiàn)實(shí)上 111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P3 對(duì)偶原理上面兩個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱

36、系統(tǒng)、是互為 對(duì)偶 的系統(tǒng)。 cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系統(tǒng)系統(tǒng) 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 系統(tǒng)的可控性(可觀性)等價(jià)于系統(tǒng)的可觀性(可控性)。 只需寫出系統(tǒng)的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng) 的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。 利用對(duì)偶原理，可以將可控性的研討結(jié)果運(yùn)用到可觀測(cè)性的研討上。由于對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)的可控性研討就相當(dāng)于對(duì)原系統(tǒng)的可觀性研討。 運(yùn)用： 假設(shè)式(9113)和式(9114)的動(dòng)態(tài)方程中A陣具有約當(dāng)規(guī)范形，那么系統(tǒng)可觀測(cè)的充分必要條件為 同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊只需一塊。 每一約當(dāng)塊的第1列所對(duì)應(yīng)的c中的元素 非零。n上述條件就是約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程的可觀測(cè)性判據(jù)。它可以

37、由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。例9-16 設(shè)動(dòng)態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)可觀測(cè)時(shí) 應(yīng)滿足的條件。iic,xccccyu2010 x11x43212211解：x2010yuccccx1010 x43212211由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為. 0c, 0c,3121這也就是原系統(tǒng)可觀測(cè)的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)如下：4 可觀測(cè)規(guī)范形 一個(gè)單輸出系統(tǒng)假設(shè)其A,c 陣有如下的規(guī)范方式，它一定是可觀測(cè)的。9-122式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測(cè)規(guī)范形。 0121000010001000001000001nAc9-122xcy,ubxAx經(jīng)過對(duì)偶原理證明： 給定系統(tǒng)方程如下cxy,buAxx)xMx

38、(xMx19-123假設(shè)有等價(jià)變換假設(shè)有等價(jià)變換將其化為可觀測(cè)規(guī)范形將其化為可觀測(cè)規(guī)范形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的方式。的方式。Ac和構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng) 根據(jù)對(duì)偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測(cè)，所以其對(duì)偶系一致定可控。zbw,uczAzTTTPzz 化為以下的可控規(guī)范形，其變換矩陣為P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，因此有TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM 9-134比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測(cè)規(guī)范形。它可將系統(tǒng)方程化為可觀

39、測(cè)規(guī)范形。例9-17 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程化為可觀規(guī)范形，并求出變換矩陣。x11y,u11x1111x解： 顯然該系統(tǒng)可觀測(cè)，可以化為可觀規(guī)范形。寫出它的對(duì)偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為11b,1111A 根據(jù)根據(jù)A,bA,b陣，按化可控規(guī)范形求變換陣的陣，按化可控規(guī)范形求變換陣的步驟求出步驟求出P P陣：陣： 計(jì)算可控性矩陣計(jì)算可控性矩陣S S0121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P陣陣1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)

40、(1-60)式求出式求出M M陣陣 式中式中1005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11 5 系統(tǒng)按可觀性進(jìn)展分解 系統(tǒng)可觀測(cè)，那么經(jīng)過等價(jià)變換可以化為可觀測(cè)規(guī)范形。如今研討系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對(duì)偶結(jié)果。 假設(shè)(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測(cè)，且nncAcAcrank21n那么存在可逆矩陣P，將動(dòng)態(tài)方程化為式中 是n2維向量, 是n-n2維向量，并且1x2xnnAcAccrank21n1111129-211212143121xx0cyubbxxAA0Axx9-9-(9-,)的式子也可用圖9-14表示。

41、 這可以用前面證明可觀規(guī)范形的方法論證。這可以用前面證明可觀規(guī)范形的方法論證。 (9-)式闡明n2維的子系統(tǒng) (A1 b1 c1 )是可觀的； 這部分形狀變量是不可觀的； (9-)式闡明傳送函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。2x11111)()(1bAsIcbAsIcn 系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果果(9-)圖914 系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解由圖上可以看出傳送函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決議，即傳送函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測(cè)的部分。四、可控性、可觀測(cè)四、可控性、可觀測(cè)性與傳送函數(shù)的關(guān)系性與傳送函數(shù)的關(guān)系 ) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g19-

42、141對(duì)應(yīng)的傳送函數(shù)為cxy,buAxx9-140思索單變量系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)方程為1 1、可控性、可觀測(cè)性與零、極點(diǎn)對(duì)消問題、可控性、可觀測(cè)性與零、極點(diǎn)對(duì)消問題式中：AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0的根稱為傳送函數(shù)g(s)的零點(diǎn)， D(s)=0的根稱為傳送函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。證明：首先用反證法證明條件的必要性，假設(shè)有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可

43、得(9-144)將s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)AIs(adjs000(9-145)將上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj000009-146將(9-145)式前乘cA、后乘b后即有0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA00029-147依次類推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200這組式子又可寫成0b )AIs(adjcAcAc01n 出現(xiàn)矛盾，矛盾闡明N(s)和D(s)無一樣因子，即g(s)

44、不會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消的景象。由于動(dòng)態(tài)方程可觀測(cè)，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系統(tǒng)可控，無妨假定A、b具有可控規(guī)范形(9-92)的方式，直接計(jì)算可知9-148例9-18 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為101010146411210 xxuyx 不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測(cè)的。不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測(cè)的。 顯然顯然N(s)N(s)和和D(s)D(s)無非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳無非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳送函數(shù)沒有零、極點(diǎn)相消?，F(xiàn)實(shí)上送函數(shù)沒有零、極點(diǎn)相消?，F(xiàn)實(shí)上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAs

45、I)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342 分別計(jì)算分別計(jì)算 2 傳送函數(shù)的最小階動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn) 知?jiǎng)討B(tài)方程，可以用(9-64)式計(jì)算出傳送函數(shù)。假設(shè)給出傳送函數(shù)如何找出它所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程？這一問題稱為傳送函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問題。 假設(shè)又要求所找出的動(dòng)態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳送函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問題。設(shè)給定有理函數(shù)設(shè)給定有理函數(shù)011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是以下動(dòng)態(tài)方程中的直接傳送部分ducxy,buAxx(9-150)所以只需討論(9-149)式中的嚴(yán)厲真有理分式部分。

46、給定嚴(yán)厲真有理函數(shù)給定嚴(yán)厲真有理函數(shù)011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求尋覓 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在一切滿足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡能夠的小。下面分兩種情況討論 可控規(guī)范形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153) 對(duì)(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn) (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)1 1g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況無非常數(shù)公因式的情況1000cbbbb10001001000A1n101n210(

47、9-154) 可觀規(guī)范形的最小階實(shí)現(xiàn) (9-153)式給出的(A, b, c)具有可控規(guī)范形，故一定是可控的?？芍苯佑?jì)算它對(duì)應(yīng)的傳送函數(shù)就是(9-151)的傳送函數(shù)。由于g(s)無零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知(9-153)式對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程也一定可觀。同樣可以闡明(9-154)式是(9-151)的可觀規(guī)范形的最小實(shí)現(xiàn)。 假設(shè)g(s)的分母曾經(jīng)分解成一次因式的乘積，經(jīng)過部分分式分解，容易得到約當(dāng)規(guī)范形的最小階實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)用例子闡明,設(shè)g(s)有以下的方式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155) 約當(dāng)規(guī)范形的最小階實(shí)現(xiàn)

48、約當(dāng)規(guī)范形的最小階實(shí)現(xiàn) 由于g(s)無零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知上式中c1c4均不為零。令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分別對(duì)應(yīng)于而44332211xcxcxcxcy綜合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由假設(shè)當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測(cè)性判據(jù)可知上式是可控、可觀測(cè)的，因此它是g(s)一個(gè)最小階實(shí)現(xiàn)。 假設(shè)g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時(shí),這時(shí)n 階

49、的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。 g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。2 2g(s)g(s)的分子和分的分子和分母有相消因式的情況母有相消因式的情況例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子與分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可寫出g(s)的一個(gè)三維的可控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)x011yu100 x221100010 x無須驗(yàn)證這個(gè)實(shí)現(xiàn)是可控的x100yu011x210201100 x因此這一實(shí)現(xiàn)是不可觀的。同理，假設(shè)按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測(cè)規(guī)范形的三維實(shí)現(xiàn)，它一定是不

50、可控的。2rankV121110011V計(jì)算可觀測(cè)性矩陣 當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測(cè)的三維實(shí)現(xiàn)。如今將分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 假設(shè)用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，它是g(s)的最小實(shí)現(xiàn)。 9-3 9-3 形狀反響與形狀觀測(cè)器形狀反響與形狀觀測(cè)器本節(jié)首先研討用形狀變量作反響的控制方式。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、形狀反響和極點(diǎn)配置問題一、形狀反響和極點(diǎn)配置問題式中的v 是參考輸入，k稱為形狀反響增益矩陣，這里它是1n 的向量。圖9

51、-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)圖9-15所示的閉環(huán)系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。 將(9-157)式和(9-158)式用方框圖表示，見圖9-15，它是一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。計(jì)算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，由于)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA(2n21n1n232322的線性組合的線性組合的線性組合的線性組合1 1 形狀反響不影響可控性形狀反響不影響可控性10000101bAAbbb)bkA(b)bkA(

52、b1n1n上式中最后一個(gè)矩陣顯然是非奇特矩陣，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1n1n(9-160)因此有式(9-160)闡明，假設(shè)原來系統(tǒng)可控，加上恣意的形狀反響后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。假設(shè)原來系統(tǒng)不可控，不論用什么k 陣作形狀反響，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)依然不可控。這一性質(zhì)稱為形狀反響不改動(dòng)系統(tǒng)的可控性。 形狀反響能夠改動(dòng)系統(tǒng)的可觀測(cè)性。即原來可觀的系統(tǒng)在某些形狀反響下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系統(tǒng)在某些形狀反響下，閉環(huán)可以是可觀的。形狀反響能否改動(dòng)系統(tǒng)的可觀測(cè)性，要進(jìn)展詳細(xì)分析。例9-20 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下xccy,u10 x1011x21下表列

53、出了系統(tǒng) c 陣參數(shù)、形狀增益向量 k 和系統(tǒng)可觀測(cè)性的關(guān)系。 可觀可觀 恣意恣意 可觀可觀01 可觀可觀 1 111 不可觀不可觀 1 2 可觀可觀11 不可觀不可觀 0 110 可觀可觀 1 1 不可觀不可觀10閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng) k 原系統(tǒng)原系統(tǒng) c2 c1 可觀性的變化可以從閉環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)變化、能否發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消來闡明。2 2 形狀反響對(duì)閉環(huán)特征值的影響形狀反響對(duì)閉環(huán)特征值的影響 閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，普通稱為閉環(huán)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的質(zhì)量主要由閉環(huán)的極點(diǎn)所決議，而穩(wěn)定性那么完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決議。 經(jīng)過選取反響增益陣來改動(dòng)閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為形狀

54、反響進(jìn)展極點(diǎn)配置問題。證明：定理：定理： 閉環(huán)方程閉環(huán)方程(9-159) 的的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A-bk 的特征值的特征值可以由形狀反響增益陣可以由形狀反響增益陣 k 配置到復(fù)平面的恣意配置到復(fù)平面的恣意位置，其充分必要條件位置，其充分必要條件是是(9-157)式的系統(tǒng)可控。式的系統(tǒng)可控。先證充分性 由于(9-157)式的系統(tǒng)可控,那么存在可逆矩陣P，將(9-157)式的系統(tǒng)經(jīng)過 的變換化為可控規(guī)范形。Pxx 1n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中(9-161)現(xiàn)引入1n10kkkk9-162這時(shí)(9-158)式的形狀反響式可寫為：思索矩陣xkvxkPvkxvu1P

55、kkkPk1)ka ()ka ()ka (1110kbA1n1n1100它的特征式為由于)kbA(sIdet)ka (s )ka (s )ka (s00111n1n1nn)PbkPPAP(sIdet)kbA(sIdet11)bkA(sIdetP)kbA(sIPdet1故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有一樣的特征值。bkA kbA bkA kbA 設(shè)恣意給定的閉環(huán)極點(diǎn)為 , 且n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(9-166)式中 完全由 所決議。比較 (9-165a)式和(9-166)式可知，假設(shè)要(9-166)的根為 ，需有)1n,2 ,1i(iiiiiiiiiak)1n

56、 , 1 , 0i (ka(9-167)這闡明恣意給定閉環(huán)n個(gè)極點(diǎn)，均可經(jīng)過(9-167) 、(9-163)式確定，使A-bk具有給定的n個(gè)特征值，充分性證畢。必要性 假設(shè)系統(tǒng)(9-157)可恣意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)(9-157)可控。用反證法，假設(shè)系統(tǒng)(9-157)不可控，那么存在一個(gè)可逆矩陣，經(jīng)過等價(jià)變換后，可將(9-157)式轉(zhuǎn)換為(9-104，105)的可控分解方式。思索矩陣4212111211421A0kbAkbAkk0bA0AAkbAkA4的特征值不受 的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影響，這與可恣意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾闡明系統(tǒng)(9-157)可控。 以

57、上定理的充分性證明中，已給出經(jīng)過可控規(guī)范形來選擇k陣，使閉環(huán)具有恣意要求的特征值的計(jì)算步驟，現(xiàn)歸納如下 計(jì)算A的特征式011n1nnasasas)AsIdet( 由所給的n 個(gè)期望特征值 ， 計(jì)算期望的多項(xiàng)式n21,011n1nnn21sss)s()s)(s( 根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控規(guī)范形的坐標(biāo)變換陣PPkk 求出反響增益陣 上述步驟中有化可控規(guī)范形這一步。假設(shè)不經(jīng)過這步，也可直接求k。)aaa(k1n1n1100 求ku1010 x01100100001000010 x系統(tǒng)形狀方程為假設(shè)加形狀反響使閉環(huán)特征值分布為-1,-2,-1+j,-1-j，試求形狀反響增益陣k。例9-21方法

58、一、經(jīng)過化可控規(guī)范形求解242211)11()det(ssssAsI 計(jì)算A的特征式 由所給的4 個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的多項(xiàng)式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s(2342解： 求出反響增益陣100001001 . 01 . 0001 . 001 . 0PPkk=-0.4 -1 -21.4 -6 根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控規(guī)范形的坐標(biāo)變換陣P 求52110405111001004k方法二：令 ，計(jì)算A-bk的特征式4321kkkkk 432241321()(11)1010sIA bkskk skksk sk比較兩個(gè)特征式的系數(shù)可得4k10,10k10,1011kk, 5kk1

59、23142所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 最后強(qiáng)調(diào)： 在極點(diǎn)配置定理中，“恣意配置是和系統(tǒng)可控等價(jià)的。假設(shè)不要求恣意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只需它包含了一切不可控部分的特征值時(shí)，才是可配置的。 例9-22 設(shè)系統(tǒng)形狀方程為 這一系統(tǒng)是不可控的。uxx11101000010000200012假設(shè)指定閉環(huán)特征值假設(shè)指定閉環(huán)特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-11100010000100001P11000100001000011P10000100002000121PAP0110Pb0210kkkk 令令有10000102001221021

60、0kkkkkkkbA20112)2(42)4(skksks441k44201kk所以00816k00816 Pkk02k令對(duì)-2,-2,-2,-1100001020012210210kkkkkkkbA)(kbAsI) 1(442)4()3(2102102213skkkskkkskks) 1()2(3ss84421246321021021kkkkkkkk所以有 但假設(shè)指定閉環(huán)特征值為 -2 ,-2,-2,-2 ， 就找不出k來到達(dá)這一配置要求。091980364k091980364Pkk例9-23)2s)(1s( s10)s(u)s(y有一系統(tǒng)的傳送函數(shù)為有一系統(tǒng)的傳送函數(shù)為要求用形狀反響的方法