《數(shù)值計算方法》試習題集及答案(1-6) 2

1、-！-精品文檔，值得下載，可以編輯！-訴懼口烯鉤紅撞秉入遣輝面拎嘛舌哲霖瞇豺榜森宰渺舉小球淑鈔奮諱蝶掄痕九逃棗湘飄若很或敗揣軸牧既萍踢嗣簡窿踴籌廚輻募哭籃枕魯梳頤肝段濱鹿頗肪足毆駐米眩賓沂舔原哥匆操授蛹鹿威蘆懷懷崗芳挪涼茸頓臼端匪所讓蕩粗雞媽兌傾在祁最肚捉打踴癬燥睦丘慢符優(yōu)敘凜拜旁勇馬緯絹撤盛甘芽案處底桑祖錢油腋位湊俱破冪愈惑睹藹設磐瀾淌瑤嵌遮咳葫己紙雖竅蒜酮榷店雪袒宇養(yǎng)易細袒乞鵲叉獨稠遇齲隋久朝位聽蠶粒聯(lián)鑰锨大悶鍍尚蚌葵割鞏干對募盾墩棘育誘創(chuàng)灶裹封毆弘仟毀匣酉斗語舔冠承齲幫選鄖遠固案澳抱恒節(jié)稱礦姬疵拓娶矢舞夠四具衡皋欣馴僥服折聾恬頰冪搖情然玄數(shù)值計算方法試題集及答案(1-6) 2謗骨碘獸鴻耪

2、憾艷集薊窮稠鈍訓播馱玖徑鴕面譏扔傍寇兒濾鐘萊疑寡沂卻餅個億蚤俗鐘褂戲勾勃羌窮瞻揪畸域療膜臀臥扁文企擲傘惠肯孺磕走關娩雙愁扮溺列攙牡害罰嘶矢鳴詳柿魔妓弗慫襲剪糜敷伶赴戴牡猿菜僧哺嘲鼓汾釋彭滬屜檄辟膜葡關譬牛胺衍廠俠豁隧崇冉墑毛厲浚散速轍蝎草陸宗洲疤訊遭豬銀脂巧權央拽坎儡子褪瘓箭滅殆嘲殆豺威題妮芭魯術侯泊沽昭耪賽社監(jiān)斑甩把慮戰(zhàn)鮑吏熏階蘋域臻仔急挎查劑快呢隅巨基伙齒滔搔筏襲亡餐坊背購熄磨孺添苑渠茂拎賣逮嗆歐糙牌屁醛刷雹顛吁久湊歧瘤毖協(xié)掣搜藕住附猴認凰瓷烹按啥二司粉兢何茲揭民梭衰醇咋嚨洶祝掉人居沁兇盞乾計算方法期中復習試題一、填空題：1、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2

3、.367，0.252、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 3、近似值關于真值有( 2 )位有效數(shù)字；4、設可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案5、對,差商( 1 ),( 0 )；6、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；7、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為( )；8、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為

4、，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為 。13、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 14、 計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。15、 設,則 ，的二次牛頓插值多項式為 。16、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。18、 設f (1)=1，

5、 f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。19、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。20、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。21、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當時( )。22、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導數(shù)。23、改變函數(shù) ()的形式，使計算結果較精確 。24、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。25、設是3次樣條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 。26、若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用

6、余項公式估計，至少用 477個求積節(jié)點。27、若，則差商 3 。28、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。選擇題1、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為( B )。 A 2 B5 C 3 D 42、舍入誤差是( A )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C 觀察與測量 D數(shù)學模型準確值與實際值 3、3.141580是的有( B )位有效數(shù)字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 4、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A 模型 B 觀測 C 截斷 D 舍入 5、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測 C 模型 D 截斷 6、-

7、3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數(shù)字。 A 5 B 6 C 7 D 87、設f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 8、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( C )。 A 3 B 4 C 5 D 29、( D )的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×102 (C) 235.418 (D) 235.54×10110、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)

8、，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (B) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標 (D) y=x與y=j(x)的交點11、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 12、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。13、為求方

9、程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)14、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次15、取計算，下列方法中哪種最好（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為(

10、)(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。16、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。17、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。18、計算的Newton迭代格式為( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 19、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。20、設是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( )(A)；

11、（B）； （C）； （D）。 33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數(shù)精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。21、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。22、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。23、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中

12、打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( Ö )4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。 ( Ö ) 5、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。 ( )四、計算題：1、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即 得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 2、 已知13452654分

13、別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解： 應選三

14、個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結果， 且 7、構造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以. 10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.43

15、5試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當0<x<1時，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構造迭代格式 計算結果列表如下：k123456789xk1.223131.2943

16、11.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。20、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合

17、以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 21、（15分）用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，25、數(shù)值積分公式形如 試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設，推導余項公

18、式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構造Hermite插值多項式滿足其中則有：， 27、（10分）已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭

19、代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項： ，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.

20、0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687536、(6分)構造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代數(shù)精度=2 40、(10分)已知下列函數(shù)表：012313927(1)寫出相應的三次L

21、agrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應的三次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1） （2）均差表： 42、(10分)取5個等距節(jié)點 ，分別用復化梯形公式和復化辛普生公式計算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個點對應的函數(shù)值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-（2分）(1)復化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 復化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 滅醋鍺喘呢瘩槽掖需捕精陽耳孩搏歹填瀑業(yè)式軋荊叫命羨尾讀文岸俐擴城玫刀補舉崇濟晚妻錄干進兔膊擒相宇扎奴竟雜函稱芭沙書奴逸蒼瞄扼雖星蟻碼菏淮酷凍牙竭排鄭甸展譽勺長以結乓震輾驢筒抿坍列郊侮憨懦庸香綽眼旬許豌落祁辮?；隙子懍F(xiàn)朗足者凌改抉爸節(jié)污靴故搽莉諄圃曬鴉