高斯定理應(yīng)用

1、（4）高斯定理的應(yīng)用）高斯定理的應(yīng)用1 . 利用利用高斯定理求某些電通量高斯定理求某些電通量例：設(shè)均勻電場(chǎng)例：設(shè)均勻電場(chǎng) 和半徑為和半徑為R的半球面的軸平行，計(jì)算的半球面的軸平行，計(jì)算通過(guò)半球面的電通量通過(guò)半球面的電通量。EEROnnnn1S2S0 iq021 SS 即：021 )RE(S 21RES 0 SdESe 解：解： iseqSdE01 例例. （1）一點(diǎn)電荷位于一立方體的中心）一點(diǎn)電荷位于一立方體的中心, 立方體邊長(zhǎng)立方體邊長(zhǎng)為為a. 求通過(guò)立方體任一面的電通量。（求通過(guò)立方體任一面的電通量。（2）如果把電荷）如果把電荷移到立方體的一個(gè)頂角上，通過(guò)立方體每一個(gè)面的電移到立方體的一個(gè)

2、頂角上，通過(guò)立方體每一個(gè)面的電通量又是多少？通量又是多少？qq課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：利用高斯定理計(jì)算具有對(duì)稱(chēng)性的電場(chǎng)利用高斯定理計(jì)算具有對(duì)稱(chēng)性的電場(chǎng)2.若場(chǎng)強(qiáng)分布具有對(duì)稱(chēng)性，則可以選適當(dāng)?shù)母咚姑?，使高斯定若?chǎng)強(qiáng)分布具有對(duì)稱(chēng)性，則可以選適當(dāng)?shù)母咚姑?，使高斯定理中的理中的E E能以標(biāo)量的形式從積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)。能以標(biāo)量的形式從積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)。iieqEdS01cosiiqdSE0s1SqdSEqEiiii0s011高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布，一般包括三步：高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布，一般包括三步：（1 1）對(duì)稱(chēng)性分析，）對(duì)稱(chēng)性分析，確定電場(chǎng)的大小和方向確定電場(chǎng)的大小和方向；(2) 作合適的高斯面，計(jì)算通過(guò)高斯面的電通

3、量及作合適的高斯面，計(jì)算通過(guò)高斯面的電通量及 iq大?。洪]合面通過(guò)待求場(chǎng)點(diǎn)，且包圍部分或全部電荷大?。洪]合面通過(guò)待求場(chǎng)點(diǎn)，且包圍部分或全部電荷(3) 利用高斯定理求解利用高斯定理求解形狀：由場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性決定形狀：由場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性決定SESE/且各點(diǎn)且各點(diǎn) 的大小相等的大小相等EESSdES常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題(中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng), 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng), 平移對(duì)稱(chēng)平移對(duì)稱(chēng)) 球?qū)ΨQ(chēng)球?qū)ΨQ(chēng) 柱對(duì)稱(chēng)柱對(duì)稱(chēng) 面對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)均均勻勻帶帶電電的的球體球體球面球面( (點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷) )柱體柱體柱面柱面帶電線帶電線平板平板平面平面無(wú)無(wú)限限長(zhǎng)長(zhǎng)無(wú)無(wú)限限大大解解: 對(duì)稱(chēng)性分析對(duì)稱(chēng)性分析: E具有球?qū)ΨQ(chēng)具有球?qū)ΨQ(chēng)

4、作高斯面作高斯面Rr 求求電通量電通量電量電量 0iq用高斯定理求解用高斯定理求解0421 rE 01 ER+qEr例例1. 均勻帶電球面的電場(chǎng)。均勻帶電球面的電場(chǎng)。已知已知R、 q0211141rEdSESdEseq分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性分布具有球?qū)ΨQ(chēng)性Rr qqi0224qrE2024rqEE222242rEdSESdEseR+rqO全部電荷集中在球心時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)全部電荷集中在球心時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)均勻均勻帶電球面帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線E204Rq21rrRO2040rqE)(Rr )(Rr 故均勻故均勻帶電球面帶電球面的電場(chǎng)分布為的電場(chǎng)分布為方向：沿徑向方向：沿徑向Rr電場(chǎng)分布也應(yīng)

5、有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。電場(chǎng)分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ(chēng)性，方向沿徑向。作同心且半徑為作同心且半徑為r r的高斯面的高斯面0inqa.r R時(shí)，時(shí)，b.r R時(shí)，時(shí)，解：解：204rqEin 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用2 2、求半徑為、求半徑為R R, ,帶電為帶電為q q均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。304qrER33343inqrqrRinqq204qEr方向沿徑向向外方向沿徑向向外 24 rESdEe 均勻均勻帶電球體帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線OrER304Rqr203044rqRqrE)(Rr )(Rr 故均勻故均勻帶電球體帶電球體的電場(chǎng)分布為的電場(chǎng)分布為方向：沿

6、徑向方向：沿徑向例例3 3 均勻帶電的均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)的直線無(wú)限長(zhǎng)的直線場(chǎng)強(qiáng)分布場(chǎng)強(qiáng)分布. . 線密度線密度計(jì)算電通量計(jì)算電通量 SsdE 兩底面?zhèn)让鎠dEsdErlE 2 利用高斯定理解出利用高斯定理解出02 lrlE rE02 高高斯斯面面lrEdS ESd解解:方向如圖方向如圖(如果如果0)電場(chǎng)也具有軸對(duì)稱(chēng)性。電場(chǎng)也具有軸對(duì)稱(chēng)性。做一個(gè)過(guò)做一個(gè)過(guò)P P點(diǎn)，以直線為軸、點(diǎn)，以直線為軸、底面半徑為底面半徑為r r、高為、高為 的的閉合圓柱面閉合圓柱面為高斯面。為高斯面。l20:24:08例例4 無(wú)限大均勻無(wú)限大均勻帶電平面帶電平面的電場(chǎng)分布的電場(chǎng)分布. 面密度面密度. SSSSeSdESdE

7、SdESdE1SEEdSEdSSS 20由高斯定理由高斯定理:02 SSEe 02 eE 解解:方向如圖方向如圖(如如0) 對(duì)稱(chēng)性分析：對(duì)稱(chēng)性分析： q q分布具有面對(duì)稱(chēng)性，產(chǎn)分布具有面對(duì)稱(chēng)性，產(chǎn)生的生的E E分布也具有面對(duì)稱(chēng)性。分布也具有面對(duì)稱(chēng)性。選取高斯面：選取高斯面：取一個(gè)軸垂直于帶電平面的圓取一個(gè)軸垂直于帶電平面的圓柱面為高斯面，且被帶電平面平分柱面為高斯面，且被帶電平面平分。02E EEEE無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)疊加問(wèn)題無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)疊加問(wèn)題000000例例5. 均勻帶電球體內(nèi)挖一空腔均勻帶電球體內(nèi)挖一空腔 已知：已知： 、R、r、d (1)求：求： (2)證明空腔內(nèi)為均勻電場(chǎng)證

8、明空腔內(nèi)為均勻電場(chǎng)oEoE 解解:2EEo 空隙空隙原電荷原電荷大帶電球體大帶電球體小帶電球體小帶電球體 01 EO處的處的20320323434drdrE O處的處的00 RrdoE(dr)方向方向o指向指向o 空隙空隙大帶電球體大帶電球體 O處的處的E1O處的處的E2點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算O 00 RrdoE020313434 dddE 02 E 1EEooE 原電荷原電荷小帶電球體小帶電球體方向方向o指向指向o 0 0drRpEEE 020133 rr P2r1roorrrrrr222032121031434434 oor)rr( 021033 場(chǎng)強(qiáng)大小、方向場(chǎng)強(qiáng)大小、方向P點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)處處相等處處相等與與(2) 證明證明空腔內(nèi)為均勻電場(chǎng)空腔內(nèi)為均勻電場(chǎng)（此方法叫做補(bǔ)償法）（此方法叫做補(bǔ)償法） RrrRrE020 RrrqRrE204002 E203044rqRqrE)(Rr )(Rr 高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)總結(jié)高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)總結(jié)（1 1）理論上對(duì)任何帶電體都成立，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，要求）理論上對(duì)任何帶電體都成立，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，要求 帶電體的電荷分布具有一定的對(duì)稱(chēng)性；帶電體的電荷分布具有一定的對(duì)稱(chēng)性；(2) 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析，找到合適的高斯面，使得積分簡(jiǎn)化，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析，找到合適的高斯面，使得積分簡(jiǎn)化， 即在高斯面上要求即在高斯面上要求：(3) 基本結(jié)論記住基本結(jié)論記住S