向量代數(shù)與空間解析幾何06304

1、向量代數(shù)與空間解析幾何*.* 向量代數(shù)的幾個(gè)注意點(diǎn) 向量平移后，向量的坐標(biāo)不變，這是因?yàn)橄蛄康哪：头较蚨疾蛔?向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影（即向量的坐標(biāo)）不同，前者是向量，后者是數(shù)量。 在向量代數(shù)中，若, 則中不一定有零向量. 若則不一定相等. 兩向量的夾角指兩向量正方向的夾角，其限制范圍 兩非零向量垂直 ， 兩非零向量平行或?qū)?yīng)坐標(biāo)成比例， 在解向量方程時(shí)，注意：a） 由于向量沒有除法運(yùn)算，所以在方程中不能除以非零向量；b） 向量的“乘法”由向量積與數(shù)量積之分，還有混合積；c） 向量積不滿足交換律；d） 向量積的模可計(jì)算面積，混合積可計(jì)算體積及向量共面。*.* 空間解析幾何的

2、幾個(gè)注意點(diǎn)：1） 熟記直線、平面的各類方程及表達(dá)各種位置關(guān)系的有關(guān)公式2） 點(diǎn)到直線距離 直線L過P點(diǎn)，為方向向量，M到L距離3） 公垂線長度 直線L1過P1，直線L2過P2，4） 求空間直線（或空間曲線）在平面上的投影時(shí)，其關(guān)鍵時(shí)要求出投影平面（或投影柱面）的方程，將此方程和所給平面方程聯(lián)立起來，即得所求的投影方程。5） 柱面，旋轉(zhuǎn)面的特點(diǎn)，二次曲面一般方程6） 空間曲線方向向量或，曲面法向量一、 向量的運(yùn)算1、填空題(1)已知都是單位向量，且滿足，則。(2 ) 已知，則。(3)設(shè)，且，則。2、計(jì)算題（）設(shè),求一單位向量，使，且共面。（）求與向量共線且滿足的向量。（）設(shè)與為非零向量，且，求二

3、、求空間直線方程 解題提示：在求空間直線方程時(shí)，“定點(diǎn)”（確定所求直線上的一點(diǎn)）和“定向”（所求直線的方向向量）是關(guān)鍵。1、 求過點(diǎn)P（ -1 ，0，4）平行于平面 3x - 4y + z = 10 且與直線 x + 1 = y 3 = z/2 相交的直線方程。三、求平面方程 解題提示： 求平面方程時(shí)，若題設(shè)條件中有兩個(gè)相交的平面（其方程為一般式方程），則用平面束方程處理簡便；若題設(shè)條件中平面過一點(diǎn)，則一般用點(diǎn)法式方程，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為求平面的法向量。、 一平面垂直于平面 z = 0 ，且通過點(diǎn) M0（1，1，1）到直線 的垂線段，求此平面的方程。、 求通過直線 且與平面 垂直的平面。四、求切線

4、，切平面的方程。 解題提示： 曲線 的切線方程為 其中 是切點(diǎn)，是曲線切向量，平行于向量 曲線 的切線方程為 t0為切點(diǎn)處的參數(shù)值。曲面F（x, y, z）=0的切平面方程為 （*） 其中是切點(diǎn)，是曲面在切點(diǎn)的法向量。 當(dāng)曲面方程為顯式 z = z (x, y) 時(shí)，則切平面方程為 、試證曲面 上任一點(diǎn)切平面與三坐標(biāo)面所圍的立體體積為定值。、求曲面 的切平面，使之過直線 。、在曲線的所有切線中，與平面平行的切線有幾條？方程是什么？、求 在點(diǎn)（1，1，1）處的切線與法平面。五、求投影方程 解題提示：求空間曲線在坐標(biāo)面上投影曲線方程的基本方法：先求出投影柱面的方程，然后與所給坐標(biāo)面的方程聯(lián)立起來就

5、是所求的投影曲線方程。、 曲線方程為，求它在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影。、 直線 在三個(gè)坐標(biāo)面及平面 上的投影方程。六、求曲面方程 解題提示：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的基本方法，平面曲線的繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，則該坐標(biāo)所對的變量不變，而將曲線方程中另一變量改寫為該變量與第三變量平方和的正負(fù)平方根。、 直線 繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面方程。Ppt、 曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。、 已知柱面的準(zhǔn)線方程為 ，母線平行于y軸，求此柱面方程。、 已知準(zhǔn)線為 母線的方向數(shù)是0，1，1，求滿足條件的柱面方程。、 求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為 的錐面方程。練習(xí)題：、 設(shè) ，則 。、 向量為實(shí)數(shù)，證明：使最小的向量垂直于、 直線L過點(diǎn)M（1，-2，0）且與兩條直線 ， 垂直，則L的參數(shù)方程為。、 橢球面與平面之間的最短距離為。、 設(shè)直線 在平面z = 1 上的投影為直線L，則點(diǎn)（1，2，1）到直線L的距離等于。、 求直線L： 在平面上的投影直線L0的方程，并求L0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。、 證明：錐面 z = xf(y/x)的切平面經(jīng)過其頂點(diǎn)（0，0，0），其中f是可微函數(shù)。、 求過直線 的平面使之平行