凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)研究對象凸函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)最基本的概念。凸函數(shù)的許多良好性質(zhì)在數(shù)學(xué)中都有著非常重要的作用。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)，對策論，運(yùn)籌學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)以及最優(yōu)控制論等學(xué)科都有非常廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在已經(jīng)成為了這些學(xué)科的重要理論基礎(chǔ)和強(qiáng)有力的工具。同時(shí)，凸函數(shù)也有一些局限性，因?yàn)樵趯?shí)際的運(yùn)用中大量的函數(shù)并不是凸函數(shù)的形式，這給凸函數(shù)的運(yùn)用造成了不便。為了突破其局限性并加強(qiáng)凸函數(shù)在實(shí)際中的運(yùn)用，于是在60年代中期便產(chǎn)生了凸分析。本文主要是研究凸函數(shù)在數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)方面，文主要探究了不等式的證明，看看它與傳統(tǒng)方法比較哪個(gè)更為簡潔；在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，主要介紹了凸函數(shù)的一些新的發(fā)展，即最優(yōu)問題，該問

2、題在投資決策中起到了非常重要的作用；最后簡單的介紹了一下經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的知識。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；不等式；經(jīng)濟(jì)學(xué)；最優(yōu)化問題AbstractConvexfunction,themainstudyobjectofhighermathematics,isoneofthemostfundamentalconceptsinmathematics.Manygoodpropertiesofconvexfunctionhaveaveryimportantroleinmathematics.Convexfunctionhasaverywiderangeofapplications

3、inmathematics,gametheory,operationsresearch,economicsandoptimalcontroltheory,andnowhasbecomethemostimportanttheoreticalbasisandthemostpowerfultoolofthesedisciplines.Convexfunctionhassomelimitationsatthesametime,becauselargenumbersoffunctionsarenotconvexfunctionsinthepracticalapplication,whichhascaus

4、edinconveniencetotheuseofconvexfunctions.Inordertobreakitslimitationsandstrengthentheuseofconvexfunctioninpractice,convexanalysiswasproducedinthemid60s.Thepaperismainlystudytheapplicationsofconvexfunctioninmathematicsandeconomics.Inmathematics,thepapermainlydiscussesthepoofofinequalitytoseewhichismo

5、resimplecomparedwiththetraditionalmethod.Intheaspectofeconomics,thepapermainlyintroducessomenewdevelopmentsofconvexfunctions,namely,optimalproblems,whichplayanimportantroleintheinvestmentdecision.Finally,thepaperintroducestherelatedknowledgeoftheArrow-prattriskaversionmeasureineconomicssimply.Keywor

6、ds:Convexfunction；Inequality;Economics；Optimizationproblem摘要IAbstractII.第1章緒論1第2章預(yù)備知識32.1凸函數(shù)的定義32.2凸函數(shù)的定理62.3凸函數(shù)的簡單性質(zhì)92.4幾種常見的不等式10第3章在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用123.1 .初等不等式的證明123.2函數(shù)不等式的證明143.3積分不等式的證明15第4章凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的中應(yīng)用194.1最優(yōu)化問題194.1.1線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問題194.1.2非線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問題214.2Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量26結(jié)論28參考文獻(xiàn)29致謝30第1章緒論提起凸函數(shù)我們就知道它是

7、一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，在初高中階段我們只是對其性質(zhì)，及其圖像進(jìn)行了簡單的認(rèn)識。而在大學(xué)階段對凸函數(shù)的研究就更加深入了。由于其有很多好的性質(zhì)， 因此在數(shù)學(xué)之中將其分離出來， 獨(dú)立研究。 在整個(gè)函數(shù)研究領(lǐng)域中占有十分重要的地位。它的概念最先見于國外學(xué)者的著述之中。從眾多的文獻(xiàn)中我們知道現(xiàn)在對凸函數(shù)的研究已從定義上升到凸分析再到凸函數(shù)的運(yùn)用，尤其是它在純粹數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)之中的許多領(lǐng)域有著舉足輕重的作用。 如今已成為眾多的學(xué)科有力工具和理論基礎(chǔ)， 比如說在對策論，數(shù)學(xué)規(guī)劃，變分學(xué)，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)以及最優(yōu)控制等等學(xué)科。本文重點(diǎn)通過凸函數(shù)的性質(zhì)引出凸函數(shù)的運(yùn)用， 在應(yīng)用方面主要探討的是凸函數(shù)在兩大領(lǐng)域的運(yùn)用一一

8、數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)， 當(dāng)然凸函數(shù)在其他的方面也有很多的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，本文主要討論了運(yùn)用凸函數(shù)的方法來證明復(fù)雜的不等式比傳統(tǒng)的方法更加的便利，并通過一些實(shí)際的例子我們可以得出結(jié)論的是：利用凸函數(shù)的方法顯然比較簡潔。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，作為凸函數(shù)應(yīng)用的的新發(fā)展。主要是最優(yōu)控制方面的簡單介紹。介紹經(jīng)濟(jì)學(xué)中一些重要的方法和一些工具，目標(biāo)函數(shù)，凸規(guī)劃等。從這些方法中得出的結(jié)論給經(jīng)濟(jì)學(xué)中投資決策有著重要的依據(jù)。到目前為止，我們知道凸函數(shù)在許多的方面都有應(yīng)用，但是我們也要注意到凸函數(shù)的局限性。從以往的論文或者專著來看，凸函數(shù)還是有一定的局限性，最為突出的就是其在理論上的。使得凸函數(shù)的運(yùn)用更為廣泛顯得很勁瓶。所以

9、必須更深入的研究凸函數(shù)。凸函數(shù)是一種十分重要的數(shù)學(xué)概念，它在許多領(lǐng)域都有具有廣泛的應(yīng)用。正是由于凸函數(shù)有許多優(yōu)良的性質(zhì)的應(yīng)用，現(xiàn)已經(jīng)成為許多學(xué)科的重要理論基礎(chǔ)和有力工具。2010年梁艷在發(fā)表 凸函數(shù)的應(yīng)用1一文闡述了凸函數(shù)的性質(zhì)在證明數(shù)學(xué)中不等式應(yīng)用。2009年黑志華，付云權(quán)在他們的凸函數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用2一文中闡述如何利用凸函數(shù)的性質(zhì)去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些問題。同樣的在國外也得到了廣泛的應(yīng)用。如NeculaiAndnei發(fā)表的Convexfunction3,主要介紹了一些有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)定理以及例舉出了一些實(shí)際的應(yīng)用?，F(xiàn)在由于凸函數(shù)在概念上的凈瓶，出現(xiàn)許多的新的發(fā)展，比如廣義凸函數(shù)，下面簡

10、單的介紹一下些。凸函數(shù)的理論起源于本世紀(jì)前期，最初的理論奠基來自于JensonHolder等的著述之中，但是那時(shí)候并沒有引起人們的關(guān)注。然而就在本世紀(jì)的40,50年代才引起了廣泛的重視，由于某種的需要隨之而來的就是對其概念研究，已經(jīng)在運(yùn)用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我們的學(xué)者對其進(jìn)行了大量的研究，并得到了一些重要的，有價(jià)值的研究成果。于是在上世紀(jì)60年代產(chǎn)生了凸分析，其概念也被推廣。定義1.14:我們可以設(shè)集合 CRn,x,yC 屬于其中的數(shù)，令實(shí)數(shù) a 其中實(shí)數(shù) a 的取值范圍在 0,1,那么下面的不等式是成立：ax1ayC則稱集合C為凸集。設(shè)h:ARnR,其中A為凸集定義

11、1.24:如果有一個(gè)函數(shù)h滿足下面的不等式的話：hx1ymaxhx,hy對于任何的x,y都屬于開凸集C中，其中狂則稱h是A上的擬凸函數(shù)。h為擬凸函數(shù)的充要條件的是x,y屬于開凸集C中，那么目的函數(shù)h在開凸集C上可微的。當(dāng)以下不等式x,yC,xyThy0hxhy成立，則可以稱h在開凸集C上的偽凸。本文從結(jié)構(gòu)上分為兩個(gè)部分，第一部分就是凸函數(shù)的性質(zhì)，這部分可以說是為第二部分做理論上的鋪墊，重點(diǎn)是凸函數(shù)的性質(zhì)及其一些相關(guān)定理和不等式。第二部分就是實(shí)際應(yīng)用。本文共分為4章，以下我對本文各個(gè)章節(jié)所做出的具體安排：第1章為緒論。在本章的內(nèi)容主要是闡述了本論文研究背景及其目的，凸函數(shù)在國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，和一些

12、最新的發(fā)展，最后就是涉及本論文的結(jié)構(gòu)。第2章為預(yù)備知識。預(yù)備知識是我們研究前為第一部分所做的準(zhǔn)備工作。在本章首先介紹了凸函數(shù)的定義，凸函數(shù)的定理以及凸函數(shù)的簡單的性質(zhì)，最后就是一些常見的不等式以及這些性質(zhì)的證明過程。第3章就是凸函數(shù)在不等式證明的應(yīng)用。本章主要分為兩個(gè)方面進(jìn)行凸函數(shù)應(yīng)用的探討。首先就是在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，將其分為三個(gè)小塊進(jìn)行。在不等式的證明中又分為三個(gè)模塊。第4章就是凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，分為最優(yōu)問題的介紹和Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。在最優(yōu)化之中分為線性下的最優(yōu)化以及非線性下的最優(yōu)化， 并從非線性引出凸線性規(guī)劃問題， 最后簡單的介紹了一下Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度

13、量。最后就是結(jié)論。總結(jié)了本文的內(nèi)容，并且對未來凸函數(shù)應(yīng)用的展望。第2章預(yù)備知識2.1凸函數(shù)的定義下面介紹一下有關(guān)凸函數(shù)的定義定義2.1叫我們可以設(shè)函數(shù)h,其中有IR,x,yI,0,1 以下不等式hx1yhx1hy成立，則我們就稱函數(shù)h是I上的凸函數(shù)。如果我們假設(shè)對于任意的數(shù) 0,1,且有xy并且有以下的不等式成立hx1yhx1hy則我們將這種稱為函數(shù)h是I上的嚴(yán)格凸函數(shù)。其實(shí)對于這些公式在純粹的數(shù)學(xué)公式來說是很難理解的，在數(shù)學(xué)中我們一般用數(shù)學(xué)的幾何圖像來解釋這些公式，這樣我們就可以更加容易理解這些所代表的意思。當(dāng)然隨著我們知識的不斷積累單純，固定的思維不應(yīng)該再我們腦袋里重復(fù)出現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)例

14、子。下面我們運(yùn)用幾何知識來解釋凸函數(shù)的意義，但這只限于幾何。我們可以設(shè)函數(shù) yhx,在區(qū)間I上有定義并且對于任意的兩個(gè)數(shù)為 32I 且連續(xù)。如下圖2-1所示的那樣我們就稱這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)凸函數(shù)。這只是凸函數(shù)幾何定義的文字?jǐn)⑹鲂问?，這樣看來是枯燥的，下面我們運(yùn)用幾何的形式來解釋，這樣更為直觀些。圖 2-1 凸函數(shù)幾何圖下面我們列舉幾個(gè)等價(jià)的定義定義2.25:我們同樣可以設(shè)函數(shù)h在區(qū)間I上有定義，如果這個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上的凸函數(shù)的話，就要滿足以下式子：.x1x2hx1hx2Xi,X21,有八一-22如圖所示圖 2-2 凸函數(shù)幾何圖下面是一個(gè)推論可以有定義2得出來，但是還是要經(jīng)過一般性的推導(dǎo)

15、定義2.茅：同樣根據(jù)定義2.2我們可以設(shè)函數(shù)h在區(qū)間I上有定義，函數(shù)h稱為凸函數(shù)，只有當(dāng)以下式子得到滿足時(shí)從中我們不難看出這三種定義不等式均是等價(jià)的。在定義2.2成立的條件下可以證明定義2.3,我們用逆數(shù)學(xué)歸納法證明。下面我們對定義進(jìn)行推導(dǎo)證明。證明：我們可以先假設(shè)當(dāng)n2時(shí)成立，顯然根據(jù)定義2.2是成立的當(dāng)n4時(shí)xi,x2,xix2xnhx1hx2nhxn由于h左邊二hxix2x3x44hx2hx3hx44x1x2hx1hx2推導(dǎo)出下式O*J尤1-x14/x2可以看出將 n2k時(shí)，經(jīng)過上述的方法反復(fù)的計(jì)算可以證明其成立。我們可以另外設(shè)NXiX2Xmm則有xiX2xmNm兩邊同時(shí)加上N得：xiX

16、2xmNNmN對其進(jìn)行變形得xiX2xmNNmiXiX2XmNmi由nki時(shí)成立，故XiX2XnNhxihX2hXmhNhmimimihNhXihX2hXmhNmhNhNhXihX2hXmhNmh NhXihX2hXmhN,XiX2X3X4h4XiX2X3X4h2XiX2hX3X4hhX1hX2hX3hX4222hX1hX2hX3hX44hXiX2X3X44hX1hX2hX3hX44hX1hX2hXmhNm用。下面簡單的介紹幾個(gè)定理及其一些證明。卜面我們只給出其中之一的證明，其余的證明都是雷同的。現(xiàn)證明I與IV等價(jià)。證明：根據(jù)凸函數(shù)的定義我們可以得到（其中 Xi,X3關(guān)系如圖所示）其中XiX2

17、Xn2.2凸函數(shù)的定理在凸函數(shù)有很多非常重要的定理,這些定理在實(shí)際的應(yīng)用中起到了舉足輕重的作定理2.15：可以設(shè)一個(gè)函數(shù)h在區(qū)間I上有定義，則以下的條件是等價(jià)的(X1,X2,X31且有 XiX2X3)hX 在區(qū)間I凸函數(shù)（田）hX2hx1X2XihX3X3hX2X2hX3hX1X3XihX3hX2X3X2hX2hX1X2XihX3hX1X3Xi圖 2-3 定理證明圖x11x3x2x2x1x3x2.1hx3hx3hx1X3x1X3x我們可以綜合上面我們可以知道，從 I 可以推到 H。反過來對于任意的 0,1,記 X2X31X1,反過來我們把上式改變下就可以得到由從 H 推到 I。故我們可以得到結(jié)

18、論是：I 與 IV 等價(jià)。當(dāng)然其他的等價(jià)條件我們同樣可以仿效得到類似的結(jié)論。顯然我們可以通過上面的式子得到一個(gè)重要的等式如下hx 在區(qū)間,凸函數(shù)，且在該區(qū)間三點(diǎn)滿足如圖3所示的關(guān)系，那么我們可以得到將（IV）變換得到:這是我們可以記hxi1X3hxi1hX3hx2hx1hx3hx1X2Xx3x1x2x1hx2hx1hx3hx1x3x1x2x1hx2hx3hx1hx1x3x1,x2x1x2x1.hx2hx31hx1x3xx3x1,x2x1.x3x1x2x1.,x2x1hx2h&x3x1x3x2x3x1hx1土-21,其中 0,1,我們可以得到以下式子x3x1x3x2x36x1x2x1x2

19、x1x3x22x1x3x2x3x1x3Xx3Xhx2hx11x3hx1hx2hx1hx3hx1hx3hx2X2xix3xix3x2定理2.26:設(shè)函數(shù)h在區(qū)間I上有定義且一階可導(dǎo)，如果h在區(qū)間區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增，則函數(shù)h嚴(yán)格凸的。推論2.16:設(shè)函數(shù)h在區(qū)間I上有定義且二階可導(dǎo)，如果對于任意的xI,hx0(0),則函數(shù)h嚴(yán)格凸的。定理2.37:如果函數(shù)h在區(qū)間I上有定義，則我們可以得到以下的一些等價(jià)的命題：(I)hx 在區(qū)間 I 凸函數(shù)(H)對于 P0,PiP2Pn1 對于 xi,x2,xnI 有hPxiP2x2PnxnPih 小 Pzhx?Pnhxn(田)對于 P0 且 Pi(ii,2,3,

20、n)不全為零，對于 xi,x2,xnI 有不等式、PxiP2x2PnxnR為P?x2Pn4hPP2PnPP2Pn現(xiàn)證明I與II等價(jià)證明：對于上面的三個(gè)等價(jià)命題中，顯然我們可以從R推到I,只需要將n2時(shí)即可，然后再根據(jù)第2章預(yù)備知識中定義2.i的不等式形式可以得出結(jié)論成立?，F(xiàn)只需證明從I推到R,在I成立的條件下得出不等式hxiix2hxiihx2假設(shè)nk時(shí)也是成立的。即其中以下不等式顯然我們可以已經(jīng)數(shù)學(xué)歸納法，這是=2已經(jīng)是成立的hFxiP2x2則當(dāng)nki時(shí)有PkxkPihxiP2hx2PkhxkP?x2Pk”PkixkiPkiPxiP2x2RxkiPkiPkixkiPkihPixiPkxkiP

21、kiPkixki綜合以上的式子我們可以得到以下結(jié)果:2.3凸函數(shù)的簡單性質(zhì)(I)我們設(shè)函數(shù)h及f均為區(qū)間I凸函數(shù)，那么hf在區(qū)間I也是凸函數(shù)70(H)設(shè)函數(shù)h及 f 均為區(qū)間I凸函數(shù)，則當(dāng).小？。時(shí)，那么線性表達(dá)式 kihk2f 在區(qū)間I也是凸函數(shù)。(m)設(shè)函數(shù) hU 為單調(diào)遞增凸函數(shù)，Ufx 是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) hfx 也是凸函數(shù)。(IV)如果函數(shù)h在區(qū)間I上有定義且為凹函數(shù)且有 hx0,則。為區(qū)間I上的 hx凸函數(shù)，然而它的反推是不成立的現(xiàn)在我們可以對 IV 性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明，證明如下所示：證明：由于 hx0 為凹函數(shù)，那么得到不等式hxiix2hxiihx21P.1hRxiP2x2P

22、kXkiPki1RiRh(xi)P2h(X2)Pkh(xJ1RiP1hx1P2hx2PkhxkhP1x1P2x2PkhxkPkihxkiP2hx2所以當(dāng)nkPkxkPkixkiEh、k0,1 其中 k1,2,n,并且有n1k1,則不等式其中 Xi,X2I 且 0,1要證明，是凸函數(shù)，我們只要證明下面不等式成立就可以了 hx1Jhx11x2hx1hx2我們可以得到11hx11x2hhx11hx2x2現(xiàn)在只需要綜合以上的式子并由于 hx0,根據(jù)公式 x2y22xy 得h2xh2y2hxhy 故1Jhx11x2hx1hx2除此證明外我們還可以例舉出一個(gè)實(shí)際而簡單實(shí)例來說明如下式：1當(dāng) hxex時(shí)在區(qū)

23、間上為凸函數(shù)，但是,在區(qū)間上任然是凸函數(shù)，所以性質(zhì)（VI）hx反推是不成立的。2.4幾種常見的不等式凸函數(shù)的最基本不等式如下6內(nèi)的任意一組值 x1,x2,xnI 必有不等式成立。Jensen等式如下6R是區(qū)間I上的凸函數(shù)的充分必要條件是對于任意的461設(shè) hx 為區(qū)間I凸函數(shù)，則對于Ixx2nxnhxhx2hxnnHadamard不等式如下5如果函數(shù)力在區(qū)間 a,b 上有定義且為凸函數(shù)，則對于 ax1x2b 則有不等式1X2,1,hxdxhx1hx2x2x1x12hI2X2nXn1hXI2hX2nhXn稱為Jensen不等式Cauchy-Schwarz不等式如下6Cauchy-Schwarz不

24、等式其實(shí)就是利用Cauchy-Schwarz不等式Jensen不等式推導(dǎo)出來的下面的不等式就是nakbkk1nakk1n2bJk1第3章在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用凸函數(shù)屬于函數(shù)的一種，在數(shù)學(xué)之中使用的最為廣泛。在數(shù)學(xué)中我們一般就是利用其性質(zhì)來證明各類不等式，將復(fù)雜的不等式進(jìn)行一定的變換得到你想要的凸函數(shù)形式，然后得出證明。這樣便化難為簡了。本章討論的關(guān)鍵問題是凸函數(shù)在數(shù)學(xué)中的不等式證明，將凸函數(shù)的性質(zhì)用來證明不等式與傳統(tǒng)的方法比如說數(shù)學(xué)歸納法比較，凸出前者的便利性。在本章中我們就三種不等式進(jìn)行簡單的證明，所用到的大多是凸函數(shù)的簡單性質(zhì)以及相關(guān)的定理80 在這些不等式中有些比較復(fù)雜，一般的證明方法來證明就比

25、較困難了。然而當(dāng)我們用凸函數(shù)時(shí)，這些實(shí)際問題便容易得到了解決9。所以證明不等式也就是凸函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)非常重要的應(yīng)用，但是關(guān)鍵的是我們要把復(fù)雜的不等式經(jīng)過一些變換從而得凸函數(shù)的形式。3.1.初等不等式的證明解析：當(dāng)我們看到這個(gè)等式的時(shí)候，就會(huì)覺得如果我們用一般的數(shù)學(xué)歸納方法來證明就會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果。一是證明出來了就是過程太復(fù)雜，二是就根本就沒有這么出來。像這樣的就是非常復(fù)雜和繁瑣的，包括里面的所需要的思想。兩個(gè)不同的未知數(shù)，顯然不能用一般的求導(dǎo)。這里我們可以選擇構(gòu)造法來解決。這是數(shù)學(xué)之中常用的一種來解決繁瑣的方程或者不等式。此題如果不用構(gòu)造法幾乎是很難證明出來的，所以對于此題我們選擇了構(gòu)造法10。

26、證明：令 httn(t0,n1)一階求導(dǎo)可以得htntn1,，n2,htnn1t,t0,n1依據(jù)第二章中的凸函數(shù)的定義和定理我們可以得出ht 在 0,上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，再由凸函數(shù)的定義式我們可得例3.1證明不等式1xnyn2nx-y其中 x,y0,xy 且n12由上式變換得到xInxyInyxyIn2成立解析：這些不等是在歷年的考研試卷出現(xiàn)的頻率較高，難倒了不少的考生。其實(shí)這個(gè)不等式是俄羅斯的數(shù)學(xué)競賽題，通過改編而來。當(dāng)我們看到此不等式時(shí)，我們首先想到的是將 lnU 用函數(shù) htlnt 來構(gòu)造其中t0。則我們可以看到 2h2ln 匕上，但是如果我們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)要證明這個(gè)不等式利用 htln

27、t22是構(gòu)造不出來xh丫的,因此此構(gòu)造法是不可行的。但是我們仔細(xì)觀察你就會(huì)發(fā) 2現(xiàn)在不等式的兩遍都有兩個(gè)相同的數(shù)，這樣我們可以構(gòu)造出這樣的一個(gè)函數(shù)來1.httlnt(t0),再在不等式的兩邊同時(shí)乘以就-可以得到形如 2x1nxylny3ln3 的不等式。222證明：設(shè)函數(shù) httlnt(t0)一階求導(dǎo)得到ht1lnt,其中t0可以看出 ht01htt0ht0t根據(jù)第二章凸函數(shù)的性質(zhì)中的推理可以看出 ht 在 0,上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，又根據(jù)凸函數(shù)的定義得到:tlt.22htiht22例3.2證明不等式，當(dāng) x,y0,xy 時(shí)，有下列不等式xy.xyIn22,xyxyIn2這兩道題都是初等不等式，

28、用構(gòu)造法來構(gòu)造成凸函數(shù)證明顯然就比較簡單了。但是如果我們用傳統(tǒng)的方法來證明，證明的過程繁瑣甚至證明不出來。從上面的幾個(gè)例子我們可以得出的結(jié)論就是，運(yùn)用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來證明初等不等式顯得很簡單及巧妙。3,2函數(shù)不等式的證明例3.3證明對于任何的非負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)x,y,有xyx,2arctanarctanxarctany2解析：對于函數(shù)不等式，我們見得最多就是三角函數(shù)組成的不等式，比起初等不等式構(gòu)造起來就更加困難了，但是還是可以仿效初等不等式來構(gòu)造。構(gòu)造成凸函數(shù)的形式,2x22x顯然在 0,上是嚴(yán)格的凸函數(shù)由定義得到對于任意的 x,y0,xy 時(shí)都有“2h1 即xlnxyInyxInxylny從而得到

29、證明此題可以輔助函數(shù)11htarctanx 其中要求x0。證明：記 htarctanx(x0)二階求導(dǎo)得對于任何的非負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)x,y,則有 h，則有故有arctanxarctany,xyarctanL22arctanarctanxarctany解析：這個(gè)題看起來非常的復(fù)雜，難度也比前面的大，普通的方法是很難到達(dá)證明的，因?yàn)槠渲芯鸵婕暗讲坏仁椒柎笮〉呐卸?，我們可以?A5m*2和 8cosx其中可以將1cos2x化簡得2A,將1cos2x化簡得2B。證明：先變換得.1cos2x1cos2x.2A2Bsinxcosxsinxcosx其中記 Asinx2和 Bcosx2原式化簡得到原式 AABB,

30、顯然 A0,B0ABhAhB 協(xié)式我們可得 h 則2222.ABsinxcosx1hhh222然而ABhAh(B)AB-h22因此在證明函數(shù)不等式時(shí)我們還是可以利用構(gòu)造法來解題，只不過函數(shù)不等式比初等不等式更加復(fù)雜。構(gòu)造起來有點(diǎn)麻煩，但是一旦找到合適的輔助函數(shù)就變得簡單了。3.3積分不等式的證明在證明不等式時(shí)有一種思想是常用到的一分割12,這種思想是一種極限的思想，就是將極小不規(guī)則的例3.4:設(shè) x0,證明 sinx21cos2xcosx1cos2x又記 httn,由以上可知道 ht 在 0,上是嚴(yán)格的凸函數(shù)，再由凸函數(shù)的定義,1cos2xsinx1cos2xcosx圖形看著是規(guī)則的。這種思想

31、的應(yīng)用使得不等式的證明變得簡單易懂。例3.5:我們設(shè)函數(shù) gx,hx 在區(qū)間 a,b 上是連續(xù)的，且有 gx0,bhxdx0,amgxM,x 在閉區(qū)間 a,b 上是有定義的，并且二介導(dǎo)數(shù) x0 證明不等式bbgxhxdxgxhxdxaabbhxdxhxdxaa解析：此題在考研機(jī)構(gòu)中經(jīng)常被講到，也是考研的熱點(diǎn)題。此題就要設(shè)計(jì)一些微積分定義的知識，其中將要用到微元法。下面簡答的介紹一些微元法。如圖3-1所示，我們將函數(shù) hx 在區(qū)間 a,b 分成N等份，這里面有N分點(diǎn):那么第k個(gè)子區(qū)間的長度為:從圖中我們可以看出形成了一個(gè)曲邊梯形。在我們可以在區(qū)間 xki,xk取一點(diǎn)k,且其對應(yīng)的曲邊梯形的面積為

32、 AkAkhkxk那么所有的小曲邊梯形就構(gòu)成了整個(gè)曲邊梯形的面積;NNAAkhkxkk1k1當(dāng)N無限的大時(shí)，則每個(gè)子區(qū)間的就會(huì)越來越少，我們設(shè)子區(qū)間的最大值為dmaxxk0,上式就可以寫成:X0 xiXNbxkxkxkik1,2,n圖 3-1 微元法NbAlimhkxkhxdxd0ak1卜面我們就要用到以上的結(jié)論了證明：由于函數(shù) gx,hx 在區(qū)間 a,b 上是連續(xù)的，則我們可以依據(jù)微積分的微元法思想將區(qū)間 a,b 分割成 n 等份并將每等份的標(biāo)記為:k1,2,n(x)0 則得(x)在區(qū)間是凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)定理得到:時(shí)則取極限值，又根據(jù)以上積分的定義所得到的結(jié)論可以得證明即:bbg

33、xhxdxgxhxdxaabbhxdxhxdxaa例3.6:我們設(shè)函數(shù) h(x)在閉區(qū)間a,b上是可積函數(shù)，且有 mh(x)M,設(shè)(x)是區(qū)間 m(x)M 上的連續(xù)凸函數(shù)，則1b1bhxdxhxbaabaa由以上可以得如下不等式:又由于higih2g2hhhngnhng1h2g2hngnh1h2hngxkhxkn,bahxkngxkhxkn,bahxkndx證明：由題意可知 hx在閉區(qū)間 a,b 上是可積函數(shù)的,則根據(jù)積分的定義我們可以將整個(gè)區(qū)間分成若干等份,則有:xkak1,2,我們記 hxkhkxk上式同時(shí)取極限值得:當(dāng)n時(shí)則取極限值，Xk無限趨近于零。又根據(jù)以上積分的定義所得到的結(jié)論可以

34、得證明即:對(3-2)右端進(jìn)行類似的化簡得出下列等式:綜上所述可以得到:bhxdxa通過上面的這些不等式的證明來看，利用凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及定理來證明數(shù)學(xué)中的那些復(fù)雜而繁瑣的不等式，可以使整個(gè)過程變得既巧妙又簡練，并可以使不等式的難度降低。在將不等式轉(zhuǎn)化過程中，有時(shí)候我們會(huì)遇到那些繁，雜，偏的不等式，這時(shí)候找到一個(gè)合適函數(shù)成為了解題的關(guān)鍵。另外一種情況就是一眼看不出有合適的凸函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只能進(jìn)行間接的應(yīng)用。這時(shí)我們就要對原不等式進(jìn)行變換，然后再找到合適的方法來證明。hih2h1h2hn(3-1)limnhih2hnlimnhih2nhnlimnhih2hnnlimnhih2nhn(3-2)li

35、mnhih2hnlimnLfih2hnlimnXkbhxdxhih2limnnhn一limanhih2hndxbhxdxaLXLXi,X2,m,XmhXkgkXakkihXi,X2,mkgkXi,X2,Xmakki稱為Largrange函數(shù)，我們常?？梢钥吹讲坏仁降募s束條件在最優(yōu)化的經(jīng)濟(jì)中被用到4.i.i線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題就是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)以及所給的約束條件求的最值,般的線性約束最優(yōu)化問題是由線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件組成。的例子來說明求解方法。例4.i：在約束條件為以獲得想要的值。-本小節(jié)通過以下幾個(gè)第4章凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的中應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多投資決策都和數(shù)學(xué)有關(guān)13,在大學(xué)階段

36、我們學(xué)過已經(jīng)涉及，可見數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)系是如此的緊密。在許多的決策中用數(shù)學(xué)知識計(jì)算出來的結(jié)果，給經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析數(shù)據(jù)提供了有力的依據(jù)。4.1最優(yōu)化問題前面我們介紹凸函數(shù)的新的發(fā)展，其中就介紹了擬凸函數(shù)。在最優(yōu)化問題中這些都得到了應(yīng)用。在最優(yōu)化問題中最重要的是找到所謂的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件，常見的Largrange問題約束條件:hXi.x?,(mn)hmXi,X2,Xnam下求解最值。aih2Xi,x2,Xna?我們可以對Largrange函數(shù)：設(shè)1，2m,并把這些數(shù)稱為Largrange乘子，則以x13x212x1x210求 y4x12x2的最大值解：對上面的約束條件我們可以畫出它的圖形，如下圖4-

37、2所示圖 4-1 可行解區(qū)域圖從上面的4-1圖可以看出，在極值點(diǎn)的出現(xiàn)只可能在左下角和右上角。對于該目標(biāo)函數(shù)的極小值來說只能在圖形的最左下面，而且只要一個(gè)點(diǎn)，即角點(diǎn)。那么目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)為 x13,x21,y14。其次就是目標(biāo)函數(shù)的極大值的點(diǎn)，從圖形我們可以看出，是在右上方的倆個(gè)角，而且從圖形我們可以看出極大值不止一個(gè)，單單是兩個(gè)角點(diǎn)，即分別為 x14.5,x1 和 x13,x24 就可以成為最大值點(diǎn)，又由于目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行區(qū)域右上角邊界約束條件的斜率相等，所有整個(gè)又上方邊際都是最大值點(diǎn)。例4.2:在約束條件x13x212x1x210求 y3x12x2的最大值解：對上面的約束條件我們可以

38、畫出它的圖形，如下圖4-2所示工2圖4-2表明，我們將目標(biāo)函數(shù)變形得 x2%y，和斜率為-2的直線相比目標(biāo)函數(shù)的直線經(jīng)過可行解區(qū)域。從目標(biāo)函數(shù)的斜率知道，要取得極值點(diǎn)只能是在兩個(gè)點(diǎn)上，一個(gè)點(diǎn)就是正上方的角點(diǎn)，另一個(gè)就是最右下方的角點(diǎn)。這兩個(gè)角點(diǎn)的值分別為X3,x24 和 x14.5,x21,得出 Ymax12.5。4.1.2非線性規(guī)劃下的最優(yōu)化問題以上說明的是在線性條件下的最優(yōu)化問題，而在非線性條件下的最優(yōu)化中最重要的是凸規(guī)劃。我們一般會(huì)把線性與非線性的區(qū)別搞混淆，現(xiàn)在我們把它們兩個(gè)進(jìn)行區(qū)分以下。所謂的線性規(guī)劃就是它的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的自變量都是線性函數(shù)，否則就是非線性函數(shù)，后者就是所謂的非

39、線性規(guī)劃。在實(shí)際生活中有許多的問題可以轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃，只要找到其中的目標(biāo)函數(shù)，提取其中的約束條件并依據(jù)此解出它的解即為所要的，還有些實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃來解答。如果（MP）的約束集X是凸集，目標(biāo)函數(shù) f 是X上的凸函數(shù)，則（MP）叫做非線性凸規(guī)劃，或簡稱為凸規(guī)劃14。對于非線性規(guī)劃（MP）,如果 gix0,i1,P 都是Rn上的凸函數(shù)，并且對于 hjx0,j1,用都是線性函數(shù)，fx 是X上的凸函數(shù)，則（MP）是凸規(guī)劃。在最優(yōu)解中凸規(guī)劃的任一局部最優(yōu)解都是它的整體最優(yōu)解14。以下給出判斷是否是凸規(guī)劃的一個(gè)定理15設(shè) fx:RnR 為二次函數(shù)，如下列方程fx-xTQxbTxc2其中 Q 是

40、 n 階對稱矩陣，則（1）fx 是Rn上的凸函數(shù)的充要條件是 Q 為半定矩陣其中卜面我們可以簡單的介紹一下有關(guān)凸規(guī)劃的相關(guān)知識s.tgxhjxgiminfx0,i1,0,j1,P,MP,q0,i0,j1,1,P,q為約束集（2）fx 是Rn上的嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是 Q 為定矩陣本小節(jié)通過適當(dāng)?shù)睦?，來說明這類問題的求解方法。例4.3:22minfxx1x24x14s.t.g1xx1x2202g2xx1x210 x1,x20判定是否為凸規(guī)劃并求其最優(yōu)解解：我們可以對上面的式子進(jìn)行變形為minfxx122x2g1xx1x2202g2xx1x210 x1,x20我們可以通過大學(xué)里所學(xué)的線代知識可以

41、判斷這個(gè)顯然是正定矩陣222f2f2-x1x1x2222f2f2x2x1x2以上為正定矩陣，同理我們可以判定2gix,2g2x2gix2g2x均為半定矩陣。所以我們得出結(jié)論為該式子為凸規(guī)劃對于上式我們可以畫出圖形來解釋，如圖4-4JLJLx2Fi=0圖 4-4 最小值點(diǎn)通過以上可以看出，要滿足所有的條件并取得最小值只能在交點(diǎn)出才可以。通過計(jì)算解得交點(diǎn)的值為 X1,x20.58,1,34 帶入計(jì)算得minfx3.8例4.4:試判定是否為凸規(guī)劃并求其最優(yōu)解為半正定矩陣。所以我們可以看出這個(gè)式子為凸規(guī)劃。對于上式我們可以畫出圖形來解釋，如圖4-5通過條件可以看出只要在在點(diǎn) x 取的最小值minfxs

42、.t.gxixi,x22xi2x2xi1X2解：fx2xix2為正定矩陣以下是判定 gxXiX2的格式2g2xi2g2gx#22g2乂乂2圖 4-5 最小值點(diǎn)Xl,X2從鐵桶的形狀來看，密閉的圓形鐵桶是由上下兩個(gè)圓盤形狀的底面和一個(gè)側(cè)面，而鐵桶的尺寸和容量是由底面的半徑，鐵桶的高決定的，所有我們可以設(shè)變量底面的半徑和高分別為R,H,即R=底面的半徑，H=鐵桶的高根據(jù)以前所學(xué)的立體體積可知，這個(gè)鐵桶是由兩個(gè)部分組成的，兩個(gè)圓形組成底面，一個(gè)長方形組成側(cè)面。底面積等于 2R2,而鐵桶的側(cè)面積等于2RH,鐵桶的體積等通過轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)就是求圓的半徑。直線 gX1X1X2于圓相切。其斜率為 1,得出一個(gè)三元

43、方程。設(shè)半徑為R22X1X2gX1X1dX2dX1R2X2-2解彳#R 下帶入上式得2minfXX12X2卜面舉個(gè)實(shí)際的例子例4.5:假設(shè)某制造長使用某種規(guī)格的鐵皮了，制作一批容量為10L,密閉的圓柱形鐵桶，試問：如何設(shè)計(jì)鐵桶的尺寸，使得制作鐵桶使用的材料最少?解：如圖4-6所示圖 4-6 鐵桶再將其變形得于 R2H。由題目的意思我們可以知道鐵桶的體積就等于它的容量即為10L。根據(jù)實(shí)際情況看，鐵桶的底面半徑和其高均不能為負(fù)數(shù)。學(xué)規(guī)劃來解，如下面的優(yōu)化模型。這樣我們可以將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)minSs.t2R22RHR2H10R.H0(4-1)要解答這個(gè)問題我們可以將這個(gè)（4-1）設(shè)參數(shù)A=10

44、/,將其帶入（4-1）得進(jìn)行一次變換。minS2R22RHs.tHR.HA/R20(4-2)R2minS2A(Ast.R1R21、R)20(TR)0(4-3)可以看出上式（4-3）可以看出目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)。定理16,求出最優(yōu)解為根據(jù)凸函數(shù)的特性和最優(yōu)解的有關(guān)最優(yōu)值為相應(yīng)的得出鐵桶高的最優(yōu)解1/3R-2minS=304.2Arrow-pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量1/351/31/3H2R2-設(shè)效用函數(shù)17U（x）且函數(shù)具有一二階導(dǎo)數(shù)則以下函數(shù)表 1 風(fēng)險(xiǎn)類型a 滿足條件(x)0風(fēng)險(xiǎn)中性(x)0厭惡風(fēng)險(xiǎn)(x)0愛好風(fēng)險(xiǎn)在人們有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，常會(huì)用到效用函數(shù) U(x)來描述，其中將 x 稱為經(jīng)濟(jì)獲利大小。

45、在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，人們所追求的不只是最大，恰恰是與主觀判斷有關(guān)系的最大決策，所以對于以上3種形式我們從數(shù)學(xué)角度可以得到有意義的結(jié)果。(1)當(dāng)(x)0 是，由(x)UJ0 得到 U(x)0 此時(shí)有 U(x)為線性函數(shù) U(x)U(x)axb(a0)對于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作風(fēng)險(xiǎn)中性。(2)當(dāng)(x)0 是，由(x)UJ0 得到 U(x)0 此時(shí)就有 U(x)為凹函數(shù)。U(x)Uxi(1)x2U(xi)(1)U(x2),(0,1)對于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作厭惡風(fēng)險(xiǎn)。(3)當(dāng)(x)0 是，由(x)U10 得到 U(x)0 止匕時(shí) U(x)為凸函數(shù) U(x)Ux1(1)x2U(x1)(1)U(x2),(0,1)對于這樣的風(fēng)險(xiǎn)者，一般將其稱作愛好風(fēng)險(xiǎn)(x)U(x);U(x)(x)稱為 4磔、加,仃風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量?，F(xiàn)對(x)定義了三種形式如下表所示從本文可以看出凸函數(shù)有很