往年北京高考試題(理科)

1、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）第 14 頁 共 10 頁1至2頁，第n卷3至9第I卷（選擇題共40分）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷 頁，共150分.考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1 .答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目寫在答題卡上.如需改動(dòng)，用橡皮擦2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑. 干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).不能答在試卷上.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（,一,1 i1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) iA.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若a與b c都是非零向量，則“ a*ag

2、T 是 “ a (bA.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件3.在 1, 共有（A. 36個(gè)4.平面2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的 ）B. 24 個(gè) C. 18 個(gè) D. 6 個(gè)的斜線點(diǎn)C的軌跡是（ A. 一條直線AB交 于點(diǎn)B ,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交 于點(diǎn)C ,則動(dòng) ）一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支5 .已知f3a 1 x4a,log a x,上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是A.01°，3D.在下列四個(gè)函數(shù)中滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間1,2上的任意人X2x2fX1X2X1恒成立”的只有（A.7

3、.設(shè) f n2427210L23n“ 2 n .2n1/2n 3/2 n 2 .A. 81B. 81C. 81 D. 8177778.下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口 A, B, C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中為，x2, x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段Ab,Bc,Ca的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（ ）A. X1> X2 > X3C. x2>x3>x1B, x1>x3>x2D. x3>x2>x1第n卷（共110分）注意事項(xiàng)：1 .用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在

4、試卷上2 .答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.x2 3x 29. lim J32的值等于.x 1 x2 1710 .在 Jx 2 的展開式中，x2的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答） x411,11 .若三點(diǎn)A 2,2 , Ba ,0 , C 0, b abw0共線，則一一的值等于. a b12 .在 zABC 中，若 sin A: sin B :sinC 5 ： 7： 8,則 / B 的大小是.x yW 4,13 .已知點(diǎn)P（x, y）的坐標(biāo)滿足條件 y > x,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于x > 1,最大值

5、等于.14 .已知A, B, C三點(diǎn)在球心為 O,半徑為R的球面上，ACLBC,且AB R,那么A, B兩點(diǎn)的球面距離為 ，球心到平面 ABC的距離為.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15 .(本小題共12分)1. 2 sin 2x ，一一4已知函數(shù)f x -.cosx(I )求f x的定義域；4(n)設(shè) 是第四象限的角，且tan §，求f 的值.16.(本小題共13分)已知函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx在點(diǎn)Xo處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)AB ± AC , PAL 平面 ABCD,且(1,0) ,

6、(2,0),如圖所示.求:(I) x0的值；(II) a, b, c 的值.17 .(本小題共14分)如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P ABCD中,PA AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(I)求證：AC ± PB ;(n)求證：PB /平面AEC ；(出)求二面角 E AC B的大小.18 .(本小題共13分)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是a, b , c ,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(I)分別求該應(yīng)聘者

7、用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率；(n)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)19 .(本大題共14分)已知點(diǎn)M 2,0 , N 2,0 ,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件 PM PN 20記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(I)求W的方程；uuu uuu(n)若 A, B是W上的不同兩點(diǎn)， 。是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 OAgOB的最小值.20 .(本小題共14分)在數(shù)列an中，若a1，a2是正整數(shù)，且an an 1 an 2 , n 3, 4, 5, L ,則稱斗為“絕對(duì)差數(shù)列”.(I)舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”(只要求寫出前十項(xiàng))；(n )若“絕對(duì)差數(shù)列"an中，a?。3,a?10 ,

8、數(shù)列 bn滿足 bnanan 1an 2, n 1 ,2, 3, L，分別判斷當(dāng)n 時(shí)，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；(出)證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試6小題，每小題 5分，共30分)14(11) 1(12)一23(14)1 R 手 R6小題，共80分)數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(北京卷)參考答案一、選擇題(本大題共 8小題，每小題 5分，共40分)(1)D (2) C(3)B(4)A (5) C(6)A(7)D(8)C二、填空題(本大題共(9)-(10)2(13)710三、解答題(本大題共(15)(共 12 分)解：(I)由 c

9、osx 0得 x k 一(k Z)。2故f x的定義域?yàn)?x x k-,k Z 2，、4(n)因?yàn)?tan ,cos 543所以 sin ,cos 一， 551 、2sin(2一)故f 4cos). ccc21 sin 2cos 22coscos(16)(本小題共13分)解法一：3,且第四象限的角, 51 . 2( sin 2 - cos2 )22cos2sin cos 2 cos sin 14 cos5(I)由圖像可知，在,1 上 f' x 0,在 1,2 上 f ' x 0,在 2,故 f(x)在(-,1),(2, + )上遞增，在(1,2)上遞減,因此f x在x 1處取得

10、極大值，所以 X0 1,、 一'2(n) f (x) 3ax 2bx c,由 f (1) 0, f( 2) =0, f( 1) = 5,3a 2b c 0,得 12a 4b c 0,解得 a 2,b9,c 12.a b c 5,解法二：(I)同解法一2(n)設(shè) f (x) m(x 1)(x 2) mx 3mx 2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 a m,b -m,c 2m 32m 332|f (x) x -mx2mx,32由 f (1) 5,口h m 3即一 一m 2m 5,3 2得m 6,所以 a 2,b9,c 12(17)(共 14 分)解法一：(I ) Q PA 平

11、面 ABCD ,AB是PB在平面ABCD上得射影，又QAB AC, AC 平面 ABCD ,AC PB.(n )連接 BD ,與AC相交與O,連接EO,Q ABCD是平行四邊形。是BD的中點(diǎn)又E是PD的中點(diǎn)，EOfPB.又PB 平面AEC , EO 平面AEC ,PBP¥面 AEC ,b - 2 aIxrc woo b - 2,a 一 2(m)取BC中點(diǎn)G,連接OG,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為uurb b uuur又OE= (0, -,-) ,AC (a,0,0),2 2uuir uurimr uuurOEgAC 0,OGgAC 0,OE AC,OG AC,EOG是二面角 Q cos EOG c

12、osEOG 1350.二面角E AC18. (13 分)解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A, B, C.貝U P (A) =a, P (B) =b, P (C) =c(I )應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率uririrP P A B C P A B C P A B C P A B Cab 1 c bc 1 a ac 1 b abc ab bc ca 2abc 應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率1 1-11p2P(A B) P(B C) P(A C) (ab bc ca)3 333(n)因?yàn)?a, b, cC 0, 1,所以E ACuuir uurOE,OGB的大小為B的平面角。uuir

13、uurOG1350.2 2rp1 p2一(ab bc ca) 2abc -ab(1 c) bc(1 a) ca(1 b) 03 3故 P1> P2即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大19.(共 14 分)解法一：(I )由|PM|-|PN|=2 J2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M , N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支， 實(shí)半軸長(zhǎng)a= J2 .又半焦距c=2。故虛半軸長(zhǎng)b=Jc2 a2 22,22所以W的方程為上 y- 1,x、/22(n)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(Xiyi) ,(X2y2).22x/2yy2XiVi2。uuu uur當(dāng) AB x 軸時(shí)，x1 x2, y1 y2,從而 OA OB當(dāng)AB與x

14、軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y km x,與W的方程聯(lián)立，消去 y得2229 k2 x2 2kmx m2 2 0,22 kmm2取 x1 x2 2 ,x1x2 21 kk1(kx1 m)( kx2 m)2222(1 k2)(m2 2) 2k2m222 T mk 11 kuuu uur 所以 OA OB x1x2 y1y2 x1x2“ 1 2、，/、2(1 k )x1x2 km(x1 x2) m_ 2_2k 2 c 42 22uuu uuu，從而 OA OB 2.取得最小值2.k 1 k 12一又因?yàn)閤x20,所以k 1 0uuu uuir 綜上，當(dāng)AB x軸時(shí)，OA OB解法二：(I)同解法

15、一.(n)設(shè) A、B的坐標(biāo)分別為 x1,y1 , y1,y2 ,則x2 y2 (x yi)(x y) 2(i 1,2)令 Si xi yi ,ti xi yi,uun uuu則 Siti 2,且與 0, ti 0(i 1,2),所以 OA OB x1x2 y1y21 ,、，、1 ,、，、4(Slt1)(s2t2)4(Slt1)(s2t2)12t1t2sis2t1t2,Kx2,當(dāng)且僅當(dāng)s1s2 11t2，即 2時(shí)=成立.Viy2uuu uur所以O(shè)A OB的最小值是2.20.(共 14 分)(I )解:唯一)a1 3,a21,a32, a4 1,a5 1,a60,a7 1,% 1,a90, a1

16、o1.(答案不(n)解：因?yàn)樵诮^對(duì)等差數(shù)列a。中，a203,a21 0,所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是a203, a210, a223,a233, a240, a253, a263,a270, L即自第20項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3, 0, 3,所以當(dāng)n 時(shí)，an的極限不存在.當(dāng) n 20 時(shí)，bn a。 a。1 a。2 6 ,所以 lim bn 6n(出)證明：根據(jù)定義，數(shù)列an必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下:假設(shè)an中沒有零項(xiàng)，由于 anan 1an 2 ,所以對(duì)于任意的n ,都有an1,從而當(dāng) an 1 an 2, anan 1an 2an 1當(dāng) an 1an 2 , anan 2an 1an 1即an的值要么比an1至少小1,要么比2至