數(shù)電PPT 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、（8學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)） 本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學(xué)方法。首本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學(xué)方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、常用公式和基本定理，先介紹邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。重點(diǎn)掌握卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，為后續(xù)課程打下基重點(diǎn)掌握卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，為后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。礎(chǔ)。2.1 概述概述2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方

2、法2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.7 *具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 在數(shù)字電路中，在數(shù)字電路中，1位二進(jìn)制數(shù)碼位二進(jìn)制數(shù)碼“0”和和“1”不僅可不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機(jī)的起動(dòng)狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機(jī)的起動(dòng)和停止、電燈的亮和滅等。和停止、電燈的亮和滅等。 當(dāng)二進(jìn)制數(shù)碼當(dāng)二進(jìn)制數(shù)碼“0”和和“1”表示二值邏輯，并按某表示二值邏輯，并按某種因果關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，稱為種因果關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，稱為，最基本的三，最基本的三種邏輯

3、運(yùn)算為種邏輯運(yùn)算為“與與”、“或或”、“非非”，它與算術(shù)運(yùn)，它與算術(shù)運(yùn)算的本質(zhì)區(qū)別是算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運(yùn)算中輯運(yùn)算中1+1=1(或運(yùn)算）或運(yùn)算） 數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為低電平，可以用二值變量（取值只能為0 0，l l）來(lái)表示。）來(lái)表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述。數(shù)學(xué)工

4、具來(lái)描述。2.1.2 數(shù)字電路的特點(diǎn)及描述工具數(shù)字電路的特點(diǎn)及描述工具 邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)用，它首先是由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治用，它首先是由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾（布爾（George Boole）提出的，用在邏輯運(yùn)算上。后來(lái)用在數(shù)字電路中，就提出的，用在邏輯運(yùn)算上。后來(lái)用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。注意：注意：1. 邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)的運(yùn)算相似，如有交換律、邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)的運(yùn)算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，結(jié)合律

5、、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，叫邏輯變量。叫邏輯變量。2. 邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學(xué)代邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學(xué)代數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，是進(jìn)行十進(jìn)制（是進(jìn)行十進(jìn)制（09）數(shù)值運(yùn)算。而邏輯代數(shù)中變量）數(shù)值運(yùn)算。而邏輯代數(shù)中變量的取值只有兩個(gè)：的取值只有兩個(gè)：“0”和和“1”。并且。并且“0”和和“1”沒有沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算 在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運(yùn)算

6、有與在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運(yùn)算有與（AND）、或（）、或（OR）、非（）、非（NOT）三種邏輯運(yùn)算。）三種邏輯運(yùn)算。2.2.1 與運(yùn)算與運(yùn)算 與運(yùn)算也叫邏輯乘或邏輯與，即當(dāng)所有的條件都與運(yùn)算也叫邏輯乘或邏輯與，即當(dāng)所有的條件都滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生，滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生，即即“缺一不可缺一不可。ABY Y圖2.2.1 與邏輯電路圖2.2.1 與邏輯電路 如圖如圖2.2.1所示電路，兩所示電路，兩個(gè)串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就個(gè)串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關(guān)是與邏輯事例，只有開關(guān)A、B同時(shí)閉合時(shí)燈才會(huì)亮。同時(shí)閉合時(shí)燈才會(huì)亮。 設(shè)開關(guān)閉合用設(shè)開關(guān)閉合用“1”表示，表示，斷開用斷開用“

7、0”表示表示 ；燈亮用；燈亮用“1”表示，燈滅用表示，燈滅用“0”表示（邏輯表示（邏輯賦值），則可得到表賦值），則可得到表2.2.1所示所示的輸入輸出的邏輯關(guān)系，稱為的輸入輸出的邏輯關(guān)系，稱為真值表真值表 表表2.2.1 與邏輯真值表與邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 10 00 00 0輸出輸出輸入輸入 從表中可知，其邏輯規(guī)律服從表中可知，其邏輯規(guī)律服從從“有有0出出0，全，全1才出才出1” 這種與邏輯可以寫成下面的表達(dá)這種與邏輯可以寫成下面的表達(dá)式：式： BAY稱為與邏輯式，這種運(yùn)算稱為稱為與邏輯式，這種運(yùn)算稱為與與運(yùn)算運(yùn)算ABY Y圖2.2.

8、1 與邏輯電路圖2.2.1 與邏輯電路A AB BY Y圖圖2.2.2 與門邏輯符號(hào)與門邏輯符號(hào)A AB BY Y也可以用圖也可以用圖2.2.2表示與邏表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符輯，稱為邏輯門或邏輯符號(hào)，號(hào)，實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的門實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的門電路稱為與門。電路稱為與門。 2.2.2 或運(yùn)算或運(yùn)算 或運(yùn)算也叫邏輯加或邏輯或，即當(dāng)其中一個(gè)條或運(yùn)算也叫邏輯加或邏輯或，即當(dāng)其中一個(gè)條件滿足時(shí)，事件就會(huì)發(fā)生，件滿足時(shí)，事件就會(huì)發(fā)生，即即“有一即可有一即可”若有若有n個(gè)邏輯變量做與運(yùn)算，其邏輯式可表示為個(gè)邏輯變量做與運(yùn)算，其邏輯式可表示為nAAAY21ABY Y圖2.2.3 或邏輯電路圖2.2.3

9、或邏輯電路 如圖如圖2.2.3所示電路，所示電路，兩個(gè)并兩個(gè)并聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關(guān)事例，只要開關(guān)A、B有一個(gè)閉合有一個(gè)閉合時(shí)燈就會(huì)亮。時(shí)燈就會(huì)亮。 用與前面相同的邏輯賦值同用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表樣也可得到其真值表如表2.2.2所所示，其邏輯規(guī)律服從示，其邏輯規(guī)律服從“有有1出出1，全全0才出才出0” 其邏輯式為其邏輯式為BAY表表2.2.2 或或邏輯真值表邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 10 0輸出輸出輸入輸入上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：當(dāng)邏輯變量當(dāng)邏輯變量A、B有一有

10、一個(gè)為個(gè)為1時(shí)，邏輯函數(shù)輸出時(shí)，邏輯函數(shù)輸出Y就為就為1。只有只有A、B全為全為0，Y才為才為0。 其邏輯門符號(hào)如圖其邏輯門符號(hào)如圖2.2.4所示，所示，實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的門實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的門電路稱為或門。電路稱為或門。A AB BY Y圖圖2.2.4 或門邏輯符號(hào)或門邏輯符號(hào)1A AB BY Y若有若有n個(gè)邏輯變量做或運(yùn)算，其邏輯式可表示為個(gè)邏輯變量做或運(yùn)算，其邏輯式可表示為nAAAY213. 非邏輯運(yùn)算非邏輯運(yùn)算 條件具備時(shí)，事件不發(fā)生；條件不具備時(shí)，事條件具備時(shí)，事件不發(fā)生；條件不具備時(shí)，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯求反件發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯求反如圖如圖2.

11、2.5所示電路，所示電路，一個(gè)開關(guān)控一個(gè)開關(guān)控制一盞燈就是非邏輯事例，當(dāng)開制一盞燈就是非邏輯事例，當(dāng)開關(guān)關(guān)A閉合時(shí)燈就會(huì)不亮。閉合時(shí)燈就會(huì)不亮。 非邏輯運(yùn)算也叫邏輯非或非非邏輯運(yùn)算也叫邏輯非或非運(yùn)算、反相運(yùn)算，即輸出變量是運(yùn)算、反相運(yùn)算，即輸出變量是輸入變量的相反狀態(tài)。其邏輯式輸入變量的相反狀態(tài)。其邏輯式為為AY Y圖2.2.5 非邏輯電路圖2.2.5 非邏輯電路R 用與前面相同的邏輯賦值同用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表樣也可得到其真值表如表2.2.3所所示示表表2.2.3 非邏輯真值表非邏輯真值表A AY Y0 01 11 10 0AY注：上式也可寫成注：上式也可寫成等以及

12、A,AYAY其邏輯門符號(hào)如圖其邏輯門符號(hào)如圖2.2.6所所示，實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的門示，實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的門電路稱為非門電路稱為非門A AY Y圖圖2.2.6 非門邏輯符號(hào)非門邏輯符號(hào)1A AY Y 以上為最基本的三種邏輯運(yùn)算，除此之外，還有下以上為最基本的三種邏輯運(yùn)算，除此之外，還有下面的由基本邏輯運(yùn)算組合出來(lái)的邏輯運(yùn)算面的由基本邏輯運(yùn)算組合出來(lái)的邏輯運(yùn)算4. 與非（與非（NAND）邏輯運(yùn)算）邏輯運(yùn)算與非運(yùn)算是先與運(yùn)算后非運(yùn)算的與非運(yùn)算是先與運(yùn)算后非運(yùn)算的組合。以二變量為例，布爾代數(shù)組合。以二變量為例，布爾代數(shù)表達(dá)式為：表達(dá)式為： )( ABY其真值表如表其真值表如表2.2.4所示所示表表2.2.

13、4 與非邏輯真值表與非邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 11 1輸出輸出輸入輸入其邏輯規(guī)律服從其邏輯規(guī)律服從“有有0出出1，全，全1才才出出0” 實(shí)現(xiàn)與非運(yùn)算用與非門電路來(lái)實(shí)實(shí)現(xiàn)與非運(yùn)算用與非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖現(xiàn)，如圖2.2.7所示所示5. 或非（或非（NOR）運(yùn)算）運(yùn)算 或非運(yùn)算是先或運(yùn)算或非運(yùn)算是先或運(yùn)算后非運(yùn)算的組合。以二變后非運(yùn)算的組合。以二變量量A、B為例，布爾代數(shù)表為例，布爾代數(shù)表達(dá)式為：達(dá)式為： )(BAYA AB BY Y圖圖2.2.7 與非門邏輯符號(hào)與非門邏輯符號(hào)A AB BY Y表表2.2.4 與非邏輯真值表與非邏輯

14、真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 11 1輸出輸出輸入輸入或非邏輯規(guī)律服從或非邏輯規(guī)律服從有有“1”出出“0”全全“0”出出“1”或非運(yùn)算用或非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，或非運(yùn)算用或非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖如圖2.2.8所示所示表表2.2.5 或或非邏輯真值表非邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 1輸出輸出輸入輸入其真值表如表其真值表如表2.2.5所示所示A AB BY Y圖圖2.2.8 或門邏輯符號(hào)或門邏輯符號(hào)1A AB BY Y 與或非運(yùn)算是與或非運(yùn)算是“先與后或再非先與后或再非”三種運(yùn)算的

15、組合。三種運(yùn)算的組合。以四變量為例，邏輯表達(dá)式為：以四變量為例，邏輯表達(dá)式為： )(CDABY上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：當(dāng)輸入變量當(dāng)輸入變量A、B同時(shí)為同時(shí)為1或或C、D同時(shí)為同時(shí)為1時(shí)，時(shí)，輸出輸出Y才等于才等于0。與或非運(yùn)算。與或非運(yùn)算是先或運(yùn)算后非運(yùn)算的組合。是先或運(yùn)算后非運(yùn)算的組合。在工程應(yīng)用中，與或非運(yùn)算由在工程應(yīng)用中，與或非運(yùn)算由與或非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，其真值與或非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，其真值表見書表見書P22表表2.2.6所示，邏輯所示，邏輯符號(hào)如圖符號(hào)如圖2.2.9所示所示6.與或非運(yùn)算與或非運(yùn)算圖圖2.2.9 與與或非門邏輯符號(hào)或非門邏輯符號(hào)A AB BY YC CD DA AB BY Y1C

16、 CD DBABABAY其門電路的邏輯符號(hào)如圖其門電路的邏輯符號(hào)如圖2.2.10所所示示其布爾表達(dá)式（邏輯函數(shù)式）為其布爾表達(dá)式（邏輯函數(shù)式）為7. 異或運(yùn)算異或運(yùn)算表表2.2.6 異或異或邏輯真值表邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 10 0輸出輸出輸入輸入圖圖2.2.10 異或異或門邏輯符號(hào)門邏輯符號(hào)A AB BY YA AB BY Y=1符號(hào)符號(hào)“”表示異或運(yùn)算，即兩個(gè)輸入邏輯變量取值不表示異或運(yùn)算，即兩個(gè)輸入邏輯變量取值不同時(shí)同時(shí)Y=1，即，即不同為不同為“1”相同為相同為“0”，異或運(yùn)算用異或異或運(yùn)算用異或門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)門電路來(lái)實(shí)

17、現(xiàn)其真值表如表其真值表如表2.2.6所示所示AAAAAAAA01011. 交換律：交換律：ABBA2. 結(jié)合律：結(jié)合律：CBACBA)()(ACABCBA)(3.分配律：分配律：推論：當(dāng)推論：當(dāng)n個(gè)變量做異或運(yùn)算時(shí)，若有偶數(shù)個(gè)變量取個(gè)變量做異或運(yùn)算時(shí)，若有偶數(shù)個(gè)變量取“1”時(shí)，則函數(shù)為時(shí)，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個(gè)變量?。蝗羝鏀?shù)個(gè)變量取1時(shí)，則函時(shí)，則函數(shù)為數(shù)為1.4.異或運(yùn)算的性質(zhì)異或運(yùn)算的性質(zhì)BAABBABAY)(8. 同或運(yùn)算：同或運(yùn)算：其布爾表達(dá)式為其布爾表達(dá)式為表表2.2.7 同同或或邏輯真值表邏輯真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 10 00

18、01 1輸出輸出輸入輸入A AB BY Y圖圖2.2.11 同同或或門邏輯符號(hào)門邏輯符號(hào)=A AB BY Y符號(hào)符號(hào)“”表示同或運(yùn)算，即兩個(gè)輸入變量值相同時(shí)表示同或運(yùn)算，即兩個(gè)輸入變量值相同時(shí)Y=1，即，即相同為相同為“1”不同為不同為“0” 。同或運(yùn)算用同或門。同或運(yùn)算用同或門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，它等價(jià)于異或門輸出加非門，電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，它等價(jià)于異或門輸出加非門，其真值表如表其真值表如表2.2.7所示所示其門電路的邏輯符號(hào)如圖其門電路的邏輯符號(hào)如圖2.2.11所示所示2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式基本公式表表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒

19、等式為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表表2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式序號(hào)序號(hào)1 12 23 34 45 56 67 78 89 9公 式公 式00AAA 1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA)(AA)(序號(hào)序號(hào)101011111212131314141515161617171818公 式公 式AA 0AAA1 AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA )(100111 AA 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12. 交換律、結(jié)合律、分配律交換律、結(jié)合律、分配律a. 交換律交換律： AB= BA

20、 A + B=B + Ab. 結(jié)合律結(jié)合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理說(shuō)明：由表中可以看出說(shuō)明：由表中可以看出a. 互補(bǔ)律互補(bǔ)律：10AAAAb. 重疊律重疊律：A A = A A + A = Ac. 非非律非非律：AA)(d. 吸收律吸收律：A + A B = A A (A+B) = A BABAAe. 摩根定律摩根定律：BAAB )(BABA )(注：以上定律均可由真值表驗(yàn)證注：以上定律均可由真

21、值表驗(yàn)證3.邏輯函數(shù)獨(dú)有的基本定理邏輯函數(shù)獨(dú)有的基本定理表表2.3.2為常用的一些公式為常用的一些公式序號(hào)序號(hào)212122222323242425252626公 式公 式ABABAABAA)(CABABCCABA ABAABABAA )()(ABAABABAACABABCDCABA 表表2.3.2 常用公式常用公式2.3.2 若干常用公式若干常用公式說(shuō)明：說(shuō)明：1. AABA：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果其中一：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果其中一項(xiàng)包含另一項(xiàng)，則這一項(xiàng)是多余的，可以刪掉；項(xiàng)包含另一項(xiàng)，則這一項(xiàng)是多余的，可以刪掉；2. AA BAB：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果其中：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果

22、其中一項(xiàng)含有另一項(xiàng)的取反因子，則此取反因子多余的，一項(xiàng)含有另一項(xiàng)的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項(xiàng)中刪除；可從該項(xiàng)中刪除；3. ABA B A：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果它們：在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果它們其中的一個(gè)因子相同，而另一個(gè)因子取反，則兩項(xiàng)其中的一個(gè)因子相同，而另一個(gè)因子取反，則兩項(xiàng)合并，保留相同因子；合并，保留相同因子；4. A（AB）A：在當(dāng)一項(xiàng)和包含這一項(xiàng)的和項(xiàng)：在當(dāng)一項(xiàng)和包含這一項(xiàng)的和項(xiàng)相乘時(shí)，其和項(xiàng)可以消掉相乘時(shí)，其和項(xiàng)可以消掉5.ABA CBC ABA C ：在三個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，：在三個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果前兩項(xiàng)中的一個(gè)因子互為反，那么剩余的因子組成如果前兩項(xiàng)中的一個(gè)因子

23、互為反，那么剩余的因子組成的另一項(xiàng)則是多余的，可以刪掉；的另一項(xiàng)則是多余的，可以刪掉； 公式公式ABA CBCD ABA C 的原理和上述相同的原理和上述相同6. A（A B） A B ：如果某項(xiàng)和包含這一項(xiàng)的乘積：如果某項(xiàng)和包含這一項(xiàng)的乘積項(xiàng)取反相乘時(shí)，則這一項(xiàng)可以刪掉；項(xiàng)取反相乘時(shí)，則這一項(xiàng)可以刪掉；7. A （A B） A ：當(dāng)某個(gè)項(xiàng)取反和包含這一項(xiàng)：當(dāng)某個(gè)項(xiàng)取反和包含這一項(xiàng)的乘積項(xiàng)取反相乘時(shí)，則只保留這個(gè)取反項(xiàng)的乘積項(xiàng)取反相乘時(shí)，則只保留這個(gè)取反項(xiàng)以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以后邏以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以后邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)打好基礎(chǔ)輯函數(shù)的化簡(jiǎn)打好基礎(chǔ)2.4 邏輯代數(shù)的基

24、本定理邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1 代入定理代入定理內(nèi)容：內(nèi)容：任何一個(gè)含有變量任何一個(gè)含有變量A 的等式，如果將所有出現(xiàn)的等式，如果將所有出現(xiàn) A 的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)G來(lái)替換，則等式仍然來(lái)替換，則等式仍然成立。成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式證明：方程的左邊有證明：方程的左邊有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十十D)十十C B(A十十D)十十BCBA十十BD十十BC方程的右邊有方程的右邊有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十十D

25、)十十BCBA十十BD十十BC故故 B(A十十D)十十C B(A十十D)十十BC例例2.4.1 若若B(A十十C)BA十十BC，現(xiàn)將所有出現(xiàn)，現(xiàn)將所有出現(xiàn)A的地的地方都代入函數(shù)方都代入函數(shù)GA十十D，則證明等式仍成立，則證明等式仍成立 證明：設(shè)證明：設(shè)GBCBAAB )(代入公式左右的代入公式左右的B中中)(ABCAG）（左CBACBACBA )()(同理設(shè)同理設(shè)GBC代入式子左右的代入式子左右的B例例2.4.2 試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況。試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況。可得可得CBABCAGA)(右故：故：CBAABC )(可得可得BABA )(內(nèi)容：內(nèi)容：若已知邏

26、輯函數(shù)若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將的邏輯式，則只要將Y式中式中所有的所有的“.”換為換為“+”, “+”換為換為“.”,常量常量“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，所有原變量（不帶非號(hào)）變，所有原變量（不帶非號(hào)）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補(bǔ)函數(shù)）的反函數(shù)（補(bǔ)函數(shù)） Y 。利用摩根定利用摩根定律，可以求一個(gè)邏輯函數(shù)律，可以求一個(gè)邏輯函數(shù) 的反函數(shù)。的反函數(shù)。2. 反演定理反演定理注意：注意：1. 變換中必須保持變換中必須保持先與后或先與后或 的順序；的順序； 2. 對(duì)跨越兩個(gè)或兩個(gè)以上變

27、量的對(duì)跨越兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的“非號(hào)非號(hào)”要保要保留不變；留不變；解：由摩根定理解：由摩根定理DCBDACADCBCCBDACADCCBAY)(或直接求反或直接求反DCBDACADCBCCBDACADCCBADCCBADCCBADCCBAY )()()()()( )()(例例2.4.3 已知已知YA（BC ）C D ，求，求Y 解：由反演定理解：由反演定理 DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBACDCBAY )()()()()(或直接求反得或直接求反得DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBACDCBACDCBAY )()()()(對(duì)偶式：對(duì)偶式：設(shè)設(shè)Y是一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將是

28、一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的中所有的“+”換成與換成與“”， “.”換成與換成與“+” ，“1” 換成與換成與“0”， “0” 換成與換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式輯式 YD 稱為稱為Y的對(duì)偶式。的對(duì)偶式。3.對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則CBAYD)0( CABAYD如：如：)(CBAY) 1)(CABAY)( CBAY)( CBAYD對(duì)偶規(guī)則：對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)Y和和G相等，則其對(duì)偶式相等，則其對(duì)偶式Y(jié)D和和GD也必然相等，也必然相等，Vice versa。利用對(duì)偶式可以證明一些。利用對(duì)偶式可以證明一些常用公式常用公式ACABGACAB

29、CBAYDD)(例例1.1.5 試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明分配律試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立式子成立證明：設(shè)證明：設(shè)Y ABC，G (A+B)(A+C)，則它們的，則它們的對(duì)偶式為對(duì)偶式為DDGY由于由于故故YG，即，即ABC=(A+B)(A+C)證明：設(shè)證明：設(shè)BAGBAAY則它們的對(duì)偶式為則它們的對(duì)偶式為ABABAABAAYD)(由于由于DDGY故故YG，即即BABAA例例1.1.6 試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明吸收律試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明吸收律AA BAB 式子式子成立成立ABGD2.5 邏輯函數(shù)的定義：邏輯函數(shù)的定義：),(21nAAAFY其中：其中：A1, A2 An稱為

30、稱為n個(gè)輸入邏輯變量，取值只能是個(gè)輸入邏輯變量，取值只能是“0” 或是或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或或 是是“1”則則Y稱為稱為n變量的邏輯函數(shù)變量的邏輯函數(shù) 在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即如如 YAB C，表示輸出等于變量，表示輸出等于變量B取反和變量取反和變量C的的與，再和變量與，再和變量A相或。相或。2.5.1 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)一一 、邏輯真值表、邏輯真值表2.5.2邏輯函數(shù)的幾種表示方法邏輯函數(shù)的幾種表示方

31、法 邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下：邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下： 邏輯真值表就是采用一邏輯真值表就是采用一種表格來(lái)表示邏輯函數(shù)的運(yùn)種表格來(lái)表示邏輯函數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，其中輸入部分列出算關(guān)系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能取輸入邏輯變量的所有可能取值得組合，輸出部分根據(jù)邏值得組合，輸出部分根據(jù)邏輯函數(shù)得到相應(yīng)的輸出邏輯輯函數(shù)得到相應(yīng)的輸出邏輯變量值。變量值。 如表如表2.5.1表示的異或邏輯表示的異或邏輯關(guān)系的函數(shù)，即關(guān)系的函數(shù)，即YBA011101110000輸出輸出輸入輸入表表2.5.1YA B AB 按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形式，也是邏輯代按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形

32、式，也是邏輯代數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入輸出變量都是二值的邏輯變量。輸出變量都是二值的邏輯變量。如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成YA B AB 三、三、 邏輯圖法邏輯圖法 采用規(guī)定的圖形符號(hào)，來(lái)構(gòu)采用規(guī)定的圖形符號(hào)，來(lái)構(gòu)成邏輯函數(shù)運(yùn)算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖成邏輯函數(shù)運(yùn)算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形形圖圖2.5.1表示的是異或關(guān)系的邏表示的是異或關(guān)系的邏輯圖輯圖二二 、邏輯函數(shù)式、邏輯函數(shù)式四四 波形圖法波形圖法: 一種表示輸入輸出變量動(dòng)態(tài)變化的圖形，反映了一種表示輸入輸出變量動(dòng)態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時(shí)間變化的規(guī)律，也稱時(shí)序圖。

33、函數(shù)值隨時(shí)間變化的規(guī)律，也稱時(shí)序圖。如圖如圖2.5.2表示異或邏輯關(guān)系的波形。表示異或邏輯關(guān)系的波形。 除上面介紹的四除上面介紹的四種邏輯函數(shù)表示方法種邏輯函數(shù)表示方法外，還有卡諾圖法、外，還有卡諾圖法、點(diǎn)陣圖法及硬件描述點(diǎn)陣圖法及硬件描述語(yǔ)言等。在后面的課語(yǔ)言等。在后面的課程中將重點(diǎn)介紹卡諾程中將重點(diǎn)介紹卡諾圖法。圖法。 在設(shè)計(jì)數(shù)字電路時(shí)，有時(shí)需要進(jìn)行各種表示邏輯在設(shè)計(jì)數(shù)字電路時(shí)，有時(shí)需要進(jìn)行各種表示邏輯函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。1. 真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換 通過(guò)下面的例子得出由通過(guò)下面的例子得出由真值表寫出邏輯函數(shù)的方法真值表寫出邏輯函數(shù)的方法例例2

34、.5.1 某邏輯函數(shù)的真值表某邏輯函數(shù)的真值表如表如表2.5.2所示，寫出邏輯函所示，寫出邏輯函數(shù)式數(shù)式輸入輸入輸出輸出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2輸出輸出Y200010111（1）由真值表寫邏輯函數(shù)式）由真值表寫邏輯函數(shù)式五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換解：邏輯式為解：邏輯式為CBACBACBACBABACABBAABCCBACBACBAY )()()()()(1ABCBAABCBABAABCCABCBABCAY)()(2輸入輸入輸出輸出ABCY10000111100110011010101010110100

35、1表表2.5.2輸出輸出Y200010111總結(jié)：總結(jié)：找出真值表中使邏輯函數(shù)為找出真值表中使邏輯函數(shù)為“1”的輸入變量的組合；的輸入變量的組合；對(duì)應(yīng)每個(gè)輸出為對(duì)應(yīng)每個(gè)輸出為“1”變量組合關(guān)系為與的關(guān)系，即變量組合關(guān)系為與的關(guān)系，即乘積項(xiàng)，其中如圖輸入變量取值為乘積項(xiàng)，其中如圖輸入變量取值為“1 ”的寫成原變量，的寫成原變量，輸入變量取值為輸入變量取值為“0”的寫成反變量，如的寫成反變量，如A B C輸入輸入輸出輸出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2輸出輸出Y200010111將這些乘積項(xiàng)相加，將這些乘積項(xiàng)相加，即得到輸出的邏輯式即得到輸出

36、的邏輯式例例2.5.2 已知真值表如表已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)輯函數(shù)輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010110010110表表2.5.3解：其輸出的邏輯函數(shù)為解：其輸出的邏輯函數(shù)為CABCBABCACBAY 將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得出輸出的值，并以表的形式表示出來(lái)。出輸出的值，并以表的形式表示出來(lái)。例例2.5.3 寫出邏輯函數(shù)寫出邏輯函數(shù)YAB C 的真值表的真值表解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.4所示所示輸入輸入輸出輸出ABCY000011110

37、01100110101010110111110表表2.5.4（2）由邏輯函數(shù)式寫出真值表）由邏輯函數(shù)式寫出真值表（1）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖 用邏輯符號(hào)代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)系，即可得用邏輯符號(hào)代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)系，即可得到所求的邏輯圖到所求的邏輯圖例例2.5.4 畫出邏輯函數(shù)畫出邏輯函數(shù)Y（AB+C ） （ AC ） B 的邏輯電路的邏輯電路解：其實(shí)現(xiàn)電路如解：其實(shí)現(xiàn)電路如圖圖2.5.3所示所示1A AB BC C11Y Y圖2.5.3 例2.5.4的電路圖2.5.3 例2.5.4的電路2.邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換11 1A AB

38、BC CY Y圖2.5.4 例2.5.5的邏輯電路圖2.5.4 例2.5.5的邏輯電路CA（2）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式 已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)系，寫已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)系，寫出整個(gè)邏輯圖的輸入輸出關(guān)系，得出輸出的邏輯函出整個(gè)邏輯圖的輸入輸出關(guān)系，得出輸出的邏輯函數(shù)式數(shù)式例例2.5.5 已知邏輯電路已知邏輯電路如圖如圖2.5.4，試寫出輸出，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式，并寫端的邏輯函數(shù)式，并寫出真值表出真值表ABABC解：輸出的邏輯式為解：輸出的邏輯式為BCCAABY輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010101010

39、011表表2.5.5BCCAABY由邏輯式寫出真值表，如表由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示所示例例2.5.6 設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，當(dāng)三個(gè)輸入設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，當(dāng)三個(gè)輸入A、B、C至少至少有兩個(gè)為低電平時(shí)，該電路輸出為高，試寫出該要求有兩個(gè)為低電平時(shí)，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯表達(dá)式，畫出實(shí)現(xiàn)的邏輯圖的真值表和邏輯表達(dá)式，畫出實(shí)現(xiàn)的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，解：由邏輯要求寫出真值表，如表如表2.5.6所示所示輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010111101000表表2.5.6CBCABABACBABAACBACBACABACBACBAC

40、BACBBACBACBABACBACBACCBACBACBACBACBAY)()()()()(由真值表寫出邏輯式為由真值表寫出邏輯式為輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010111101000表表2.5.6其實(shí)現(xiàn)的邏輯圖如圖其實(shí)現(xiàn)的邏輯圖如圖2.5.5所示所示111A AB BC C1Y Y圖2.5.5 例2.5.6的邏輯電路圖2.5.5 例2.5.6的邏輯電路（1）由波形圖得到真值表）由波形圖得到真值表 根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對(duì)應(yīng)的根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對(duì)應(yīng)的輸出值輸出值例例2.5.7 已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖的輸出波

41、形如圖2.5.6所示，所示，試分析其邏輯功能。試分析其邏輯功能。ABttOOYtO圖2.5.6 例2.5.7的波形圖2.5.6 例2.5.7的波形解：由所給的波形解：由所給的波形寫出輸入輸出的真寫出輸入輸出的真值表，如表值表，如表2.5.7所所示示3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換由真值表可知，當(dāng)輸入變量由真值表可知，當(dāng)輸入變量A、B取值相同時(shí)，輸出取值相同時(shí)，輸出Y1； A、B取值不同時(shí)，輸出取值不同時(shí)，輸出Y0。故輸出和輸入是同。故輸出和輸入是同或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為ABttOOYtO圖2.5.6 例2.5.7的波形圖2.5.6 例2.5.7的波形Y

42、BA111001010100輸出輸出輸入輸入表表2.5.7ABBAY例例2.5.8 已知圖已知圖2.5. 7所示是某個(gè)數(shù)字邏輯電路的輸入輸所示是某個(gè)數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能解解:由波形得出真值表如表由波形得出真值表如表2.5.8所示所示ABCYttttOOOO圖2.5.7 例2.5.8的波形圖2.5.7 例2.5.8的波形輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表寫出輸出的邏輯式由真值表寫出輸出的邏輯式CBACBACBABCCBACBC

43、BAABCCBACBACBAY)()()()(輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表可知，當(dāng)輸出有奇由真值表可知，當(dāng)輸出有奇數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)“1”時(shí)，輸入為時(shí)，輸入為“1”。故此電路為故此電路為“判奇電路判奇電路”，其邏輯圖如圖其邏輯圖如圖2.5.8所示所示=1=1圖2.5.8圖2.5.8ABCY（2）由真值表畫出波形圖）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例例2.5.9 已知邏輯函數(shù)的真值表如表已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫所示，試畫出輸入輸出波形和

44、輸出端的邏輯函數(shù)式。出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖形如圖2.5.9所示所示ABCYttttOOOO圖2.5.9 例2.5.9的波形圖2.5.9 例2.5.9的波形輸出端的邏輯式為輸出端的邏輯式為輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9CBACBACBAY2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)型邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)型 一種輸入輸出的邏輯關(guān)系可以有多種等效的表達(dá)一種輸入輸出的邏輯關(guān)系

45、可以有多種等效的表達(dá)式表示，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其標(biāo)準(zhǔn)型有兩種：式表示，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其標(biāo)準(zhǔn)型有兩種：標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式1.最小項(xiàng)最小項(xiàng)a. 定義定義: 在在n變量的邏輯函數(shù)中變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有設(shè)有n個(gè)變量個(gè)變量A1 An，而而 m 是由所有這是由所有這n個(gè)變量組成的乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）。若個(gè)變量組成的乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）。若m中包含的每一個(gè)變量都以中包含的每一個(gè)變量都以A i 或或A i 的形式出現(xiàn)一次且僅的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱一次，則稱m 是是n變量的最小項(xiàng)。變量的最小項(xiàng)。注：注：n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有2n個(gè)，通常用個(gè)，通常用 mi 表示第

46、表示第i 個(gè)最小項(xiàng)，個(gè)最小項(xiàng)，變量按變量按A1 An排列，以原變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值為排列，以原變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值為“1”，以反變量，以反變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值取出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值取“0”，按二進(jìn)制排列時(shí)，其十進(jìn)制數(shù)即為，按二進(jìn)制排列時(shí)，其十進(jìn)制數(shù)即為i 。一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)表表2.5.10、表、表2.5.11、表、表2.5.12分別為二變量、三變量分別為二變量、三變量和四變量的最小項(xiàng)和四變量的最小項(xiàng)A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCBA)(2mCBA)(3mBCA表2.5.11 三變量表2.5.11 三變量C C0 00 00

47、00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA )(6mCAB )(7mABC十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 34 45 56 67 7A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二變量表2.5.10 二變量十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 3A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mDCBA)(1mDCBA)(2mDCBA)(3mCDBA表2.5.12 四變量表2.5.12 四變量C C0 00 0

48、0 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mDCBA)(5mDCBA)(6mDBCA)(7mBCDAA AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(8mDCBA)(9mDCBA)(10mDCBA)(11mCDBA C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(12mDCAB)(13mDCAB )(14mDABC )(15mABCDD D1 11 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 0D Db. b. 最小項(xiàng)的性質(zhì)最小

49、項(xiàng)的性質(zhì)A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二變量表2.5.10 二變量十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 3對(duì)于任一個(gè)最小項(xiàng)，僅有一組對(duì)于任一個(gè)最小項(xiàng)，僅有一組變量取值使它的值為變量取值使它的值為“1”，而其，而其它取值均使它為它取值均使它為“0”?；蛘哒f(shuō)在?；蛘哒f(shuō)在輸入變量的任何取值必有一個(gè)最輸入變量的任何取值必有一個(gè)最小項(xiàng)也僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為小項(xiàng)也僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為“1”。n變量組成的全體最小項(xiàng)之邏變量組成的全體最小項(xiàng)之邏輯和為輯和為“1”。即。即1120niim2.最大項(xiàng)最大項(xiàng)a.

50、定義定義：在在n變量的邏輯函數(shù)中，變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有設(shè)有n 個(gè)變量個(gè)變量A1 An，而，而M是由所有這是由所有這n個(gè)變量組成的和項(xiàng)（或項(xiàng)）。個(gè)變量組成的和項(xiàng)（或項(xiàng)）。若若M中包含的每一個(gè)變量都以中包含的每一個(gè)變量都以Ai或或A i 的形式出現(xiàn)一的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則次且僅一次，則M是是n變量的最大項(xiàng)。變量的最大項(xiàng)。 n個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)也有個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)也有2n個(gè)，通常用個(gè)，通常用Mi表示表示第第i個(gè)最大項(xiàng)，變量按個(gè)最大項(xiàng)，變量按A1 An排列，以原變量出現(xiàn)時(shí)排列，以原變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值為對(duì)應(yīng)的值為“0”，以反變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值取，以反變量出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值取“1”，按二進(jìn)制排列時(shí)，其

51、十進(jìn)制數(shù)即為按二進(jìn)制排列時(shí)，其十進(jìn)制數(shù)即為i 。A AB BM M i0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0MCBA)(1MCBA)(2MCBA)(3MCBA表2.5.14 三變量表2.5.14 三變量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4MCBA)(5MCBA)(6MCBA)(7MCBA十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 34 45 56 67 7表表2.5.13、表、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項(xiàng)，四分別為二變量、三變量的最大項(xiàng)，四變量最大項(xiàng)課下自己寫出變量最大項(xiàng)課下自己寫出A A B BM

52、 Mi0 0 0 00 0 1 10 01 11 1 1 1)(0MBA)(1MBA)(2MBA )(3MBA表2.5.13 二變量表2.5.13 二變量十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 3b. 最大項(xiàng)的性質(zhì)最大項(xiàng)的性質(zhì)A A B BM Mi0 0 0 00 0 1 10 01 11 1 1 1)(0MBA)(1MBA)(2MBA )(3MBA表2.5.13 二變量表2.5.13 二變量十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)0 01 12 23 3對(duì)于任一個(gè)最大項(xiàng)，僅有一對(duì)于任一個(gè)最大項(xiàng)，僅有一組變量取值使它的值為組變量取值使它的值為“0”，而其它取值均使它為而其它取值均使它為“1”?；颉；蛘哒f(shuō)在輸入變量的任何

53、取值必者說(shuō)在輸入變量的任何取值必有一個(gè)最大項(xiàng)也僅有一個(gè)最大有一個(gè)最大項(xiàng)也僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為項(xiàng)的值為“0”。n變量組成的全體最大項(xiàng)之邏變量組成的全體最大項(xiàng)之邏輯積為輯積為“0”。即。即0120niiM二、二、 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式型最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)型邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式型最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)型如如ABBAmmBAY30),(CABCBABCACBACBAmmmmmCBAY65310),(DCABDCBABCDACDBADCBADCBAmmmmmmDCBAY13107310),(與或型特點(diǎn)：與或型特點(diǎn)：1.式子為乘積和的形式；式子為乘積和的形式； 2.不一定包含所有的最小項(xiàng)，但每一不一定包含所有的最小項(xiàng)

54、，但每一 項(xiàng)必須為最小項(xiàng)項(xiàng)必須為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)與或式的寫法：標(biāo)準(zhǔn)與或式的寫法： 在在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項(xiàng)由于缺少變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項(xiàng)由于缺少一個(gè)變量不是最小項(xiàng)，則在這項(xiàng)中添加此變量與這個(gè)一個(gè)變量不是最小項(xiàng)，則在這項(xiàng)中添加此變量與這個(gè)變量的反變量之和這一項(xiàng)，使之稱為最小項(xiàng)，即利用變量的反變量之和這一項(xiàng)，使之稱為最小項(xiàng)，即利用公式公式AA 1例例2.5.10 將邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)YAB C寫成標(biāo)準(zhǔn)與或式寫成標(biāo)準(zhǔn)與或式解：解：)7 , 6 , 5 , 4 , 1 ()()(17654mmmmmmCBACBAABCCABCBACBACBAACCBBACBAY注意：變量的排列順序。注意

55、：變量的排列順序。三、三、 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式型最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)型邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式型最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)型如如)(),(31BABAMMBAY)()()()(),(75420CBACBACBACBACBAMMMMMCBAF與或型特點(diǎn)：與或型特點(diǎn)：1.式子為和積的形式；式子為和積的形式； 2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大 項(xiàng)，項(xiàng)， 但每一項(xiàng)必須為最大項(xiàng)但每一項(xiàng)必須為最大項(xiàng)例例2.5.11 將邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)YAC B C寫成或與式寫成或與式解：解：)6 , 4 , 3 , 2 , 0()()()()()()()()()()()()()(40632632632MMMMM

56、MBCABCABCABCAMMMBBCABBCAMMMACACACBACBCBACBAAACAACBCCBACCBBACACBACCBACY 在在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項(xiàng)由于缺少一個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項(xiàng)由于缺少一個(gè)變量不是最大項(xiàng)，則在這項(xiàng)中加上此變量與這個(gè)變量的變量不是最大項(xiàng)，則在這項(xiàng)中加上此變量與這個(gè)變量的反變量之積這一項(xiàng)，即利用公式反變量之積這一項(xiàng)，即利用公式AA 0，然后利用公然后利用公式式ABC（AB）（）（AC）使之稱為最大項(xiàng)）使之稱為最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：設(shè)有三變量設(shè)有三變量A、B、C的最小項(xiàng)，如的最小項(xiàng)，如m5 AB C，對(duì)其，對(duì)其求反得求反得C

57、BAm555)(MCBACBAm由此可知對(duì)于由此可知對(duì)于n 變量中任意一對(duì)最小項(xiàng)變量中任意一對(duì)最小項(xiàng) mi 和最大項(xiàng)和最大項(xiàng)Mi ，都是互補(bǔ)的，即都是互補(bǔ)的，即iiiimMMm或四、四、 最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系imY若某函數(shù)寫成最小項(xiàng)之和的形式為若某函數(shù)寫成最小項(xiàng)之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為則此函數(shù)的反函數(shù)必為)(ikmYk如表如表2.5.15中中)7 , 6 , 3(763immmmY)5 , 4 , 2 , 1 , 0(54210kmmmmmmYA AB B0 00 00 01 10 01 11 11 1表2.5.15 邏輯函數(shù)Y的真值表表2.5.15 邏輯函數(shù)Y的真

58、值表C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 0Y Y五、標(biāo)準(zhǔn)與或式和或與式之間的關(guān)系五、標(biāo)準(zhǔn)與或式和或與式之間的關(guān)系5421054210)(mmmmmmmmmmY 利用反演定理可得利用反演定理可得ikkikkkMmikmY)()5 , 4 , 2 , 1 , 0(54210kmmmmmmY上式或?qū)懗缮鲜交驅(qū)懗闪⑦壿嫼瘮?shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：六、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式： 有時(shí)需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：有時(shí)需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：與或式（最小項(xiàng)之和）和或與式（最大項(xiàng)之積

59、）。實(shí)與或式（最小項(xiàng)之和）和或與式（最大項(xiàng)之積）。實(shí)現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項(xiàng)、真值表、卡諾現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項(xiàng)、真值表、卡諾圖等實(shí)現(xiàn)，這里介紹利用添項(xiàng)和真值表將邏輯函數(shù)變圖等實(shí)現(xiàn)，這里介紹利用添項(xiàng)和真值表將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準(zhǔn)型。換成標(biāo)準(zhǔn)型。1.利用真值表利用真值表 首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。項(xiàng)和最大項(xiàng)。：由真值表確定邏輯函數(shù)為：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項(xiàng)的項(xiàng)作為函數(shù)的最小項(xiàng)作為函數(shù)的最小項(xiàng)(乘積項(xiàng)）。若輸入變量取乘積項(xiàng)）。若輸入變量取“1”，則，則寫成原變量；若輸入變量取值為寫成原變量；若輸入變量取

60、值為“0”，則寫成反變量。，則寫成反變量。不同的輸出不同的輸出“1”為和的關(guān)系。為和的關(guān)系。：由真值表確定邏輯函數(shù)為由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項(xiàng)作的項(xiàng)作為函數(shù)的最大項(xiàng)（和項(xiàng)）。若輸入變量取為函數(shù)的最大項(xiàng)（和項(xiàng)）。若輸入變量取“1”，則寫成，則寫成反變量；若輸入變量取值為反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同，則寫成原變量。不同的輸出的輸出“0”為積的關(guān)系。為積的關(guān)系。CBCAABCBAY),(例例2.5.12 試將下列函數(shù)利用真值試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式A AB B0 00 00 01 10 01 11 11 1表表2.5.16 例例2.5.