《函數(shù)的概念》教學(xué)案例設(shè)計(jì)

1、創(chuàng)設(shè)問題情境 構(gòu)建問題探究函數(shù)的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)江蘇省淮陰中學(xué) 蔣行彪一. 設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)是本章的核心概念,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念。高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)。函數(shù)的思想方法將貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，但也比較抽象難懂，所以本節(jié)課從具體問題入手，以問題為背景，按照“問題情景-教學(xué)活動(dòng)-意義建構(gòu)-數(shù)學(xué)理論-數(shù)學(xué)應(yīng)用-回顧反思”的順序結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、抽象、概括，數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題，在問題引入時(shí)以生活中的實(shí)例為背景，引出描述兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的必要性，上承集合，下引函數(shù)。三個(gè)問題的描述方法各不相同，與函數(shù)的三種表示方法相對(duì)應(yīng)

2、。通過背景設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生在集合的基礎(chǔ)上研究?jī)蓚€(gè)變量之間關(guān)系的欲望和興趣。而例題的設(shè)計(jì)也從函數(shù)三種表示方法以及函數(shù)的三要素的應(yīng)用去理解函數(shù)概念。二學(xué)習(xí)目標(biāo)：1知識(shí)與技能 通過本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們將感悟函數(shù)概念的產(chǎn)生背景和產(chǎn)生過程，從而激發(fā)我們探索問題的興趣，掌握函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。2過程與方法 本節(jié)內(nèi)容通過三個(gè)具體問題的分析，在體會(huì)兩個(gè)變量相互依賴的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)我們用集合的語言刻畫函數(shù)概念，然后通過具體例題，思考、探究、練習(xí)中的問題，從三個(gè)層次理解函數(shù)的概念：函數(shù)定義 ，函數(shù)符號(hào)，函數(shù)三要素。3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，將培養(yǎng)我們觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的探究能力，進(jìn)一步培

3、養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三重難解讀重點(diǎn)：1.對(duì)函數(shù)概念的理解2.函數(shù)符號(hào)y=f(x) 的含義難點(diǎn)：理解函數(shù)的三個(gè)要素四學(xué)法指導(dǎo)函數(shù)的概念及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)較為抽象，難以理解，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下問題：1類比生活中的單值對(duì)應(yīng)與數(shù)學(xué)中的函數(shù)的聯(lián)系，找到它們對(duì)應(yīng)的共同點(diǎn)。2學(xué)習(xí)時(shí)，注意函數(shù)的思想在數(shù)學(xué)中的廣泛的滲透性。3高考對(duì)于定義域，值域往往是通過函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)應(yīng)用來考查的，具有隱蔽性，所以在研究函數(shù)問題時(shí)，要樹立“定義域優(yōu)先”的觀點(diǎn)。五教學(xué)內(nèi)容問題引入：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可能會(huì)遇到下列問題：（1）估計(jì)人口數(shù)量變化趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù)。從人口統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得我國(guó)從1949年至1999年人口數(shù)

4、據(jù)資料如表2-1-1所示，你能根據(jù)這個(gè)表說出我國(guó)人口的變化情況嗎？ 表2-1-1 1949 - 1999 年我國(guó)人口數(shù)據(jù)表年 份19491954195919641969197419791984198919941999人口數(shù)/百萬5426036727058079099751035110711771246（2）一物體從靜止開始下落，下落的距離y(m)與下落時(shí)間x(s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2。若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？（3）圖2-1-1為某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖。（1）上午6時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？（2）在什么時(shí)刻，氣溫為0oC？（3）在什么

5、時(shí)段內(nèi)，氣溫在0oC以上？探究問題一:什么是函數(shù)?函數(shù)的要素有哪些?如何理解函數(shù)的要素? 根據(jù)引例回答下列問題:1.請(qǐng)同學(xué)們回憶初中函數(shù)的定義內(nèi)容?2.如何用集合語言來闡述上述三個(gè)問題的共同特點(diǎn)?答: 1.在某一變化過程中，對(duì)于兩個(gè)變量x、y，在一定范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的x的值都有唯一的一個(gè)y的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量。答：2. a、每一個(gè)問題均渉及兩個(gè)非空的數(shù)集A、B。b、存在某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于A中任意的x，B中總有唯一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)。問題1：函數(shù)的有關(guān)概念?1.定義:一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B

6、中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù) 記作：y=f(x),xA2.定義域:所有自變量x的值組成的集合A3.值 域:所有因變量y的值組成的集合(或者所有函數(shù)值組成的集合)問題2：函數(shù)概念的理解?例1. 觀察下列幾組從A到B的對(duì)應(yīng),指出哪些對(duì)應(yīng)是函數(shù)?哪些不是?是函數(shù)的指出其定義域與值域。（1）（2）（4）（3）（5）解：(1)是 滿足函數(shù)的定義,定義域?yàn)?值域?yàn)?(2)是 滿足函數(shù)的定義, 定義域?yàn)?值域?yàn)?(3)不是 4有兩個(gè)元素b、c與之對(duì)應(yīng)(4)不是 4沒有元素與之對(duì)應(yīng)(5)是 滿足函數(shù)的定義, 定義域?yàn)?值域?yàn)?例2 判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù):(1) x (2) x

7、 y,其中y2=x,(3) x y,其中(4) 已知集合A=R,B=-1,1,對(duì)應(yīng)法則f: 當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),f(x)=-1;當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),f(x)=1,對(duì)應(yīng) f: A B分析：(1) 是 滿足函數(shù)的定義(2) 不是 因?yàn)椴皇侨我獾淖宰兞康娜≈刀际怯形ㄒ坏膽?yīng)變量的值與之對(duì)應(yīng)，如當(dāng)x=l時(shí)則有y=1或y=-1與之對(duì)應(yīng)。(3) 不是 因?yàn)樽宰兞康娜≈导蠟榭占?4) 是 滿足函數(shù)的定義，x為有理數(shù)時(shí)都唯一對(duì)應(yīng)-1，x為無理數(shù)時(shí)都唯一對(duì)應(yīng)1。例3 在下列圖象中，請(qǐng)指出哪一個(gè)是函數(shù)圖象，哪一個(gè)不是，并說明理由（2）（1）（4）（3） 解：(1) 不是 不是任意的一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，如x=0時(shí)

8、有y=1或y=-1與之時(shí)對(duì)應(yīng)。(2) 是 滿足函數(shù)的定義 ，因?yàn)槿我獾囊粋€(gè)x都有唯一的y=1與之對(duì)應(yīng)。(3) 不是 不是任意的一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng) 。如x=0時(shí)有y=1或y=-1與之時(shí)對(duì)應(yīng)。(4) 不是 不是任意的一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)。 探究小結(jié)1:(1) 函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞是什么?(2) A、B非空數(shù)集 任意的xA，存在唯一的yB與之對(duì)應(yīng)(2) 函數(shù)的三要素是什么？定義域?qū)?yīng)法則值域探究問題2：兩個(gè)函數(shù)相同需滿足的條件是什么？例4、下列兩個(gè)函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)(1)f()=,g(t)=(2) (3) (4) ， ，解：(1)是 因?yàn)?|t| 與f(x)=|x|定義域、對(duì)應(yīng)法則、

9、值域均相同，只是自變量的字母不同而已。(2)不是 因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?而g(x)定義域?yàn)镽。(3)是 因?yàn)閒(x)=x與g(x)=x定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域均相同。(4)不是 因?yàn)樗鼈兊膶?duì)應(yīng)法則不同。 問題3:(1)兩函數(shù)定義域相同、值域相同，這兩函數(shù)相同嗎?(2)兩函數(shù)定義域相同、對(duì)應(yīng)法則相同，這兩函數(shù)相同嗎?(3)兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同、值域相同，這兩函數(shù)相同嗎?探究小結(jié)2:兩個(gè)函數(shù)相同的條件是:兩函數(shù)的三要素相同或者兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同本課總結(jié)： 知識(shí)內(nèi)容:(1)函數(shù)的定義 (2)函數(shù)的三要素 (3)兩函數(shù)相同的條件思想方法:(1)數(shù)形結(jié)合思想 (2)利用舉反例來證明命題是錯(cuò)誤的方

10、法探究方式:(1)從特殊到一般逐步探索，從而解決新問題(2)從己有知識(shí)中利用對(duì)比、遷移的方式來解決新問題六.教后反思為了使學(xué)生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，豐富函數(shù)的感性認(rèn)識(shí)，獲得認(rèn)識(shí)客觀世界的體驗(yàn)，本課采用“突出主題，螺旋上升，反復(fù)應(yīng)用”的方式，以實(shí)際問題為主線，在不同的場(chǎng)合考察問題的不同側(cè)面，由淺入深。本課在教學(xué)時(shí)采用問題探究式的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，逐層深入，這樣使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解也逐層深入，從而準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念。函數(shù)引入中的三個(gè)問題,既與初中時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容相聯(lián)系,又蘊(yùn)含了函數(shù)的三種表示方法-列表法、解析法、圖象法，這樣起到了承上啟下的作用。這三個(gè)實(shí)際問題背景，既是函數(shù)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，又突出了函數(shù)的本質(zhì)，為從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究函數(shù)打下了基礎(chǔ)。同時(shí)前三個(gè)例題也是這么設(shè)計(jì)的。在培養(yǎng)學(xué)生的能力上，本課也進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)，通過探究、思考，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力、觀