經(jīng)典奧數(shù)時鐘問題

1、時鐘問題解法與算法公式時鐘問題的關(guān)鍵點：時針每小時走30度分針每分鐘走6度分針走一分鐘(轉(zhuǎn)6度)時，時針走05度，分針與時針的速度差為55度。請看例題：【例題1】從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機(jī)會有：A.1次B.2次C.3次D.4次【解析】時針與分針成直角，即時針與分針的角度差為90度或者為270度，理論上講應(yīng)為2次，還要驗證：根據(jù)角度差/速度差=分鐘數(shù)，可得90/5.5=16又4/11V60,表示經(jīng)過16又4/11分鐘，時針與分針第一次垂直；同理，270/5.5=49又1/11V60,表示經(jīng)過49又1/11分鐘，時針與分針第二次垂直。經(jīng)驗證，選B可以。【例題2】在某時刻,某鐘表時

2、針在10點到11點之間,此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上,則此時刻為A10點15分B10點19分C10點20分D10點25分【解法1】時針1011點之間的刻度應(yīng)和分針2025分鐘的刻度相對,所以要想時針與分針成一條直線,則分針必在這一范圍,而選項中加上6分鐘后在這一范圍的只有10點15分,所以答案為A。【解法2】常規(guī)方法設(shè)此時刻為X分鐘。則6分鐘后分針轉(zhuǎn)的角度為6(X+6)度，則此時刻3分鐘前的時針轉(zhuǎn)的角度為0.5(X+3)度，以0點為起始來算此時時針的角度為0.5(X3)+10X30度。所謂“時針與分針成一條直線”即0.5(X3)+10X306(X+6

3、)=180度，解得X=15分鐘。著名數(shù)學(xué)難題：時鐘的時針和分針由時鐘的時針與分針的特殊關(guān)系,產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題,下面介紹幾例,并研究它們的解法。例1在鐘表正常走動的時候,有多少個時針和分針重合的位置？它們分別表示什么時刻？解：鐘表上把一個圓分成了60等分,假如時針從12點開始走過了x個刻度,那么分針就要走過12x個刻度,即分針走了12x分鐘。兩針在12點重合后,當(dāng)分針比時針多走60個刻度時,出現(xiàn)第一次分針和時針重合；當(dāng)分針又比時針多走60個刻度時,出現(xiàn)第二次分針和時針重合；直至回到12點兩針又重合后，又開始重復(fù)出現(xiàn)以上情況。用數(shù)學(xué)式子來表示,即為：12xx=60m，其中m=1,2,.度為

4、1小時,對分針來說1個刻度就是1分鐘。所以,12點以后出現(xiàn)第出現(xiàn)第四、五、六、七、八、九、十次重合的時間不難算出，它們?nèi)绻胢=11代入，解得x=60,出現(xiàn)第十一次重合的時間是12點，這樣就回到了開始的時刻，可見，以上共有11次出現(xiàn)兩針重合的時間。例2已知：掛鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間每小時慢2分鐘；臺鐘比掛鐘每小時快2分鐘，鬧鐘比臺鐘每小時慢2分鐘，手表比鬧鐘每小時要快2分鐘。試問：手表走時是否標(biāo)準(zhǔn)，若不標(biāo)準(zhǔn)時，判斷是快還是慢，快多少或慢多少？為什么？解：(1)標(biāo)準(zhǔn)時間走60分鐘時，掛鐘時間走58分。62分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(2) 因為臺鐘比掛鐘每小時快2分鐘，所以掛鐘走60分鐘時，臺鐘走間走60分時，即掛鐘

5、走58分，臺鐘走x1分鐘，則60分鐘時，鬧鐘走58分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時60分鐘時，手表走62分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(3) 因為鬧鐘比臺鐘每小時慢2分鐘，所以臺鐘走間走60分，臺鐘走x1分時，鬧鐘走x2分，則(4) 因為手表比鬧鐘每小時快2分鐘，所以鬧鐘走間走60分時，鬧鐘走x2分，手表走x3分，則答：手表走時不準(zhǔn)，走慢了，每小時慢0.133分，即大約慢8秒。例3一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需多少分鐘？解：設(shè)在鐘盤面上時針轉(zhuǎn)過x格后，它與分針重疊，這時分針轉(zhuǎn)動了(45+x)分，由于分針轉(zhuǎn)動的速度是時針的12倍，所以有方程例4時鐘的分針和時針在24小時中，形成過多少次直角？解：因為時針1小時轉(zhuǎn)動30&

6、#176;，所以1分鐘轉(zhuǎn)動0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動6°設(shè)x分鐘后，時針與分針成直角，則有方程x(6°0.5°)=90°針24小時會有多少次差90°的倍數(shù)呢？設(shè)有n次，則由此解得n=88在這88次中，時針與分針?biāo)山嵌确謩e為90°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此總共有44次直角。(注：我們用兩針重合的方法也可算出同樣的結(jié)果。)例5時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘后，可以成為一條直線？直線上。也可這樣解：設(shè)經(jīng)x分鐘后兩針在一直線上

7、，這時分針轉(zhuǎn)動了x分的刻度，而時例6在早上不到6點時，某人看了一下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時針很接近，還差3分鐘就重合了，問此時是什么時間？解：設(shè)此時是5時x分，在手表面上，因為分針1分鐘轉(zhuǎn)動6°，時針1小時轉(zhuǎn)動30°，則1分鐘轉(zhuǎn)動0.5°，時針從0點到5點x分轉(zhuǎn)動了(150+0.5x)度，分針從0分到x分轉(zhuǎn)動了6x度。因為此時分針還差3分鐘與時針重合，即還差3X6°=18。，所以有方程150+0.5x6x=18解之，得x=24所以，此時為5時24分。下面是關(guān)于時鐘的一個更精彩的算題。我們知道愛因斯坦是一位偉大的物理學(xué)家，他是相對論的奠基人，他的科學(xué)成就使人類跨

8、越了一個時空。有一次愛因斯坦臥病在床，他的一位朋友來探望他，為解除他的煩悶，他的朋友出了一個問題讓他思考。設(shè)想鐘表的位置在12點整，這時把長短針對調(diào)一下，它們的位置還是合理的。但是，在6點整時，如果把長短針對調(diào)，就成了一個笑話，因為這時短針正指在12，而長針正指在6，這種情況不可能發(fā)生。那么，鐘表的長短針在什么位置，它們對調(diào)后能使得在新的位置上所指的仍是實際上可能的時間？愛因斯坦悠然地對他朋友說，這個問題對病床上的人確是一個很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多時間。說著他坐起身來，在紙上畫了一個草圖，然后寫出了問題的解答，所花的時間比你們聽這個故事的時間還短。問題是怎樣解決的呢？第一類情況，當(dāng)時

9、針與分針重合時，它們可以對調(diào)。這種情況在例1中已經(jīng)解決，總共在鐘面上有11個位置。除此以外還有沒有其他可能呢？設(shè)時鐘走了x個刻度，分針走了y個刻度，仿照例1有方程當(dāng)兩針對調(diào)后，就變成時針走了y個刻度，分針走了x個刻度。如果設(shè)分針已在此之前走了n圈，又可得方程把m，n看成已知數(shù)解這個方程組，得由Owx,yw60,m,n為正整數(shù)，可知m,n只能取從0到11,總共有144組解。其中當(dāng)m=0,n=0與m=11，n=11時，兩針都是在12這個位置，當(dāng)m=n時，就是第一類情況中的11個重合的位置。當(dāng)m豐n時，可求出其余的兩針不重合時的另外的132個位置。對一個臥病之人,愛因斯坦的思維仍這樣敏捷,不禁使后人

10、為這位巨匠的天賦而驚嘆。行測試題精選解答：時鐘問題常見種類與解法1 、二點到三點鐘之間,分針與時針什么時候重合？分析：兩點鐘的時候，分針指向12,時針指向2,分針在時針后5X2=10（小格）。而分針每分鐘可追及1-=（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應(yīng)為（10*）分鐘。解：（5X2）-（1）=10-=10（分）答：2點10分時,兩針重合。2、在4點鐘至5點鐘之間,分針和時針在什么時候在同一條直線上？分析：分針與時針成一條直線時,兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候,分針指向12,時針指向4,分針在時針后5X4=20（小格）。因分針比時針?biāo)俣瓤?，要成直線，分針必須追上時針

11、（20小格）并超過時針（30小格）后,才能成一條直線。因此,需追及（2030）小格。解：（5X4+30）-（1）=50-=54（分）答：在4點54分時,分針和時針在同一條直線上。3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構(gòu)成直角？分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點時分針在時針后5X1=5小格，在成直角，分針必須追及并超過時針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5X1+15）小格或追及（5X1+45）小格。解：（5X1+15）+（1）=20+=21（分）或（5X1+45）+（1）=50+=54（分）答：在1點21分和1點54分時，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，

12、看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上。看完書之后，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上。看書期間，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點結(jié)束的？分析：連半點敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針：第一次成一條直線時刻是：（0+30）+（1）=30+=32（分）即12點32分。第二次成一條直線時刻是：（5X1+30）+（1）=35+=38（分）即1點38分。第三次成一條直線的時刻是：（5X2+30）+（1）=40+=43（分）即2點43分。如果從12點32分開始，到

13、1點38分，只敲2下，到2點43分，就共敲5下（不合題意）如果從1點38分開始到2點43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點38分開始看書，到2點43分時結(jié)束的。5、一只掛鐘，每小時慢5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)時間中午12點時，把鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間對準(zhǔn)?，F(xiàn)在是標(biāo)準(zhǔn)時間下午5點30分，問，再經(jīng)過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？分析：1、這鐘每小時慢5分鐘，也就是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)鐘走60分時，這掛鐘只能走605=55（分），即速度是標(biāo)準(zhǔn)鐘速度的=2、因每小時慢5分，標(biāo)準(zhǔn)鐘從中午12點走到下午5點30分時，此掛鐘共慢了5X（1712）=27（分），也就是此掛鐘要差27分才到5點30分。3、此掛鐘走到5點30分，按標(biāo)準(zhǔn)時間還要走2

14、7分，因它的速度是標(biāo)準(zhǔn)時鐘速度的，實際走完這27分所要時間應(yīng)是27+。解：5X（1712）=27（分）27+=30（分）答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點30分。解題關(guān)鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊?，分針每小時可追及。例1：從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線?5時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間隔為25個小格（表面上每個數(shù)字之間為5個小格），如果要成直線，則分針要超過時針30個小格，所以在此時間

15、段內(nèi)，分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時針與分針第一次成了直線。例2：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合30個小格。如果要第30個小格，此段時間為40個小格。如果要兩6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30/(11/12)=360/11分鐘。例3：在8時多少分，時針與分針垂直?8時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為者垂直，有兩種情況，一個是第一次垂直，此時兩者間隔為15個小格(分針落

16、后時針)，也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為25/(11/12)=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時兩者間隔仍為15個小格(但分針超過時針)，也就是分針比時針多走了55個小格，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，時間變?yōu)?時，超過了題意的8時多少分要求，所以在8時300/11分時，分針與時針垂直。由上面三個例題可以看出，求解此類問題(經(jīng)過多少時間，分針與時間成多少夾角)時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關(guān)鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格，而不論兩者分別走了多少個小格。下面再通過幾個例題來

17、介紹這種方法的用法和要點。時鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠嫊r工具。生活中也時常會遇到與時鐘相關(guān)的問題。關(guān)于時鐘的問題有：求某一時刻時針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。要解答時鐘問題就要了解、熟悉時針和分針的運(yùn)動規(guī)律和特點。一個鐘表一圈有60個小格，這里計算就以小格為單位。1分鐘時間，分針走1個小格，時針指走了1/60*5=1/12個小格，所以每分鐘分針比時針多走11/12個小格，以此作為后續(xù)計算的基礎(chǔ)，對于解決類似經(jīng)過多長時間時針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。例4：從9點整開始，經(jīng)過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線?9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方

18、，兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走15個小格，此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘。例5：一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘?9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/(11/12)=540/11分鐘。例6：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線?時針和分針重合，也就是兩者間隔為0個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走3

19、0個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘?！踞槍π跃毩?xí)】1. 十點與11點之間，兩針在什么時刻成直線(不包括重合情況)？()A.10時21分B.10時22分C.10時21D.10時21分2 現(xiàn)在是下午3點，從現(xiàn)在起時針和分針什么時候第一次重合？3。分針和時針每隔多少時間重合一次？一個鐘面上分針和時針一晝夜重合幾次？4。鐘面上5點零8分時，時針與分針的夾角是多少度？5。在4點與5點之間，時針與分針什么時候成直角？6.9點過多少分時，時針和分針離“9”的距離相等，并且在“9”的兩邊？【參考答案詳解】1. 答案A滿足.分針：6度/分時針0.5度/分，十點時，兩針夾角為60度，設(shè)需要

20、時間為x分，則如圖有60-0.5x=180-6x，x=分，即10時分兩針成直線。答案A滿足。2. 現(xiàn)在是下午3點，從現(xiàn)在起時針和分針什么時候第一次重合？解析：分針：6度/分時針0.5度/分3 點整，時針在分針前面15格，所以第一次重合時，分針應(yīng)該比時針多走15格，即90度，用追及問題的處理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分鐘，所以下午3點16分鐘，時針和分針第一次重合。3. 分針和時針每隔多少時間重合一次？一個鐘面上分針和時針一晝夜重合幾次？解析：分針：6度/分時針0.5度/分當(dāng)兩針第一次重合到第二次重合，分針比時針多轉(zhuǎn)360度。所以兩針再次重合需要的時間為：360/(6-0.5)=7

21、20/11分，一晝夜有：24X60=1440分，所以兩針在一晝夜重合的次數(shù)：1440分/(720/11)分/次=22次4. 鐘面上5點零8分時，時針與分針的夾角是多少度？解析：分針：6度/分時針0.5度/分5點零8分，時針成角：5X30+8X0.5=154度，分針成角：8X6=48度，所以夾角是154-48=106度。5在4點與5點之間，時針與分針什么時候成直角？解析：整4點時，分針指向12，時針指向4。此時，時針領(lǐng)先分針20格。時，分兩針成直角，必須使時針領(lǐng)先分針15格，或分針領(lǐng)先時針15格。因此，在相同時間內(nèi)，分針將比時針多走(20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/1

22、2)=60/11,即4點5分，(20+15)/(1-1/12)=38分，即4點38分。6. 9點過多少分時，時針和分針離“9”的距離相等，并且在“9”的兩邊？解析：設(shè)經(jīng)過X分，0.5XX=270-6XX,解得X=540/13分，所以答案是9點過41分。行測數(shù)學(xué)運(yùn)算：時鐘問題作者:公務(wù)員考試網(wǎng)時間:2010-01-08|公務(wù)員考試論壇|來源:中國公務(wù)員考試信息網(wǎng)行測數(shù)學(xué)運(yùn)算：時鐘問題基本知識點：1.設(shè)時鐘一圈分成了12格，則時針每小時轉(zhuǎn)1格，分針每小時轉(zhuǎn)12格。2. 時針一晝夜(24小時)轉(zhuǎn)2圈，分針一晝夜轉(zhuǎn)24圈。3. 鐘面上每兩格之間為30°，時針與分針成某個角度一般都有對稱的兩種

23、情況。4. 時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。【例1】清晨5點時，時鐘的時針和分針的夾角是多少度？()A.30度B.60度C.90度D.150度答案D解析清晨5點時，時針和分針相差5格，貝U5X30°=150°。【例2】中午12點整時，鐘面上時針與分針完全重合。那么到當(dāng)晚12點時，時針與分針還要重合了多少次？()A.10B.11C.12D.13答案B解一從中午12點到晚上12點，時針走了1圈，分針走了12圈，比時針多走了11圈。因此，時針與分針重合了11次。選擇B。解二根據(jù)基本知識點：由于時針和分針24小時內(nèi)重合22次，所以12小時內(nèi)重

24、合11次?！纠?】小李開了一個多小時會議，會議開始時看了手表，會議結(jié)束時又看了手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針恰好互換了位置。問這次會議大約開了1小時多少分？（）#中國公務(wù)員考試信息網(wǎng)A.51B.47C.45D.43答案A解析根據(jù)題意，會議開了1個多小時，那么分針應(yīng)該轉(zhuǎn)了1圈多不到2圈，時針轉(zhuǎn)了1格多不到2格。由于“時針和分針恰好互換了位置”，所以時針和分針?biāo)D(zhuǎn)角度之和應(yīng)該是整整兩圈。假設(shè)這個過程經(jīng)過了T小時，時針12小時轉(zhuǎn)一圈，那么T小時應(yīng)該轉(zhuǎn)了T/12圈；分針1小時轉(zhuǎn)一圈，T小時應(yīng)該轉(zhuǎn)了T圈，那么T+T/12=2，得到T=24/13小時，約合1小時51分。【例4】某時刻鐘表時針在10點到11點之間，此

25、時刻再過6分鐘后分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，則此時刻為幾點幾分？（）A.10點15分B.10點19分C.10點20分D.10點25分答案A解析代入B、C、D，很明顯，這三個時刻的3分鐘之前都還是10點多，因此時針在鐘面上的“10”與“11”之間，而這三個時刻6分鐘之后已經(jīng)至少是25分了，即分針已經(jīng)在鐘面上的“5”上或者之后了。我們知道，鐘面上的“10”與“11”之間反過來對應(yīng)的是“4”與“5”之間，所以這三個選項對應(yīng)的時間與條件不符，所以選擇A。核心提示鐘面問題很多本質(zhì)上是追及問題，可選用公式T=T0+111T0，其中：T為追及時間，即分針和時針要“達(dá)到條件要求”的真

26、實時間。T0為靜態(tài)時間，即假設(shè)時針不動，分針和時針“達(dá)到條件要求”的時間。例5從鐘表的12點整開始，時針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時間是（）。A.43分鐘B.45分鐘C.49分鐘D.61分鐘答案C解析從12點整往后，時針與分針第一次垂直到再一次重疊的靜態(tài)時間T0=45（分鐘），根據(jù)公式，其間隔時間T=T0+T0/11疋49（分鐘）。【例6】（國家2006一類-45、國家2006二類-45）從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機(jī)會有多少次?（）A.1次B.2次C.3次D.4次答案B解一從12時到13時，時針旋轉(zhuǎn)了30°；分針旋轉(zhuǎn)了360°。分針與時針?biāo)傻?/p>

27、角度從0°變化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的機(jī)會。選擇B。解二根據(jù)公式：從12點開始算，時針與分針成直角的“靜態(tài)時間”為15分鐘或45分鐘，追及時間為15+1511=16411、45+4511=49111分鐘，所以垂直兩次。【例7】（廣東2008年）時針與分針在5點多少分第一次垂直？（）A.5點10分B.5點101011分C.5點11分D.5點12分答案B解析根據(jù)公式：時針與分針5點后第一次成直角的“靜態(tài)時間”為10分鐘，追及時間為10+1011=101011分鐘，所以選擇B。強(qiáng)華公務(wù)員【例8】時針與分針兩次垂直的間隔有多長時

28、間？（）A.32B.32811分C.33分D.34分答案B解一根據(jù)公式：時針與分針兩次垂直間隔的“靜態(tài)時間”為30分鐘，代入公式算得追及時間為30+3011=32811分鐘，所以選擇B。解二根據(jù)基本知識點：時針與分針24小時內(nèi)垂直44次，所以垂直間隔為：24X6044=32811分鐘。核心提示當(dāng)時鐘問題涉及“壞表”時，其本質(zhì)是“比例問題”。解題的關(guān)鍵是抓住“標(biāo)準(zhǔn)比”，按比例計算。【例9】（國家2005二類-46）有一只鐘，每小時慢3分鐘，早晨4點30分的時候，把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時間，則鐘走到當(dāng)天上午10點50分的時候，標(biāo)準(zhǔn)時間是多少?（）A.11點整B.11點5分C.11點10分D.11點15分答

29、案C解析標(biāo)準(zhǔn)比：標(biāo)準(zhǔn)時間走60分鐘時，慢鐘走57分鐘。此時，慢鐘從4點30分走到10點50分，一共走了6小時20分，合380分鐘，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)時間走了x分鐘，那么：x:380=60:57,可得：x=400（分鐘）。說明標(biāo)準(zhǔn)時間比慢鐘快400-380=20分鐘，慢鐘走到了10點50分，實際上應(yīng)該是11點10分了?！纠?0】（國家2005一類-46）一個快鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘,一個慢鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間,結(jié)果在24小時內(nèi),快鐘顯示10點整時,慢鐘恰好顯示9點整。則此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是多少？（）A.9點15分B.9點30分C.9點35分D.9點45分答案D解析快鐘、慢

30、鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的差的標(biāo)準(zhǔn)比為1:3。假設(shè)現(xiàn)在是9點x分（快鐘顯示10點整，慢鐘顯示9點整），那么（60-x）：（x-0）=1:3,解得：x=45。所以標(biāo)準(zhǔn)時間是9點45分。時鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠嫊r工具,生活中也時常會遇到與時鐘相關(guān)的問題。關(guān)于時鐘的問題有：求時間差：例：從上午五點十五分到下午兩點四十五分之間,共有多少時間？A.8小時B.8小時30分C.9小時30分D.9小時50分解析：這種屬于最簡單的時鐘問題。答案是14.45-5.15=9.30C求慢（快）表在幾小時后顯示什么時間？例：有一只鐘,每小時慢3分鐘,早晨4點30分的時候,把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時間,則鐘走到當(dāng)天上午10點50分的時

31、候,標(biāo)準(zhǔn)時間是（）。A.11點整B.11點5分C.11點10分D.11點15分解析：慢表顯示經(jīng)過的時間是：10：50-4：30=6小時20分鐘=380分鐘,實際經(jīng)過的時間應(yīng)該是：380-（60-3）/60=400分鐘=6小時40分鐘，答案為C:4：30+6:40=11：10。例：一個快鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘,一個慢鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間,結(jié)果在24小時內(nèi),快鐘顯示10點整時,慢鐘恰好顯示9點整。則此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是（）。A.9點15分B9點30分C.9點35分D9點45分解析：這是2個不準(zhǔn)確的時鐘問題,也是這種問題的一個延伸。我們可以看到,在一個小時內(nèi),快鐘與

32、慢鐘有4分鐘的差距,而4分鐘里面,1分鐘時快走造成的，3分鐘時慢走造成的。所以當(dāng)它們（快慢鐘）的差距有60分鐘時，那么一樣，1/4的時間=15分鐘時快走造成的，3/4的時間（45分鐘）時慢走造成的。所以標(biāo)準(zhǔn)時間為9點45分，答案為D。戴曉東總結(jié)：其實這種類型題是較為簡單的，關(guān)鍵把握一點，就是不準(zhǔn)確的時鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的比例關(guān)系，也就是常說的一小時慢（快）多少，然后再推廣到幾個小時后，而這種比例是不變的。延伸：通過第二道例題，大家可以多少感覺到，有點像路程問題，其實這正是解決時鐘問題中較困難問題的一個核心思想。下面，我們繼續(xù)往下看，來看看時鐘問題中較為困難的類型。求某一時刻時針與分針的夾角，兩針重合

33、，兩針垂直，兩針成直線等類型。例：中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點，時針與分針重合多少次？萬學(xué)金路戴曉東強(qiáng)調(diào)要解答時鐘問題就要了解、熟悉時針和分針的運(yùn)動規(guī)律和特點。一個鐘表一圈有60個小格，這里計算就以小格為單位。1小時時間，分針走60個小格，時針只走了5個小格，所以每小時分針比時針多走55個小格。解析：就此題而言，可以看作是跑道同向相遇問題：時針:v1=5格/小時分針：v2=60格/小時n*60=（v2-v1）*12即：重合一次，多走60個格，假設(shè)重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小時多走（60-5）個格，總共走了12小時，所以多走了（60-5）*12個格。解出：n=1

34、130個小格。如果要例：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？解析：6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為45個小格。如果要30/55=6/11小時=360/11分鐘。例：一個指在九點鐘的時鐘，多少分鐘后時針與分針第一次重合？解析：9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為分針與時針重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/55小時=540/11分鐘?？偨Y(jié)：這類題型其本質(zhì)就是追擊問題。我們知道在追擊問題中，關(guān)鍵是要知道路程差，

35、速度差。而在時針與分針重合問題中，路程差就是時針分針之間有多少個小格，速度差就是一小時差55格（前面已經(jīng)分析過）。所以本著這兩點，這類問題可以迎刃而解。大家可以看看下面這兩個問題：供大家思考，也是對這類問題的延伸。例：爺爺家的老式鐘的時針與分針每隔66分鐘重合一次,這只鐘每晝夜慢多少分鐘?解析：正常的鐘每隔（12/11）小時=（720/11）分鐘重合一次，爺爺家的老式鐘是726/11分鐘重合一次，慢了6/11分鐘。每小時這個鐘就會慢【（6/11）/（720/11）】*60=1/2分鐘。一晝夜共慢了1/2*24=12分鐘。時針分針討論了不少，我們稍微換一換，看看分針和秒針的問題。例：1個小時內(nèi)分

36、針和秒針共重疊（）次。61次，我們來討論一下：A.60B.59C.61D.55這個題目很多人認(rèn)為是首先，從一個理想狀態(tài)來研究，因為理想狀態(tài)也是其中的符合條件的情況，比如正點時刻分針和秒針都是在12上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。58，59，60我們來仔細(xì)分析當(dāng)0分鐘時刻，分針秒針都是在一起，算1次重疊。但是在01之間卻是沒有重合的，因為當(dāng)秒針從12轉(zhuǎn)一圈之后回到12,此時的分針已經(jīng)偏離12,1格子的角度了。從12分鐘時刻開始，秒針和分針就開始在其每分鐘的間隙之間重疊了。當(dāng)?shù)搅?960分鐘之間，最后是分針和秒針同時到達(dá)12上,形成了最后一次重復(fù)。在5960間隙里面也是沒有重合的。這樣

37、我們就可以把開始0位置上的重合看作是01上的重合,60上的重合看作是5960之間的重合,整個過程就發(fā)現(xiàn)就是60次。其次：如果不是理想狀態(tài)。這個題目就出現(xiàn)了2個結(jié)果。就是看間隔。59個間隔至少有59次相遇。第一次的間隔沒有。這里有一個問題,很多人認(rèn)為當(dāng)出現(xiàn)整點到整點時刻是不是不包含兩端的端點時刻。如果題目沒有交代的情況下是包涵的,跟植樹問題是樣的。如果交代了,自然按照題目交代的情況來做。時鐘問題經(jīng)典例題詳解0格,相差10格,則需經(jīng)過10/11/1212點時,時針與分針重合多少次？60格,則分針追趕時針一次,耗時例：現(xiàn)在是2點,什么時候時針與分針第一次重合？析：2點時候,時針處在第10格位置,分針

38、處于第分鐘的時間。例：中午12點,時針與分針完全重合,那么到下次析：時針與分針重合后再追隨上,只可能分針追及了60/11/12=720/11分鐘，而12小時能追隨及12*60分鐘/720/11分鐘/次=11次，第11次時,時針與分針又完全重合在12點。如果不算中午12點第一次重合的次數(shù),應(yīng)為11次。如果題目是到下次12點之前，重合幾次，應(yīng)為11-1次，因為不算最后一次重合的次數(shù)。2. 分針與秒針秒針每秒鐘走一格，分針每60秒鐘走一格，則分針每秒鐘走1/60格，每秒鐘秒針比分針多走59/60格例：中午12點，秒針與分針完全重合，那么到下午1點時，兩針重合多少次？析：秒針與分針重合，秒針走比分針快

39、，重合后再追上，只可能秒針追趕了60格，則秒針追分針一次耗時，60格/59/60格/秒=3600/59秒。而到1點時，總共有時間3600秒，則臺匕能追趕，3600秒/3600/59秒/次=59次。第59次時，共追趕了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分針走了60格，即經(jīng)過1小時后，兩針又重合在12點。則重合了59次。3. 時針與秒針秒針每秒走一格，時針3600秒走5格，則時針每秒走1/720格，每秒鐘秒針比時針多走719/720格。例：中午12點，秒針與時針完全重合，那么到下次12點時，時針與秒針重合了多少次析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時針60格，每秒鐘追719/720格，則

40、要一次要追60/719/720=43200/7佃秒。而12個小時有12*3600秒時間，則可以追12*3600/43200/7佃=710次。此時重合在12點位置上，即重合了719次。4. 成角度問題例：在時鐘盤面上，1點45分時的時針與分針之間的夾角是多少？析：一點時，時針分針差5格，至U45分時，分針比時針多走了11/12*45=41.25格，則分針此時在時針的右邊36.25格，一格是360/60=6度，則成夾角是，36.25*6=217.5度。5. 相遇問題例：3點過多少分時，時針和分針離“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時針以每分1/12速度的速度，分針以每分1格

41、的速度相向而行，當(dāng)時針和分針離3距離相等，兩針相遇，行程15格，則耗時15/1+1/12=180/13分。例：小明做作業(yè)的時間不足1時，他發(fā)現(xiàn)結(jié)束時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時間?析：只可能是這個圖形的情形，則分針走了大弧B-A，時針走了小弧A-B，即這段時間時針和分針共走了60格，而時針每分鐘1/12格，分針1格，則總共走了60/（1/12+1）=720/13分鐘,即花了720/13分鐘。鐘表上的追及問題新課標(biāo)提倡，數(shù)學(xué)走進(jìn)生活，教科書中出現(xiàn)了與日常生活密切相關(guān)的鐘表問題。例如：在3點和4點之間的哪個時刻，鐘表的時針與分針：（1）重合；（

42、2）成平角；（3）成直角。許多同學(xué)面對此題，束手無策，不知如何解決。實際上，因為分針旋轉(zhuǎn)的速度快，時針旋轉(zhuǎn)的速度慢，而旋轉(zhuǎn)的方向卻是一致的。因此上面這類問題也可看做追及問題。通常有以下兩種解法：一.格數(shù)法鐘表面的外周長被分為160個“分格”，時針1小時走5個分格，所以時針一分鐘轉(zhuǎn)丄分12格，分針一分鐘轉(zhuǎn)1個分格。因此可以利用時針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格”數(shù)來解決這個問題。x解析（1）設(shè)3點x分時，時針與分針重合，則分針走x個分格，時針走個分格。12因為在3點這一時刻，時針在分針前15分格處，所以當(dāng)分針與時針在3點與4點之間重合x4時，分針比時針多走15個分格，于是得方程x15，解得x=16°

43、;12114所以3點16-分時，時針與分針重合。11（2）設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。因為在3點這一時刻，時針在分針前15分格處，而在3點到4點之間，時針與分針成一平角時，分針在時針前30分格處，此時分針比X1時針多走了45分格，于是得方程x45，解得x=49。12111所以3點49分時，時針與分針成平角。11（3）設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。此時分針在時針前15分格處，所以在3點到x4點之間，時針與分針成直角時，分針比時針多走了30分格，于是得方程x30,解12得x=32。11所以3點32-分時，時針與分針成直角。11二.度數(shù)法對鐘表而言，時針12小時旋轉(zhuǎn)一圈，分針1小時旋轉(zhuǎn)一圈，轉(zhuǎn)

44、過的角度都是360°，所以時針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5°，分針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°。故也可以利用時針與分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)來解決這道題。解析（1）設(shè)3點x分時，時針與分針重合，則時針旋轉(zhuǎn)的角度是0.5x°，分針旋轉(zhuǎn)的角度是6x°。整3點時，時針與分針的夾角是90°，當(dāng)兩針重合時，分針比時針多轉(zhuǎn)了490°，于是得方程6x-05x=90,解得x=16。11（2）設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。此時分針比時針多轉(zhuǎn)了90°+180°=270°，于是得方程，解得。（3）設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。此時分針

45、比時針多轉(zhuǎn)了，于是得方程，解得。練一練1. 鐘表上9點到10點之間，什么時刻時針與分針重合？2. 鐘表上5點到6點之間，什么時刻時針與分針互相垂直？3. 鐘表上3點到4點之間，什么時刻時針與分針成40°的角？4. 鐘表上2點到3點之間，什么時刻時針與分針成一直線？I 710（參考答案：1.9點49分；2.5點43或5點10分；II 1111I 73. 3點9分或3點23分；4.2點43分。）II 111、鐘表指針重疊問題時鐘問題詳細(xì)講解我只是在論壇看到相關(guān)內(nèi)容，并加以整理：一、重合問題1、鐘表指針重疊問題中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點時，時針與分針重合多少次？（20

46、06國家考題）A、10B、11C、12D、13答案B2、中午12點，秒針與分針完全重合，那么到下午1點時，兩針重合多少次？A、60B、59C、61D、62答案B講講第2題，如果第2題弄懂了第1題也就懂了！給大家介紹我認(rèn)為網(wǎng)友比較經(jīng)典的解法：考友1.其實這個題目就是追擊問題，我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個單位，這時秒針的速度就是是分針?biāo)俣鹊?0倍，秒針和分針一起從12點的刻度開始走，多久分針追上時針呢？我們列個方程就可以了，設(shè)分針的速度為1格/秒，那么秒針的速度就是60格/秒，設(shè)追上的時候路程是S，時間是t,方程為（1+60）t=S即61t=S,中午12點到下午1點，秒針一共走了3600格，即

47、S的范圍是0<S<3600,那么t的范圍就是0<t<3600/61,即0<t<59.02，因為t只能取整數(shù)，所以t為159,也就是他們相遇59次。第1題跟這個思路是一樣的,大家可以算算！給大家一個公式吧6仃=S（S為題目中最小的單位在題目所要求的時間內(nèi)所走的格數(shù)，確定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）如第1題,題目中最小單位為分針,題目所要求的時間為12小時,也就是說分針走了720格T（max）=720/61.8,取整數(shù)就是11。1、鐘表指針重疊問題中午12點,時針與分針完全重合,那么到下次12點時,時針與分針重合多少次？A、10B、11C、12D、13

48、考友2.這道題我是這么解,大家比較一下:解:可以看做追及問題,時針的速度是:1/12格/分分針的速度是:1格/分.追上一次的時間=路程差/速度差=60/（1-1/12）=720/11分從12點到12點的總時間是720分鐘，所以重合次數(shù)n=總時間/追上一次的時間=720/720/11次二、關(guān)于成角度的問題,我推薦個公式及變式給你：設(shè)X時時，夾角為30X,Y分時，分針追時針5.5,設(shè)夾角為A.（請大家掌握）鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時針走0.5度，能追5.5度。1. 【30X5.5Y】或是360【30X-5.5Y】【】表示絕對值的意義（求角度公

49、式）變式與應(yīng)用2. 【30X5.5Y】=A或是360【30X-5.5Y】=A（已知角度或時針或分針求其中一個的公式。3由變式2可以變?yōu)?0X（X-Y/5）+Y/60=A或30X（X+12）-Y/5+Y/60=A說明變式3實質(zhì)上完全等同變式2.例題32000年國家考題某時刻鐘表時間在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時刻正好方向相反且在一條直線上，則從時刻為（）A.10點15分B.10點19分C.10點20分D.10點25分思路1.設(shè)時刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出30X105.5Y=180解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分，本題

50、最接近A.（說明此國考題不夠嚴(yán)謹(jǐn)！）思路2.根據(jù)鐘表的特點：首先看時針在10點到11點之間，那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上”分針必在4點到5點之間（相對時針而言），那么在6分鐘以前分針必在3點附近（相對時針而言），運(yùn)用排除法選A（說明到這里基本規(guī)律已完畢，在考題中已經(jīng)可以應(yīng)付了，后面的講解作為大家了解，我也是從網(wǎng)絡(luò)搜索的，只是前面知識的運(yùn)用而已?。┲R網(wǎng)絡(luò)時鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠嫊r工具。生活中也時常會遇到與時鐘相關(guān)的問題。關(guān)于時鐘的問題有：求某一時刻時針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。要解答時鐘問題就要了解、熟悉時針和分針的運(yùn)動規(guī)律和特點。時鐘盤面被等分為12

51、個大格，那么每個大格之間的夾角為360°-12=30°。每個大格又被分成5個小格，每個小格之間的夾角為30°-5=6°。在鐘表上時針與分針是同時運(yùn)動的，它們的關(guān)系是：時針走1小時轉(zhuǎn)過30°,分針轉(zhuǎn)過360°,恰為一個圓周。重點？難點在時鐘問題中求解兩針重合、兩針垂直、兩針成直線等問題也都是對求兩針夾角問題的擴(kuò)展和延伸。因此只要能夠透徹地分析、解答了兩針夾角問題，其他問題則有章可循。學(xué)法指導(dǎo)解這類問題時，通常分別考慮時針與分針的轉(zhuǎn)動情況，再根據(jù)條件綜合在一起，然后求解，另外，還需要注意全面考慮多種可能的情況。經(jīng)典例題例1如圖1，在時鐘盤

52、面上，1點45分時的時針與分針之間的夾角是多少？思路剖析將時鐘盤面分成12個分格，那么在1點45分，分針必落在9這個位置上，而時鐘針不在1這個位置上，而是在1和2之間的某個位置上，也就是要求出從1點到1點45分，45分鐘的時間時鐘轉(zhuǎn)過的角度。時針走60分鐘轉(zhuǎn)過360°十12=30°，那么走45分鐘，轉(zhuǎn)過。而且從1點45分時時鐘盤面上時針、分針的位置易知，從9點整到13點整之間包含有4個大格。那么此時時針與分針的夾角是這兩部分角度的和。解答點津或用變式2.360-（30X1-5.5X45）=142.5。（思考為什么用360來減，當(dāng)然在考題中選擇題答案是唯一的好辦?。τ谇髢舍?/p>

53、夾角的問題，我們都可以按照例1的思路求解。從此題的求解中，可以總結(jié)出如下的規(guī)律性結(jié)論：在1點45分時，兩針夾角：，那么在a點b分時，兩針夾角：，為了避免a<b+5的情況（分針在時針前），通常a采用24時計時法；若a>b+5（分針在時針后），則a采用12時計時法。如果所求的角度是大于180°的，那么需與360°求差后求出的值為最后結(jié)果。例2從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？思路剖析時針與分針直線也就是說兩針的夾角為180°。從5時整開始時，時針在一個小時之內(nèi)從5運(yùn)轉(zhuǎn)到6，分針從12開始在一個小時之內(nèi)會旋轉(zhuǎn)360°，必然在此

54、期間有一個時刻時針與分針成了直線，從圖2中易知此時刻必然落在11與12之間。此題是已知兩針夾角求時間的問題，與例1正好是個相反的過程。我們?nèi)钥砂凑绽?得出的規(guī)律求解。當(dāng)兩針成直線時，時間為5點幾分，那么a=5,由于分針位置在11至12之間，則b>55,那么b-5>11,a<b+5,應(yīng)采用24小時計時法。只須解一個方程，便可求解此題。解答時針與分針第一次成直線，它們的夾角為180°，設(shè)從5時整開始，經(jīng)過b分后，時針與分針第一次成直線，這時分針落在11與12之間，即b-5>11，而a=5<b-5,則采用24時計時法，可得方程：那么可知在5時60分時,即6時整

55、,兩針成直線?；蛘?6030X5-5.5Xy=180解出y=60（變式1好理解些）以下類似略了答：從5時整開始,經(jīng)過60分鐘后,時針與分針第一次成直線。例3從6時整開始,經(jīng)過多少分鐘后,時針與分針第一次重合？思路剖析時針與分針的重合,在第一次它們的夾角為360°,那么解決兩針重合問題的方法與求解兩針成直線問題的方法類似。從6點整開始,一個小時之內(nèi),時針從6轉(zhuǎn)到7；分針從12開始轉(zhuǎn)過360°，在此期間必有一時刻兩針重合。解答重合時兩針都落在6與7之間，因此b+5>6，而a=6<b+5,則采用24時計時法，經(jīng)過b分鐘后兩針重合，得方程：例4在8時多少分,時針與分針垂

56、直？思路剖析在8時多少分時,兩針垂直應(yīng)有兩種情況。如圖3和圖4所示。圖3是分針在時針后,此時的垂直夾角是90°。圖4是分針在時針前,此時的垂直夾角是270°。確定了夾角之后,可根據(jù)例1得出的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。解答分為兩種情況：(1)分針在時針后，a=8,a>b+5，可采用12時計時法，設(shè)從8時整開始，經(jīng)過bl分后，時針與分針第一次垂直,夾角為90°。得方程：(2)時針在分針后，a=8,a<b+5,可采用24時計時法，設(shè)從8時整開始，經(jīng)過b2分后，時針與分針第二次垂直,夾角為2700。得方程：由于求得b2=60分,那么經(jīng)過60分鐘,即在9點鐘時,兩針第二次垂直。但題意