線性規(guī)劃常見題型大全

1、絕密啟用前2014-2015學(xué)年度？學(xué)校8月月考卷試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx;考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)-一-二二三總分得分注意事項(xiàng)：1 答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2 請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分x01.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y0，貝Uz=4x+y的最大值為（）xy2A、10B、8C、2D、0、選擇題（題型注釋）【答案】B【解析】試題分析：畫出可行域，根據(jù)圖形可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A（2,0）點(diǎn)時(shí)，z=4x+y取得最大值為8考點(diǎn)：線性規(guī)劃xy02若不等式組2xy2，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則a的取值范圍是y0xya

2、()44c4A.a-B.0a1C.1aD.0a1或a333【答案】Dxy0【解析】根據(jù)2xy2畫出平面區(qū)域（如圖1所示），由于直線xya斜率為1,y0縱截距為a，xy0自直線xya經(jīng)過原點(diǎn)起，向上平移，當(dāng)0a1時(shí)，2xy2表示的平面區(qū)域y0xyaxy0是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖2所示）；當(dāng)1a4個(gè)四邊形區(qū)域（如圖3所示），當(dāng)a4時(shí),34時(shí)，2xy2表示的平面區(qū)域是-3 y0xyaxy02xy2表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形y0xya區(qū)域（如圖1所示），故選D.3已知變量x,y滿足約束條件x1xy7圖30則y的取值范圍是（）x0Q(3D6可【解析】試題分析：畫出可行域,y可理解為可行域中一點(diǎn)到原點(diǎn)的直線

3、的斜率x,可知可592,2），（）則可知k=y的范圍是x加.考點(diǎn)：線性規(guī)劃，斜率xOy上的區(qū)域D由不等式組4.（5分）（2011?廣東）已知平面直角坐標(biāo)系定若M（x,y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（近,1）,則z頑頑的最大值為（2【答案】B【解析】試題分析：首先做出可行域，將z=|?的坐標(biāo)代入變?yōu)閦=-,即y=-：x+z,此方程表示斜率是-的直線，當(dāng)直線與可行域有公共點(diǎn)且在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值.解：首先做出可行域，如圖所示：z=J？g號(hào)廿乂即y=-.:-：x+z做出Io：y=-丿辦，將此直線平行移動(dòng)，當(dāng)直線y=-"Ex+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值.因?yàn)锽

4、（出，2），所以z的最大值為4故選ByAB耳iiI11iiib-h$hinij/AId1/-11%Llg：XL>hX點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標(biāo)表示，考查數(shù)形結(jié)合思想解題.xy2>05.已知不等式組x2<0表示的平面區(qū)域的面積等于3，則a的值為（）axy2>05(A)1(B)r21(C)2(D)-2【答案】D【解析】試題分析：由題意，要使不等式組表示平面區(qū)域存在，需要a1,不等式組表示的2)23，解得a1，故選d.26設(shè)x.y滿足約束條件3a4c?£>0，若z=的最小值為2,則a的值為(A.B.C.D.1234【答案】【解析】=1+】表示點(diǎn)(x,y

5、)與點(diǎn)(一1,-1)連線的斜率.由圖知a>0,否則無可行域，且點(diǎn)(一1,-1)與點(diǎn)(3a,0)的連線斜率最小,7.已知實(shí)數(shù)，滿足條件，則的最小值為(A.B.C.【答案】C【解析】試題分析：如下圖可行區(qū)域?yàn)樯蠄D中的靠近x軸一側(cè)的半圓，目標(biāo)函數(shù)z0，所表示在可行x2x22,0)作半圓的切線，切線的斜率的最小值，設(shè)切線方程為y=k(x-2)，則A到切線的距離為1，故區(qū)域取一點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)連線的斜率的最小值，可知過點(diǎn)(考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃；2.直線與圓的位置關(guān)系.8若在區(qū)間0,2中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)大于的概率是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】0x21試題分析：設(shè)這

6、兩個(gè)數(shù)為:x,y，則.若兩數(shù)中較大的數(shù)大于一，則還應(yīng)滿0y22足：x-或y1(只需排除2212),作出以上不等式組表示的區(qū)域，由幾何概型12的概率公式得p1考點(diǎn)：1、幾何概型;14P選C.4 162、不等式組表示的區(qū)域請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分第II卷(非選擇題)、填空題(題型注釋)9若實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件【答案】5.xy31 ，貝Uz2xy的最大值為xy2x2【解析】xy3試題分析：作出不等式組1 表示的平面區(qū)域，即可行域，則可知直線xy2x21xy30與直線yx的交點(diǎn)M(2,1)，作直線l:2xy0,平移直線I，可知2當(dāng)x2,y1時(shí)，zmax2215.考點(diǎn)：線性規(guī)劃2x3

7、y110,10.已知變量x,y滿足約束條件x4y80,若目標(biāo)函數(shù)zxaya0的最大xy20,值為1,貝Ua.【答案】3【解析】試題分析：約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)過B(4,1)點(diǎn)是取得最大值,所以14a1，所以a3.o'考點(diǎn)：線性規(guī)劃11.設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)xx,y滿足x2xy2y00若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=【答案】2【解析】作出可行域(如圖)，其中A(4,4),B(0,2),C(2,0)過原點(diǎn)作出直線kx+y=0k=0時(shí)，y=0,目標(biāo)函數(shù)z=y在點(diǎn)A處取得最大值4，與題意不符11 0k即k0時(shí)，直線kx+y=0即y=kx經(jīng)過一、三象限，平移直線y=22kx可知

8、，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)A處取得最大值，即上二罪亠4=12,此時(shí)k=2與1k0不符；211 k>即k<時(shí)，直線kx+y=0即y=kx經(jīng)過一、三象限，平移直線y=kx可知，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)B處取得最大值，即Zmax022，此式不成立 k<0即k>0時(shí)，直線kx+y=0即y=kx經(jīng)過二、四象限，平移直線y=kx可知，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在點(diǎn)A處取得最大值，即Zmax4k412，此時(shí)k=2與k>0相符，所以k=20x,312.點(diǎn)M(x,y)是不等式組y3表示的平面區(qū)域內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且不等式x、3y2xym0總成立，則m的取值范圍是.【答案】m3【解析】試題分析：

9、將不等式化為my2x，只需求出y2x的最大值即可，令zy2x,0x,3就是滿足不等式y(tǒng)3的最大值，由簡單的線性規(guī)劃問題解法，可知在0,3處zx、3y取最大值3，則m取值范圍是m3.考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃和轉(zhuǎn)化思想.y13.設(shè)變量x,y滿足：x3y4則z|x3y|的最大值為【答案】8【解析】試題分析：這是如圖可行域,22,表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x3y0的距離的2倍，很顯然zmax考點(diǎn):1.線性規(guī)劃;2點(diǎn)到直線的距離公式.到直線的距離最大，點(diǎn)A2,2,將其代入點(diǎn)到直線的距離公式得到xy+60,14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y0,若z=ax+y的最大值為3a+9,最小值為3a3,x3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

10、為.【答案】1,1【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示,J>I3；則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn)C處取得最小值.又kBc=1,kAB=1,1waw1,即一1waw1.15設(shè)實(shí)數(shù)滿足向量，.若，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】;【解析】試題分析：因?yàn)閍/b，所以2xym0my2x,故根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)畫出可行域如圖，則目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（考點(diǎn)：向量平行線性規(guī)劃1,8）處取得最大值6.16.已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足【答案】【解析】,則的最大值是試題分析：作出可行域如圖，uuuuuuOAOP=|OA|uuu|OP|cosAOP，uuuuuuAOP是OA,OP的夾角,uuuuuu目標(biāo)函數(shù)表示OP在OA上的投

11、影，uuu過P作OA的垂線PH,垂足為H,當(dāng)P在可行域內(nèi)移動(dòng)到直線，-3xy=0和直線x、3y2=0的交點(diǎn)B(1,.3)時(shí)，uuuuuuuuuuuuOP在OA上的投影OH最大，此時(shí)|OP|=|OB|=2,AOPAOB,6uuul的最大值為|OB|cosAOB=2cos=3,故答案為.6考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積，平面向量的投影17若實(shí)數(shù)、滿足x2y22xy,則xy的最大值是.【答案】4【解析】2222試題分析：將xy2xy變形為(x1)(y1)2，表示圓心為(1,1)，半徑為、2的圓。令zxy，即xyz0。由圖像分析可知圓心到直線距離d2/2，解得0z4，所以xy的最大值是4。

12、考點(diǎn)：1線性規(guī)劃、數(shù)形結(jié)合思想；2點(diǎn)到線的距離;18已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),x4y30A(2,1),P(x,y)滿足3x5y25，則pRcosAOPx10的最大值等于【答案】生？5【解析】試題分析:OPcosAOPOPOA2xy，設(shè)z.52xy,如圖：做出可行域當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到C點(diǎn)取得最大值，x4y30解得x3x5y250y5,C5,2，代入目標(biāo)2函數(shù)zmax12,QPcosAOP的最大值為12】55考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2.線性規(guī)劃.yx,x+2y4,19 .已知實(shí)數(shù)x,y滿足y2,(x+1)2+(y1)2=r2,(r0)則r的最小值為【答案】.2yx,【解析】作出約束條件x+2y4,

13、表示的可行域，如圖中的三角形,y-2,三角形內(nèi)(包括邊)到圓心的最短距離即為r的值，所以r的最小值為圓心到直線y=x的距離，所以r的最小值為,2.0x120 .已知P(x,y)滿足則點(diǎn)Qx+y,y)構(gòu)成的圖形的面積為.0xy2【答案】20uv1【解析】令x+y=u,y=v,則點(diǎn)Qu,v)滿足，在uOv平面內(nèi)畫出點(diǎn)Qu,0u2v)所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖，易得其面積為2.21 .已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為.【答案】【解析】試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形22ABC,(A(0,3),B(3,0),C(3,3)及其內(nèi)部，而且要挖出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題中xy可理

14、解為坐標(biāo)原點(diǎn)到可行域中點(diǎn)的距離的平方要求目標(biāo)函數(shù)最大值，就是求x2y2的最小值，即坐標(biāo)原點(diǎn)到直線xy3的距離的平方，為5(乞)2考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值22 .曲線y=Sinx在點(diǎn)M(n,0)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三x角形內(nèi)部與邊界).若點(diǎn)P(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，貝Ux+4y的最大值為【答案】4【解析】試題分析：Qysinxyxcosxsinx,cossin12,y|x2xx所以曲線ysinx.在點(diǎn)M,0處的切線方程為：1yx,即x0，它與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形區(qū)域如下圖所示:1z1令zx4y，將其變形為yx，當(dāng)z變化時(shí)，它表示一組斜率為，在y444軸上的截距為-的

15、平行直線，并且該截距越在，z就越大，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過A0,14時(shí)，截距最大，所以Zmax=0414，故答案為：4.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；23.已知實(shí)數(shù)x,y是2、求導(dǎo)公式；xy滿足x2yy>03、線必規(guī)劃.3>0“225<0,貝Vzx1y的最小值【答案】2【解析】試題分析:線性不等式組表示的可行域如圖：C（1,2）。xy30x2y50xy30y0A（3,0），y0B（5,0），x2y50zx12y2表示點(diǎn)M(1,0)與可行域內(nèi)的點(diǎn)間的距離的平方。MA2,MC1,點(diǎn)M(10)到直線xy30的距離為d缶近，因?yàn)閐IMCIMA所以Zmind22?？键c(diǎn)：線性規(guī)劃。24.已知實(shí)

16、數(shù)，滿足約束條件則的最大值為.【答案】【解析】試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形22ABC,(A(0,3),B(3,0),C(3,3)及其內(nèi)部，而且要挖出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題中xy3的距離的平方，為5(可理解為坐標(biāo)原點(diǎn)到可行域中點(diǎn)的距離的平方.要求目標(biāo)函數(shù)最大值，就是求x2y2的最小值，即坐標(biāo)原點(diǎn)到直線考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值x25.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組ya，表示的平面區(qū)域的面積為4，則實(shí)數(shù)a2x的值是.【答案】2【解析】試題分析:x等價(jià)于xy2x，即直線xy20的下方和直線xy20的上方，而與直線xa圍成三角形區(qū)域，當(dāng)a2時(shí)，不等式組xa,表示的平面區(qū)域

17、的面積為y2x考點(diǎn)：不等式中的線性規(guī)劃問題yx026已知實(shí)數(shù)x,y滿足xy2x0,y【答案】16【解析】y試題分析：如圖實(shí)數(shù)x,y滿足xx4.0則zW的最大值為0x0y20滿足的可行域是三角形OAB的陰影部分0,y011(-)x(2)y可化為z1(孑產(chǎn)y.所以求z的最大值即求出m2xy的最小值.目標(biāo)函數(shù)m2xy，如圖所示過點(diǎn)B即為m所求的最小值.因?yàn)锽(-2,0)所以m=-4.1所以zmax(才416.故填16.考點(diǎn)：1.線性規(guī)劃問題.2.指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算.評(píng)卷人得分三、解答題(題型注釋)x4y327已知x,y滿足約束條件3x+5y25，試求解下列問題.x1(1) z=、.、x2y2的最大值和最

18、小值；z=-的最大值和最小值；x2(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.【答案】(1)zmax=5,1Zmin=2(2)zmax=1,1Zmin=4(3)Zmax=14,Zmin=5.【解析】(1)z=,x2y2表示的幾何意義是區(qū)域中的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離,貝Zmax=5,Zmin=.Zmax=1,_1Zmin.2(2) z=表示區(qū)域中的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(一2,0)連線的斜率，則x2（3）z=|3x+4y+3|=5|3x+4y+3|,而|3x+4y+引表示區(qū)域中的點(diǎn)&,y到直線5 53x+4y+3=0的距離，則Zmax=14,Zmin=528設(shè)x,y滿足約束條件，（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，并求該平面區(qū)域的面積；12（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0,b>0）的最大值為4,求的最小值.a3b【答案】（1）10；（2）4【解析】試題分析：（1）如圖先在直角坐標(biāo)系中畫出各直線方程，再用特殊點(diǎn)代入法判斷各不等式表示的平面區(qū)域，其公共部分即為不等式組表示的平面區(qū)域，用分割法即可求出其面積。（2）畫出目標(biāo)函數(shù)線，平移使其經(jīng)過可行域當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線的縱截距最大時(shí)，Z取得最