多元函數(shù)求極值拉格朗日乘數(shù)法

1、頁眉內容第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法教學目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實際問題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學重點：多元函數(shù)極值的求法。教學難點：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學內容：一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內異于（xo，y。）的點，如果都適合不等式產If（x,y）<f（x。，y。）UJ7./則稱函數(shù)f（x，y）在點（x0，y。）有極大值f（x0,y。）。如果都適合不等式f（x,y）>f（x0,y。）則稱函數(shù)f（x，y）在點（

2、x0，y。）有極小值f（x0,y。）.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。-22例1函數(shù)z=3x+4y在點（。，。）處有極小值。因為對于點（0,0）的任一鄰域內異于（0,0）的點，函數(shù)值都為正，而在點（0,0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因為點（0,0,220）是開口朝上的橢圓拋物面z=3x+4y的頂點。例2函數(shù)z=-«x2+y2在點（0,0）處有極大值。因為在點（0,0）處函數(shù)值為零，而對于點（0,0）的任一鄰域內異于（0,0）的點，函數(shù)值都為負，點（0,0,0）是位于x°y平面下方的錐面z=-4x2+y2的頂點。來源于網絡頁眉內容例3函數(shù)z

3、=xy在點（0,0）處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點（0,0）處的函數(shù)值為零，而在點（0,0）的任一鄰域內，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負的點。定理1（必要條件）設函數(shù)z=f（x，y）在點（x°，y0）具有偏導數(shù)，且在點（x°，y0）處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：證不妨設z=f（x,y）在點（刈，火）處有極大值。依極大值的定義，在點（x0，y”的某鄰域內異于（x0,y。）的點都適合不等式特殊地，在該鄰域內取y=%,而x#%的點，也應適合不等式產'I這表明一元函數(shù)f（x，y0）在x=x0處取得極大值，因此必有類似地可證從幾何上看，這時如果曲面z

4、=f（x，y）在點（x0,y0，z0）處有切平面，則切平面i成為平行于x°y坐標面的平面z-4=0。仿照一元函數(shù)，凡是能使fx（x，y）=0，fy（x，y）=0同時成立的點（x0,y0）稱為函數(shù)z=f（x，y）的駐點，從定理1可知，具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點。但是函數(shù)的駐點不一定是極值點，例如，點（0,0）是函數(shù)z=xy的駐點，但是函數(shù)在該點并無極值。怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？下面的定理回答了這個問題。定理2（充分條件）設函數(shù)z=f（x,y）在點（x0,y0）的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx（x。,yO）=0,fy（x°,y。）=0令則f（x，y

5、）在（x0,y。）處是否取得極值的條件如下：2（1） AC-B>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；來源于網絡頁眉內容2（2） AC-B<0時沒有極值；_9（3） AC-B=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。這個定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f（x，y）的極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實數(shù)解，即可以得到一切駐點。第二步對于每一個駐點（x0，y。），求出二階偏導數(shù)的值A,B和C。產'I第三步定出AC-B2的符號，按定理2的結論判定f（x0，y。）是否是極值、是極大值還是極小值。3322例

6、1求函數(shù)f（x，y）=x-y+3x+3y-9x的極值。解先解方程組求得駐點為（1，0）、（1,2）、（-3，0）、（-3,2）。再求出二階偏導數(shù)在點（1，0）處，AC-B2=126>0又AA0,所以函數(shù)在（1，0）處有極小值f（1，0）=-5；2在點（1,2）處，AC-B，2（-6）<0,所以f（1,2）不是極值；在點（-3，0）處，AC-B2=-126<0,所以f（-3，0）不是極值；2在點（-3,2）處，AC-B=-121-6）>0又a<0所以函數(shù)在（-3,2）處有極大值f（-3,2）=31<來源于網絡頁眉內容例2某廠要用鐵板作成一個體積為2吊的有蓋長方

7、體水箱。問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省。2m解設水箱的長為xm,寬為ym,則其高應為xy,此水箱所用材料的面積22、A=2(xyyx)xyxy,22A=2(xy)即xy(x>0,y>o)可見材料面積A是x和y的二元函數(shù)，這就是目標函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(x，y)/>V''-J-'22Ax=2(y-2)=0令x,解這方程組，得：ix=312y=2,從這個例子還可看出，在體積一定的長方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)z=f(x，y)在附加條件*(x,y)=°下的可能極值點，

8、可以先構成輔助函數(shù)其中£為某一常數(shù)求其對x與y的一階偏導數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)聯(lián)立£(x,y)+硯(x,y)=0,fy(x,y)y(x,y)=0,(1)(x,y)=0.來源于網絡由這方程組解出x,y及九，則其中x,頁眉內容y就是函數(shù)f(x，y)在附加條件下由(x，y)=0的可能極值點的坐標。這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。例如，要求函數(shù)在附加條件*(x,y,z,t)=0中(x,y,z,t)=0下的極值，可以先構成輔助函數(shù)其中兀，%均為常數(shù)，求其一階偏導數(shù)，并使之為零，然后與(2)中的兩個方程聯(lián)立起來求解，這X'I樣得出的X、V、z、t

9、就是函數(shù)wxy，乙"在附加條件(2)下的可能極值點的坐標。至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定。21例3求表面積為a而體積為取大的長方體的體積。i解設長方體的三棱長為x,y,z,則問題就是在條件中(x,y,z,t)=2xy+2yz+2xz-a2=0(3下，求函數(shù)的最大值。構成輔助函數(shù)求其對x、v、z的偏導數(shù)，并使之為零，得到y(tǒng)z+2(y+z)=0xz2(xz)=0I、xy+2(y+z)=0(4再與(10)聯(lián)立求解。來源于網絡頁眉內容因X、y、z都不等于零，所以由（11）可得xxzyx-yy=y+z,z=x+z.由以上兩式解得將此代入式（10）,使得.6ax=y=z=6這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點產I處取得。也就是說，表面積為a2的長方體中，以棱長為“a/6的正方體的體積為最大，最大體