小學數(shù)學競賽奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應用

1、、基本概念和知識1.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表小0特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1:偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2:偶數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3:偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4:奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)。二、例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實際問題.例11+2+3+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù)

2、.但是如果從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1:1+2+3+1993（1+1993）X1993=997X1993,又997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，.原式的和是奇數(shù)解法2:.1993+2=996-1,.11993的自然數(shù)中，有996個偶數(shù)，有997個奇數(shù)。996個偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又;奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，997個奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù)+奇數(shù)=<數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。例2一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差150,這個數(shù)是多少？解法1:,相鄰兩個奇數(shù)相差2,.150是這個要求數(shù)的2倍。.這個數(shù)是1

3、50+2=75。解法2：設這個數(shù)為x,設相鄰的兩個奇數(shù)為2a+1,2a-1(a>1).則有(2a+1)x-(2a-1)x=150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150x=75o這個要求的數(shù)是75。例3元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問題的實質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種:一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們

4、送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡白人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)二偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例4已知a、b、c中有一個是5,一個是6,一個是7.求證a-1,b-2,c-3的乘積一定是偶數(shù)。證明：:a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，a、c中至少有一個是奇數(shù)，.a-1,c-3中至少有一個是偶數(shù)。又.偶數(shù)x整數(shù)=偶數(shù)，.(a-1)x(b-2)x(c-3)是偶數(shù)。例5任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù).試證新數(shù)與原數(shù)之和不能

5、等于999。證明；設原數(shù)為abc,設改變其各位數(shù)字順序后得到的新數(shù)為打丁丁。假設原數(shù)與新數(shù)之和為999,即品+丁二999。則有a+a'=b+b'=c+c'=9,因為9不會是進位后得到的又因為a'、b'、c'是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a+b，+c，。因此，又有(a+a')+(b+b)+(c+c)=9+9+9,即2(a+b+c)=3X9?？梢姡旱仁阶筮吺桥紨?shù)，等式的右邊(3X9=27)是奇數(shù).偶數(shù)w奇數(shù).因此，等式不成立.所以，此假設“原數(shù)與新數(shù)之和為999”是錯誤的，命題得證。這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方

6、法.先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質(zhì)進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結(jié)論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數(shù)學上叫“反證法”。例6用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=1995axbxcxd-d=1997試說明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993,c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。1991、1993、1995、1997均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)，.a、b、c、d分別為奇數(shù)。ax

7、bxcxd=#數(shù)。.a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設等式組的整數(shù)a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉(zhuǎn)”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假設n盞有拉線開關的燈亮著，規(guī)定每次拉動（n-1）個開關，能否把所

8、有的燈都關上？請證明此結(jié)論，或給出一種關燈的辦法。證明：當n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關上。因為要關上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關。由于n是奇數(shù)，所以n個奇數(shù)的和=數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關上，拉動拉線開關的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因為規(guī)定每次拉動n-1個開關，且n-1是偶數(shù)，故按規(guī)定拉動開關的總次數(shù)一定是偶數(shù)。奇數(shù)w偶數(shù)，當n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關上。當n為偶數(shù)時，能按規(guī)定將所有燈關上.關燈的辦法如下：設燈的編號為1,2,3,4,n.做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關；第二次，2號燈不動，拉動其余開關；第三次，3號燈不動，拉動其余開關；第n次，n號燈不動，拉動

9、其余開關.這時所有的燈都關上了。例9在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍.最后統(tǒng)計有1987次染紅，1987次染藍.求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色。證明：假設沒有一個珠子被染上過紅、藍兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為2m次。.2m1987（偶數(shù)w奇數(shù)）.假設不成立。至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色。例10如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），

10、這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛起點牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個是偶數(shù)，題目已得證;如果a、b都是奇數(shù)，因為奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。例11某校六年級學生參加區(qū)數(shù)學競賽，試題共40道，評分標準是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學生得分總和一定是偶數(shù)。解：對每個學生來說，40道題都答對共得120分，是個偶數(shù).如果答錯一道，相當于從120分中扣4分.不論答錯多少道，扣分的總數(shù)

11、應是4的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分.從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，如果有某題不答，應從120里減去（3-1）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù)，也是偶數(shù).所以從120里減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù).因此，每個學生得分數(shù)是偶數(shù)，那么全年級參賽學生得分總和也一定是偶數(shù).例12某學校一年級一班共有25名同學，教室座位恰好排成5行，每行5個座位.把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位.問：讓這25個學生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析我們把每一個黑、白格看作是一個座位.從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學要換到鄰座，必須坐到白

12、格上；已在白格“座位”上的同學要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，13*12,因此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法.因為整數(shù)按奇偶分類只有兩類，所以將這類問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關系。例13在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國

13、象棋中，“馬”走“日”字，如果將棋盤上的各點按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到白色點，或從白色點走到黑色點.因此，“馬”從一色點跳到另一同色點，必定要跳偶數(shù)步.因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例14線段AB有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍色.在這個AB線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍色，得到n+1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個端點不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當在AB中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點時有三種情況：插入點在兩端不同色的線段中，則兩端