小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用

1、、基本概念和知識(shí)1.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表小0特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1:偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2:偶數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4:奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)。二、例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實(shí)際問(wèn)題.例11+2+3+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù)

2、.但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1:1+2+3+1993（1+1993）X1993=997X1993,又997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，.原式的和是奇數(shù)解法2:.1993+2=996-1,.11993的自然數(shù)中，有996個(gè)偶數(shù)，有997個(gè)奇數(shù)。996個(gè)偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又;奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，997個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。因?yàn)椋紨?shù)+奇數(shù)=<數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。例2一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150,這個(gè)數(shù)是多少？解法1:,相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2,.150是這個(gè)要求數(shù)的2倍。.這個(gè)數(shù)是1

3、50+2=75。解法2：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a+1,2a-1(a>1).則有(2a+1)x-(2a-1)x=150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150x=75o這個(gè)要求的數(shù)是75。例3元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無(wú)關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種:一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們

4、送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡白人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)二偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例4已知a、b、c中有一個(gè)是5,一個(gè)是6,一個(gè)是7.求證a-1,b-2,c-3的乘積一定是偶數(shù)。證明：:a、b、c中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，a、c中至少有一個(gè)是奇數(shù)，.a-1,c-3中至少有一個(gè)是偶數(shù)。又.偶數(shù)x整數(shù)=偶數(shù)，.(a-1)x(b-2)x(c-3)是偶數(shù)。例5任意改變某一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個(gè)新數(shù).試證新數(shù)與原數(shù)之和不能

5、等于999。證明；設(shè)原數(shù)為abc,設(shè)改變其各位數(shù)字順序后得到的新數(shù)為打丁丁。假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和為999,即品+丁二999。則有a+a'=b+b'=c+c'=9,因?yàn)?不會(huì)是進(jìn)位后得到的又因?yàn)閍'、b'、c'是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a+b，+c，。因此，又有(a+a')+(b+b)+(c+c)=9+9+9,即2(a+b+c)=3X9。可見(jiàn)：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊(3X9=27)是奇數(shù).偶數(shù)w奇數(shù).因此，等式不成立.所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為999”是錯(cuò)誤的，命題得證。這個(gè)證明過(guò)程教給我們一種思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方

6、法.先假設(shè)某種說(shuō)法正確，再利用假設(shè)說(shuō)法和其他性質(zhì)進(jìn)行分析推理，最后得到一個(gè)不可能成立的結(jié)論，從而說(shuō)明假設(shè)的說(shuō)法不成立.這種思考證明的方法在數(shù)學(xué)上叫“反證法”。例6用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫(xiě)成等式組：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=1995axbxcxd-d=1997試說(shuō)明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993,c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。1991、1993、1995、1997均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)，.a、b、c、d分別為奇數(shù)。ax

7、bxcxd=#數(shù)。.a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù)a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”.請(qǐng)說(shuō)明：無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過(guò)9個(gè)奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假設(shè)n盞有拉線開(kāi)關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動(dòng)（n-1）個(gè)開(kāi)關(guān)，能否把所

8、有的燈都關(guān)上？請(qǐng)證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈的辦法。證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。因?yàn)橐P(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次拉動(dòng)它的開(kāi)關(guān)。由于n是奇數(shù)，所以n個(gè)奇數(shù)的和=數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關(guān)上，拉動(dòng)拉線開(kāi)關(guān)的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因?yàn)橐?guī)定每次拉動(dòng)n-1個(gè)開(kāi)關(guān)，且n-1是偶數(shù)，故按規(guī)定拉動(dòng)開(kāi)關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù)。奇數(shù)w偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上.關(guān)燈的辦法如下：設(shè)燈的編號(hào)為1,2,3,4,n.做如下操作：第一次，1號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；第二次，2號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；第三次，3號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；第n次，n號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)

9、其余開(kāi)關(guān).這時(shí)所有的燈都關(guān)上了。例9在圓周上有1987個(gè)珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍(lán)，或一次紅、一次藍(lán).最后統(tǒng)計(jì)有1987次染紅，1987次染藍(lán).求證至少有一珠子被染上過(guò)紅、藍(lán)兩種顏色。證明：假設(shè)沒(méi)有一個(gè)珠子被染上過(guò)紅、藍(lán)兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設(shè)第一次染m個(gè)珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個(gè)珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為2m次。.2m1987（偶數(shù)w奇數(shù)）.假設(shè)不成立。至少有一個(gè)珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色。例10如下頁(yè)圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹(shù)，如果把三塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小牌分別掛在三棵樹(shù)上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹(shù)，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），

10、這是為什么？解：任意挑選三棵樹(shù)掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹(shù)與第二棵掛牌的樹(shù)之間相距a米，第二棵掛牌的樹(shù)與第三棵掛起點(diǎn)牌的樹(shù)之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹(shù)與第三棵掛牌的樹(shù)之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個(gè)是偶數(shù)，題目已得證;如果a、b都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。例11某校六年級(jí)學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共40道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一題給3分，答錯(cuò)一題倒扣1分.某題不答給1分，請(qǐng)說(shuō)明該校六年級(jí)參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，40道題都答對(duì)共得120分，是個(gè)偶數(shù).如果答錯(cuò)一道，相當(dāng)于從120分中扣4分.不論答錯(cuò)多少道，扣分的總數(shù)

11、應(yīng)是4的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分.從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，如果有某題不答，應(yīng)從120里減去（3-1）分.不論有多少道題沒(méi)答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù)，也是偶數(shù).所以從120里減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù).因此，每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級(jí)參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù).例12某學(xué)校一年級(jí)一班共有25名同學(xué)，教室座位恰好排成5行，每行5個(gè)座位.把每一個(gè)座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位.問(wèn)：讓這25個(gè)學(xué)生都離開(kāi)原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析我們把每一個(gè)黑、白格看作是一個(gè)座位.從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白

12、格上；已在白格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個(gè)，白色座位有12個(gè)，13*12,因此，不可能使每個(gè)座位的人換為鄰座位。例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法.因?yàn)檎麛?shù)按奇偶分類只有兩類，所以將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問(wèn)題.讓我們?cè)倏匆坏览}，再體會(huì)一下奇偶性與染色的關(guān)系。例13在中國(guó)象棋盤(pán)任意取定的一個(gè)位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國(guó)象棋的走法，當(dāng)棋盤(pán)上沒(méi)有其他棋子時(shí)，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問(wèn)：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國(guó)

13、象棋中，“馬”走“日”字，如果將棋盤(pán)上的各點(diǎn)按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點(diǎn)走到白色點(diǎn)，或從白色點(diǎn)走到黑色點(diǎn).因此，“馬”從一色點(diǎn)跳到另一同色點(diǎn)，必定要跳偶數(shù)步.因此，不論開(kāi)始時(shí)“馬”在棋盤(pán)的哪個(gè)位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例14線段AB有兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)染紅色，另一個(gè)端點(diǎn)染藍(lán)色.在這個(gè)AB線段中間插入n個(gè)交點(diǎn)，或染紅色，或染藍(lán)色，得到n+1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個(gè)端點(diǎn)不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當(dāng)在AB中插入第一點(diǎn)時(shí)，無(wú)論紅或藍(lán)色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點(diǎn)時(shí)有三種情況：插入點(diǎn)在兩端不同色的線段中，則兩端