將軍飲馬—最短路徑最小值問題教案

1、將軍飲馬一最短路徑最值問題教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析為了解決生產(chǎn)，經(jīng)營中省時省力省錢而希望尋求最佳的解決方案而產(chǎn)生了最短路徑問題.初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”，為理論基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)平移、軸對稱等變換的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題一一“將軍飲馬問題”為載體進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱、平移將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題.從中，讓學(xué)生借助所學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)

2、歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，分析問題和解決、驗(yàn)證問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間，數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間及其他學(xué)科的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，它既是軸對稱、平移知識運(yùn)用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學(xué)生自行探究，學(xué)會思考，在知識與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用。基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：教學(xué)重點(diǎn)利用軸對稱、平移等變換將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題二、教學(xué)目標(biāo)解析新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識、技能，還要包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面得到發(fā)展.因此，確定教學(xué)目標(biāo)如下：教學(xué)目標(biāo)能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的

3、變化在解決最值問題中的作用，感悟領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣和合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體驗(yàn)自己探究出問題的成就感.目標(biāo)解析達(dá)線目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、學(xué)生學(xué)情診斷八年級的學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)少，理解能力差，抽象思維水平較低，處于直覺經(jīng)驗(yàn)型思維

4、向邏輯思維的過渡階段，辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態(tài)上最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對具有實(shí)際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手.解答：“當(dāng)點(diǎn)A、B在直線I的同側(cè)時，如何在I上找點(diǎn)C,使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線/異側(cè)的兩點(diǎn)，與/上的點(diǎn)的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會存在理解和操作方面的困難在證明“最短”時，需要在直線上任取一點(diǎn)，證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法，一些學(xué)生還想不到.在解答“使處在直線兩側(cè)的兩線段和最小”的問題

5、，需要把它們平移拼接在一起，一些學(xué)生想不到.教學(xué)時，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線的異側(cè)的兩點(diǎn)，與上的點(diǎn)的線段和最小”，給予學(xué)生啟發(fā)，在證明“最短”時，點(diǎn)撥學(xué)生要另選一個量，通過與求證的那個量進(jìn)行比較來證明，同時讓學(xué)生體會“任意”的作用，因此確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：教學(xué)難點(diǎn)如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題四、教學(xué)策略分析建構(gòu)主義理論的核心是“知識不是被動接受的而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的.”根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和實(shí)際水平，教學(xué)上采用“引導(dǎo)探究一一發(fā)現(xiàn)一一證明一一歸納總結(jié)”的教學(xué)模式，鼓勵引導(dǎo)學(xué)生、開動腦筋、大膽嘗試，在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與想象能力教師

6、的教法：突出解題方法的引導(dǎo)與啟發(fā)，注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)，為學(xué)生搭建參與和交流的平臺.通過對“將軍飲馬問題”而改編與設(shè)計(jì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂趣味性，相同背景，不同問題，由淺入深、層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生分析與解決問題，同時利用現(xiàn)代的信息技術(shù)，直觀地展示圖形的變化過程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與激情學(xué)生的學(xué)法：突出探究與發(fā)現(xiàn)，思考與歸納提升，在動手探究、自主思考、互動交流中，獲取知識與能力.五、教學(xué)基本流程探索新知一一運(yùn)用新知一一拓展新知一一提煉新知一一課外思考六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)探索新知1、建立模型問題1唐朝詩人李頑的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖1所

7、示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊,飲馬，然后到軍營B地，到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？追問1,這是一個實(shí)際問題，你打算首先做什么呢？師生活動：將AB兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河1抽象為一條直線*A.追問2,你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)的問題嗎？師生活動：學(xué)生交流討論，回答并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識：(1)行走的路線：從A地出發(fā)，到河邊,飲馬，然后到B地；(2)路線全程最短轉(zhuǎn)化為兩條線段和最短；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線上的點(diǎn).設(shè)C為直線l上的一個動點(diǎn)，上面的問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在f的什么位置時，AC與

8、CB的和最小設(shè)計(jì)意圖從數(shù)學(xué)史上久負(fù)盛名的“將軍飲馬問題”引入，增加學(xué)生們的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，提高其人文思想.同時引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫出圖形.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題更有利于分析問題、解決問題.2、解決問題問題2如圖點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)，點(diǎn)C位直線/上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在，的什么位置時，AC與CB的和最小？師生活動：讓學(xué)生獨(dú)立思考、畫圖分析，并展示如果學(xué)生有困難，教師作如下提示：(1)如圖，如果軍營B地在河對岸，點(diǎn)C在的什么位置時，AC與CB的和最??？由此受到什么啟發(fā)呢？/方(2)如圖，如何將點(diǎn)B"移”至IJ/的另一側(cè)B'處，且滿足直線上的任意一點(diǎn)C,都保持CB與CB'的長度相

9、等?B學(xué)生在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，完成作圖.設(shè)計(jì)意圖先通過學(xué)生對本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯，提高認(rèn)識與辯證思想，再通過老師的引導(dǎo)啟發(fā)明白解決這個問題應(yīng)該運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問題，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異測的問題，提高學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力，讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中，提高甄別是非的能力，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想3、證明“最短”問題3,為什么這種作法是正確的呢？你能用所學(xué)的知識證明AC+CBt短嗎？師生活動：分組討論，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥，結(jié)合多媒體的演示，師生共同完成證明過程證明：如圖，在直線/上任取一點(diǎn)C，.連接AC'、BC、B'C'.由軸對稱的性質(zhì)可

10、知：BC=BCBC.=BC，AC+BC=AC+BC=AB'AC'+BC=AC'+BC當(dāng)C'與C不重合時AB'<AC'+C'B'.AC+BCVAC'+C'B當(dāng)C與C重合時AC+BC=AC+CB總之，AC+BCWAC'+C'B即AC+BC最短設(shè)計(jì)意圖利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過移動點(diǎn)C'的位置，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)C'與C不重合時,AC+BC：AC'+C'B,當(dāng)C與C重合時，AC+BC=AGC'B.讓學(xué)生很容易知道AC+BCt短，消除了學(xué)生的疑慮，發(fā)揮了多媒體的作用，讓學(xué)生

11、進(jìn)一步體會作法的正確性，提高了邏輯思維能力.4、小結(jié)新知回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程，借助什么解決問題的？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？師生活動：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想,明確解題的方法與策略，為后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備（二）運(yùn)用新知如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，先到河邊a某一處飲馬，再到草地邊b某一處牧馬，然后來到軍營B地，請畫出最短路徑.師生活動：分組討論，教師點(diǎn)撥，點(diǎn)學(xué)生上臺操作演示，畫出最短路徑設(shè)計(jì)意圖對前面所學(xué)的解題方法與思路得以鞏固，讓學(xué)生形成技能，進(jìn)一步體會感悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，點(diǎn)學(xué)生上臺操作演示，提高他們的學(xué)

12、生興趣與實(shí)踐能力，體會成功的喜悅，激發(fā)他們進(jìn)一步探究問題的欲望（三）拓展新知有一天，將軍突發(fā)奇想：如果從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到軍營B地，到河邊什么地方飲馬可使所走的路線全程最師生活動：1、老師首先解釋行走一定的路程的含義，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再提出如下問題：(1)要使所走的路線全程最短，實(shí)際上是使幾條線段之和最短？(2)怎樣將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題2、分組討論，師生共同分析.3、完成作圖，體會作圖的步驟與分析問題的思路的聯(lián)系與區(qū)別設(shè)計(jì)意圖本題在“將軍飲馬問題”的背景下進(jìn)行改編，有造橋選址問題的影子，既增強(qiáng)了課

13、堂教學(xué)的趣味性，又完成了教學(xué)任務(wù)，可謂一舉兩得.教學(xué)由問題引領(lǐng)，老師引導(dǎo)，學(xué)生小組合作討論交流的方式，充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用完成分析與解答的過程，讓學(xué)生學(xué)得輕松與愉悅，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、綜合與分析能力，在解決問題的過程中，體會作圖題的解題方法與策略.讓學(xué)生的能力得到進(jìn)一步鍛煉與提高.(四)提煉新知師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1、本節(jié)課研究問題的過程是什么？2、解決上述問題運(yùn)用了什么知識？3、在解決問題的過程運(yùn)用了什么方法？4、運(yùn)用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的策略、思路、方法的同時，并從運(yùn)用的知識、方法、思想方面進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生對本節(jié)課有一個更清晰、更系統(tǒng)的認(rèn)識，體會軸對稱、平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值(五)課外思考將軍又提出一個問題:如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到草地邊b某一處牧馬，最后來到軍營