第4講光線穩(wěn)定條件、類透鏡介質(zhì)中的光線方程與波動方程

1、f1f2SS+1MNf1d101sMMsrrdrr22111ssNNrrfdfdrr1111111NNSSrrfdfdrr同理，從同理，從N面到面到S面的光線傳播情況面的光線傳播情況21011NMNMrrrrf 211110111011011101SSSSSSrrDCBArrdfdfrr)1)(1 ()1 (11)2(121122122fdfdfdDfdffCfddBfdA11ssssssDrCrrBrArr)(11sssArrBr)(1)(111211SSSSsssssDrCrrArrBrArrBr212211221)(2102ffdfdfdDAbrbrrsss212211221)(2102

2、ffdfdfdDAbrbrrsss0Arr)exp()0()(zAirzrisserr0)(21cos)sin(maxDAbsrrs121121221ffdfdfd1)21)(21 (021fdfdfd4011215510112011011201rLRLRr151115rABrrTCD22221112212(2)222(1)222(1)(1)dARdBdRdCRRRdddDRRR 00nnnrrTsinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnnABAnBABTCDCDnCDarccos/2AD12011122LLff120111LLRR2222222222211(1)22x

3、yABAOBOfxyffffxyxyffff 2222202222xyxyrkkfff )2exp(22fyxikEEinout22200( , )1()2kx yxyk)(4)(220yxKDTrT2200( , )()()4n Dx yTxyTK 2222rxyz rddrdsds 0rsabarbsr222dsdxdydzdzddrdzdz 22ddrd rdzdzdz 0ddz200kijkxiyjxyzk 22202200 xykijxiyjzzk220202202000d xkxdzkd ykydzk22200d rkrdzk221200( )cossinkkr zczczkk00

4、rr210200;kcr crk20202000222000cossinsincoszzkkkzzkkkrrrrkkkzzkkk 2020002022200000cos sinsin coskkkr zrzrzkkkkkkrzrzrzkkk 2max0sinkr zrzk如右圖的曲線可以代表在類透鏡如右圖的曲線可以代表在類透鏡介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度上作了夸大。從該方程可以得出上作了夸大。從該方程可以得出結(jié)論：當結(jié)論：當k20時，類透鏡介質(zhì)對時，類透鏡介質(zhì)對光線起匯聚作用，相當于正透鏡。光線起匯聚作用，相當于正透鏡。 2200002022200000coshsi

5、nhsinhcoshkkkr zz rz rkkkkkkrzz rz rkkk, ( )zr z (1)(2)0(3)EHtHEutE 對對2式求旋度：式求旋度：22HEEuutt 2EEE 且由且由3式：式：10EEEEE 在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即0222(4)EuEt 綜合上三式可以得到綜合上三式可以得到假設(shè)折射率假設(shè)折射率n的空間變化很小，即的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：0( , , , )Re( , , )i tE x y z tE x y z

6、 e代入代入(4)式式220022( )0( )( )Ek r Ek rur波動方程波動方程也稱亥姆也稱亥姆霍茲方程霍茲方程22( )( )( ) 1rk ruri當當 代表吸收介質(zhì)，代表吸收介質(zhì)， 代表增益介質(zhì)代表增益介質(zhì)00上式表示復數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為上式表示復數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為222002( )k rkk k r其中其中k0、k2都可以是復數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置都可以是復數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特和介質(zhì)的特性性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義：都有關(guān)系。由波數(shù)的定義： 可以得到可以得到n(r)的表達式：的表達式：2( )( )k rn r

7、222200200( )( )1222kn rk rkk k rkrk的情況的情況該表達式就是類透鏡介質(zhì)該表達式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達式，證明我的折射率表達式，證明我們考慮的們考慮的k(r)表達式代表表達式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。情況。2222000011222kkkrnrkk級數(shù)級數(shù)展開展開22rxy2222222221rzrrrz 2( , , )ikzEx y z e( , , )x y z2, kk 22220ikkkr20exp( )2 ( )kEi p zrq z為什么取這種形式？這是對波動為什么取這種形式？這是對波動方程進行長期研究得到的解，既方程進行長期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被滿足方程，又