微分幾何試卷(數(shù)學(xué)試點(diǎn)班)(1)_第1頁(yè)
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1、華中師范大學(xué) 2005 2006 學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）課程名稱 微分幾何初步 課程編號(hào) 83410006 任課教師 周振榮、 徐森林 題型填空題解答題證明題綜合題總分分值20203030100得分得分評(píng)閱人一、填空題（共5小題，每題4分，共4×5=20分）1曲線過(guò)點(diǎn).其切向量場(chǎng)為，則= .2設(shè)曲面的第一基本形式為，則其上的曲線與交角為 .3曲面的漸進(jìn)曲線為 .4拋物面在點(diǎn)沿方向的法曲率為 .5已知曲面的第一基本形式，其中為非零常數(shù)，則其Gauss曲率為 . 院（系）： 專業(yè)： 年級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： - 密 - 封 - 線 -得分評(píng)閱人二、解答題.（共2小題，每小題1

2、0分，共20分）1.設(shè)懸鏈面方程為求它的第一基本形式和第二基本形式，并求它在點(diǎn)處，沿切向量的法曲率. 2、求橢圓拋物面上由平面所截的截線在點(diǎn)的測(cè)地曲率. 第 1 頁(yè)(共 3 頁(yè)) 得分評(píng)閱人三、證明題。（共3小題，每小題10分，共30分）1.設(shè)有兩個(gè)二次微分形式：其中是的函數(shù)，且證明：在中存在正則參數(shù)曲面以為它的第一基本形式和第二基本形式的充要條件是滿足微分方程： .2. 假定空間曲線和的曲率，撓率分別為.若在這兩條曲線之間有一個(gè)對(duì)應(yīng)，使得它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行.證明：（1）曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線成一定角； （2）曲線和在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的曲率，撓率滿足等式： . - 密 - 封 - 線 - 3. 證明：在過(guò)空間光滑閉曲線的所有閉正則曲面中，若存在曲面，使得在上包圍的曲面面積最小，則的平均曲率恒為零.第 2 頁(yè)(共3頁(yè)) - 密 - 封 - 線 - 得分評(píng)閱人四綜合題。（共2小題，每小題15分，共30分）1.設(shè)曲面的第一基本形式：.(1) 求它的Gauss曲率；（2）證明：在該曲面上過(guò)點(diǎn)，且在該點(diǎn)與-曲線交角為的測(cè)地線滿足方程：. 2. 證明Backlund定理：設(shè)是歐式空間中的兩張正則曲面.如果存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)使得連接曲面上每一點(diǎn)和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線段是曲面的長(zhǎng)度為常數(shù)的公切線，并且曲

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