第09章數(shù)學形態(tài)學及其應用

1、 第第9章章 數(shù)學形態(tài)學及其應用數(shù)學形態(tài)學及其應用內(nèi)容提要內(nèi)容提要:n9.1 概述概述n9.1.1 數(shù)學形態(tài)學的發(fā)展簡史及基本思想數(shù)學形態(tài)學的發(fā)展簡史及基本思想n9.1.2 幾個基本概念幾個基本概念n9.2 二值形態(tài)學二值形態(tài)學n9.2.1 二值腐蝕二值腐蝕n9.2.2 二值膨脹二值膨脹n9.2.3 二值開運算二值開運算n9.2.4 二值閉運算二值閉運算n9.3 灰值形態(tài)學灰值形態(tài)學n9.3.19.3.4 灰度腐蝕、膨脹、開運算、閉運算灰度腐蝕、膨脹、開運算、閉運算n9.3.5 灰值形態(tài)學梯度灰值形態(tài)學梯度n9.3.6 高帽變換和低帽變換高帽變換和低帽變換n9.3.7 開閉運算和閉開運算開閉運

2、算和閉開運算 9.4 實驗：形態(tài)學圖像處理實驗：形態(tài)學圖像處理 本章小結(jié)本章小結(jié)9.1 概述概述u 9.1.1 9.1.1 數(shù)學形態(tài)學的發(fā)展簡史及基本思想數(shù)學形態(tài)學的發(fā)展簡史及基本思想u可回溯到可回溯到19世紀世紀Euler、20世紀世紀Minkowski等人的研究。等人的研究。u1964年法國的年法國的Matheron和和Serra在積分幾何的研究成果在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學形態(tài)學引入圖像處理領域，并研制了基于數(shù)上，將數(shù)學形態(tài)學引入圖像處理領域，并研制了基于數(shù)學形態(tài)學的圖像處理系統(tǒng)。學形態(tài)學的圖像處理系統(tǒng)。u1968年在巴黎礦業(yè)學院創(chuàng)建了數(shù)學形態(tài)學研究中心。年在巴黎礦業(yè)學院創(chuàng)建了數(shù)學形

3、態(tài)學研究中心。uMatheron于于1975年出版的年出版的Random Sets and Integral Geometry一書論述了隨機集合論、積分幾何論和拓撲一書論述了隨機集合論、積分幾何論和拓撲邏輯論，為數(shù)學形態(tài)學奠定了堅實的理論基礎。邏輯論，為數(shù)學形態(tài)學奠定了堅實的理論基礎。u1982年年Serra的專著的專著Image Analysis and Mathematical Morphology是數(shù)學形態(tài)學發(fā)展的重要里程碑。是數(shù)學形態(tài)學發(fā)展的重要里程碑。u1985年以后，一些相關(guān)領域的國際會議開始把數(shù)學形態(tài)學年以后，一些相關(guān)領域的國際會議開始把數(shù)學形態(tài)學列為學術(shù)討論專題，或?qū)ｉT舉行研討

4、會。列為學術(shù)討論專題，或?qū)ｉT舉行研討會。u1990年起，年起，SPIE每年舉辦一次每年舉辦一次“Image Algebra and Morphological Image Processing”會議。會議。u1986年年計算機視覺與圖形圖像處理雜志計算機視覺與圖形圖像處理雜志(GVGIP)出版出版了數(shù)學形態(tài)學?？藬?shù)學形態(tài)學?？痷1989年和年和1994年年 Journal of Signal Processing出版了出版了形態(tài)學在信號處理中的應用研究專輯。形態(tài)學在信號處理中的應用研究專輯。數(shù)學形態(tài)學是研究空間結(jié)構(gòu)的形狀、框架的學科數(shù)學形態(tài)學是研究空間結(jié)構(gòu)的形狀、框架的學科 以積分幾何、集合

5、代數(shù)及拓撲論為理論基礎，此外還涉及隨機集論、近世代數(shù)和圖論等一系列數(shù)學分支。 數(shù)學形態(tài)學的理論雖然很復雜，被稱為“驚人的數(shù)學”，但它的基本思想?yún)s是簡單而完美的。 數(shù)學形態(tài)學的基于集合的觀點是極其重要的。數(shù)學形態(tài)學的基于集合的觀點 （1）運算由集合運算來定義； （2）所有的圖像必須以合理的方式轉(zhuǎn)換為集合。 形態(tài)學算子的性能主要以幾何方式進行刻畫，更適合視覺信息的處理和分析。 基本思想：基本思想：利用結(jié)構(gòu)元素作為利用結(jié)構(gòu)元素作為“探針探針”在圖像中不斷移動，在此在圖像中不斷移動，在此過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關(guān)過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特

6、征。系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。 圖圖9.1 9.1 數(shù)學形態(tài)學的方法數(shù)學形態(tài)學的方法移位、交、并等集合運算移位、交、并等集合運算輸出圖像輸出圖像輸入圖像輸入圖像結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素 結(jié)構(gòu)元素的選擇十分重要 根據(jù)探測研究圖像的不同結(jié)構(gòu)特點，結(jié)構(gòu)元素可攜帶形態(tài)、大小、灰度、色度等信息。 不同點的集合形成具有不同性質(zhì)的結(jié)構(gòu)元素。由于不同的結(jié)構(gòu)元素可以用來檢測圖像不同側(cè)面的特征，因此設計符合人的視覺特性的結(jié)構(gòu)元素是分析圖像的重要步驟。 最基本的形態(tài)學運算有：最基本的形態(tài)學運算有：膨脹,腐蝕，開，閉。 用這些算子及其組合來進行圖像形狀和結(jié)構(gòu)的分析及處理，可以解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測、形狀識別、紋理

7、分析、圖像恢復與重建等方面的問題。數(shù)學形態(tài)學進行圖像處理有其獨有的特性： （1）反映的是一幅圖像中像素點間的邏輯關(guān)系，而不是簡單的數(shù)值關(guān)系。 （2）是一種非線性的圖像處理方法，并且具有不可逆性。 （3）可以并行實現(xiàn)。 （4）可以用來描述和定義圖像的各種集合參數(shù)和特征。9.1.2 幾個基本概念幾個基本概念1.擊中與擊不中擊中與擊不中設有兩幅圖像A和B，如果AB（空集），那么稱B擊中（hit）A，記為BA，；否則，如果AB=，稱B擊不中（miss）A。2.平移和反射平移和反射設A是一幅數(shù)字圖像，a是A的元素；b是一個點，那么定義A被b平移后的結(jié)果為 Abab| aA （9.1）即整個圖像沿著向量b

8、的方向平行移動。一幅數(shù)字圖像A關(guān)于原點的反射定義為 AVa| -aA （9.2）圖圖9.2 9.2 圖像的平移與反射圖像的平移與反射 3. 結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素 結(jié)構(gòu)元素與被處理的目標圖像中抽取何種信息密切相關(guān)。 在考察目標圖像各部分之間的關(guān)系時，需要設計一種“結(jié)構(gòu)元素”。在圖像中不斷移動結(jié)構(gòu)元素，就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系。 根據(jù)不同的圖像分析目的，常用的結(jié)構(gòu)元素有方形、扁平形、圓形等。 在多尺度形態(tài)學分析中，結(jié)構(gòu)元素的大小可以變化，但結(jié)構(gòu)元素的尺寸一般地要明顯小于目標圖像的尺寸。 9.2 9.2 二值形態(tài)學二值形態(tài)學 二值圖像是數(shù)字圖像的重要子集，指灰度值只取兩種值的圖像。 兩個灰度值可取

9、為0（相應的點構(gòu)成背景）和1（相應的點構(gòu)成景物）。 二值形態(tài)學處理算法都是以膨脹,腐蝕這兩種最基本的運算為基礎的。 一般設集合A為圖像集合，集合B為結(jié)構(gòu)元素，數(shù)學形態(tài)學運算是用B對A進行操作。 9.2.1 9.2.1 二值腐蝕二值腐蝕集合A（輸入圖像）被集合B（結(jié)構(gòu)元素）腐蝕: A B (9.3) AxBx:dd/8d/8dd/4d/4A AB B A AB Bd圖9.3 腐蝕示意圖9.2.2 二值膨脹二值膨脹 腐蝕運算的對偶運算，通過對補集的腐蝕來定義。 以AC表示集合A的補集， 表示B關(guān)于坐標原點的反射。 集合集合A被集合被集合B膨脹膨脹表示為： B圖9.4 膨脹示意圖 【例【例8.28.

10、2】分別】分別squaresquare和和diskdisk結(jié)構(gòu)元素膨脹結(jié)構(gòu)元素膨脹texttext圖像。圖像。 【解】為了比較兩種不同結(jié)構(gòu)元素膨脹的效果，取22大小的正方形結(jié)構(gòu)元素 和半徑為1的圓盤形結(jié)構(gòu)元素 ，運行結(jié)果顯示不同形狀和大小的結(jié)構(gòu)元素，其膨脹效果是不一樣的。（a）原始圖像）原始圖像 （b）采用）采用square膨脹圖像膨脹圖像 （c）采用）采用diask膨脹圖像膨脹圖像 腐蝕和膨脹操作的直觀解釋腐蝕和膨脹操作的直觀解釋 腐蝕是對圖像內(nèi)部作濾波處理，而膨脹是利用結(jié)構(gòu)元素對圖像補集進行填充，因而它是對圖像外部作濾波處理。腐蝕具有收縮圖像的作用，膨脹具有擴大圖像的作用。9.2.3 二值

11、開運算二值開運算 兩種二次運算起著非常重要的作用開運算閉運算（開運算的對偶運算）。 從結(jié)構(gòu)元素填充的角度看，它們具有更為直觀的幾何形式。開運算的定義 設A仍為輸入圖像，B為結(jié)構(gòu)元素，利用B對A作開運算，用符號AB表示，其定義為： 或p可以通過計算所有可以填入圖像內(nèi)部的結(jié)構(gòu)元素平移的并集求得。p當結(jié)構(gòu)元素B掃過整個圖像集合內(nèi)部，AB就是使結(jié)構(gòu)元素B的任何像素不越出圖像A邊界的圖像A像素點的集合。圖圖9.7 9.7 利用圓盤作開運算利用圓盤作開運算 BBABAABABAOB9.2.4 二值閉運算二值閉運算n 閉運算是開運算的對偶運算，定義為先作膨脹后作腐蝕。n 或u開、閉運算也互為對偶運算u開運算

12、具有磨光圖像外邊界的作用u閉運算具有磨光圖像內(nèi)邊界的作用圖圖9.8 9.8 利用圓盤作閉運算利用圓盤作閉運算9.3 灰值形態(tài)學灰值形態(tài)學 在灰度圖像形態(tài)處理中，輸入和輸出的圖像都是灰度級形式的 輸入和輸出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之間。9.3.1 灰值腐蝕灰值腐蝕 形態(tài)學源于填充的概念灰值形態(tài)學處理的對象是圖像信號波形的拓撲特性，結(jié)構(gòu)元素也是一個信號。 二值形態(tài)學中，集合的交、并運算起到關(guān)鍵作用在灰值形態(tài)學中這兩種運算對應與極大和極小運算。 可利用填充、極大/極小概念直接定義灰值運算。 用結(jié)構(gòu)元素g對輸入圖像f (x, y)進行灰值腐蝕記為 l用一維函數(shù)對其進行簡化，定義為l由于結(jié)構(gòu)元素

13、必須在信號的下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號定義域的子集，否則腐蝕在該點沒有定義。l結(jié)構(gòu)元素從信號的下面對信號產(chǎn)生濾波作用，這與結(jié)構(gòu)元素從內(nèi)部對二值圖像濾波的情況是相似的。 圖9.9 灰值腐蝕運算01234567123yx123y0123-1-2xb(a)(b)Ofs(c)Ofs(d)ssf b)( )(xsbsf-)( )(xsbsf - 9.3.2 灰值膨脹灰值膨脹 灰值膨脹可用灰值腐蝕的對偶運算來定義。 采用求極大值的方法，即在位于信號下方的條件下，求上推結(jié)構(gòu)所能達到的最大值。 利用結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時，上推結(jié)構(gòu)元素使其超過信號時的最小值來定義。 用

14、結(jié)構(gòu)元素g對輸入圖像f(x, y)進行灰值膨脹 (f g)(s, t)=maxf(s-x, t-y)+g(x, y)|s-x, t-y Df, x+yDg 用一維函數(shù)對其進行簡化，定義為 (f g)(s)=maxf(s-x)+g(x)| s-x Df, xDg 步驟：步驟：對結(jié)構(gòu)元素g的定義域Dg 中的每一個點x將信號f平移x，然后，再對每次平移信號的值加上g(x)，這樣對于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每個點都得到一個信號，對所有這些信號逐點取其最大值，便可得到膨脹結(jié)果。圖9.11 灰值膨脹運算 (a)灰值膨脹過程 (b)灰值膨脹結(jié)果Ofs(a)Os(b)ss)( )(xsbsf)( )(xsbsf )

15、(sf)(sf bf f 9.3.3 灰值開運算灰值開運算 灰值開和灰值閉運算是腐蝕和膨脹的組合運算。 先作腐蝕再作膨脹的迭代運算： 這兩種運算也為對偶運算，并且都可用填充概念來說明。 圖圖9.12 9.12 灰值開運算灰值開運算 9.3.4 灰值閉運算灰值閉運算 根據(jù)對偶性定義，灰值閉運算定義為： fg = (f g) g (9.15) 灰值閉運算具有擴展性 濾波結(jié)果總位于原始圖像的上方。它從圖像的上方磨光圖像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。 圖9.13 灰值閉運算 圖9.14 細胞組織圖像的灰值形態(tài)運算9.3.59.3.5 灰值形態(tài)學梯度灰值形態(tài)學梯度 利用扁平結(jié)構(gòu)元素g對f作腐蝕和膨脹

16、可得到f的局部極大和極小值，與數(shù)字差分定義的梯度相應。 形態(tài)學梯度的定義為： u為了更好地獲得邊緣檢測的效果，可以將形態(tài)學梯度與閾值結(jié)合起來使用。 圖9.15 核磁共振圖像的形態(tài)學梯度9.3.69.3.6 高帽變換和低帽變換高帽變換和低帽變換 通過這兩種變換可以得到灰度圖像中一些重要的標記點。 在較亮的背景中求暗的像素點或在較暗的背景中求亮的像素點；檢測受到噪聲污染圖像中的邊緣等。 為了使上述效果更明顯，對變換后的圖像也可以作閾值處理。高帽變換 從一幅原始圖像f中減去對其作開運算后得到圖像WHT(f)，其定義為： WHT(f) = f (fg) (9.17) 其中，g為結(jié)構(gòu)元素。 高帽變換是一種波峰檢測器 它在較暗的背景中求亮的像素點很有效。 低帽變換 與高帽變換相對偶的算子，定義為： BHT(f) = (fg) f (9.17) 低帽變換是一種波谷檢測器 適合于在較亮的背景中求暗的像素點。圖9.16 利用Top-Hat和Bot-hat變換檢測圖像峰值和谷值9.3.7 開閉運算和閉開運算開閉運算和閉開運算 形態(tài)開、閉運算作為最基本的形態(tài)濾波運算。 在實際的圖像處理中，僅僅采用形態(tài)開和閉的濾波效果往往不能令人滿意。 在基本的形態(tài)開、閉運算的基礎上設計出形態(tài)開閉和形態(tài)閉開組合濾波器，發(fā)揮其更好的濾波性能。