明渠中的恒定均勻流

1、第五章明渠中的恒定均勻流考點(diǎn)一基本概念1、明渠的類型(1)以過(guò)水?dāng)嗝嫘螒B(tài)的不同，劃分為矩形明渠、梯形明渠、圓形明渠等。(2)以底坡的不同，將明渠劃分為順坡明渠(或正坡明渠)、平坡明渠、逆坡明渠(或負(fù)坡明渠)c底坡是明渠渠底縱向傾斜的程度，以符號(hào)i來(lái)表示，定義為沿水流方向單位距離的渠底高程降落值。.一dz0i=sinH=-,ds(3)棱柱體渠道：斷面形狀、尺寸及底坡沿程不變，且無(wú)彎曲的渠道；非棱柱體渠道：斷面形狀、尺寸及底坡沿程改變，或彎曲的渠道。2、明渠均勻流的特點(diǎn)(1)過(guò)水?dāng)嗝娴男螤睢⒊叽缂八钛爻滩蛔儯^(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植?、斷面平均流速沿程不變?2)流線為一組與渠底平行的直線，總水頭線與

2、水面線平行，水面坡度Jz(即測(cè)壓管水頭線坡度)、水力坡度J(即總水頭線坡度)和底坡i都相等，即Jz=J=i；(3)作用在水流上的重力在水流方向上的分量與渠床壁面上的摩擦阻力相等，即Gsini-F；hf(4)沿程水頭損失等于渠底高程的降低，即i=J。L3、明渠均勻流產(chǎn)生的條件(1)明渠水流必須是恒定流，流量沿程保持不變；(2)必須是底坡不變的正坡明渠，即i-0；(3)渠道必須是長(zhǎng)直的棱柱體明渠，明渠表面的粗糙程度沿程不變；(4)明渠中沒(méi)有任何阻礙水流運(yùn)動(dòng)的建筑物(障礙物)。考點(diǎn)二明渠均勻流計(jì)算的基本公式在明渠均勻流中，水力坡降等于渠底縱坡i,水深為正常水深h0,相應(yīng)的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為A0,水力半徑

3、為R。，則明渠均勻流的流量公式為Q=A0VQ=AC0.R0i=K。iC0通常用曼寧公式計(jì)算。曼寧明渠流的流動(dòng)形態(tài)通常處于阻力平方區(qū)，均勻流公式中的謝才系數(shù)公式為Co=R0/6/n粗糙系數(shù)n是影響明渠均勻流流量的主要因素，正確選擇粗糙系數(shù)n是明渠均勻流計(jì)算中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。若n值選得偏小，則渠道設(shè)計(jì)斷面尺寸偏小，渠道就通過(guò)不了設(shè)計(jì)流量。考點(diǎn)三水力最佳斷面和允許流速1、水力最佳斷面應(yīng)滿足的條件(1)定義：水力最佳斷面是指渠道的過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA、粗糙系數(shù)n和渠底縱坡i一定的條件下,使渠道所通過(guò)的流量最大，則水力半徑R0必須最大，也就是濕周最小。(2)條件：；A=常數(shù)、7=常數(shù)'N=最小值或、A

4、=最大值2、水力最佳斷面水力半徑Rm與水深hm之間的關(guān)系(1)梯形斷面梯形水力最佳斷面的寬深比為:m=2(.1m2-m)hm最佳水力半徑為Rrn=hm/2(2)矩形斷面對(duì)于矩形斷面，m=0,則Pm=bm=0hm最佳水力半徑為Rm=hm/2由此得矩形渠道水力最佳斷面的底寬是水深的2倍，即bm=2hm。2、允許流速為使渠道在正常運(yùn)用過(guò)程中不發(fā)生沖淤現(xiàn)象，就需對(duì)渠道平均流速的上限和下限值作出規(guī)定，這種保證渠道正常工作的限制流速稱為允許流速。允許流速的上限，要保證渠槽不遭受沖刷，稱為不沖流速v不沖。不沖流速主要與渠床材料性質(zhì)、水力半徑大小等因素有關(guān)。在渠道設(shè)計(jì)中，渠道的平均流速應(yīng)小于不沖流速。允許流速

5、的下限，要保證含沙水流的挾沙不致在渠道中淤積，稱為不淤流速。渠道中的允許流速應(yīng)5大于不淤流速。3.復(fù)式斷面明渠均勻流的水力計(jì)算大型渠道，如果水深變化較大，常采用復(fù)式斷面，如圖所示。由圖中可以看出，當(dāng)流量較小時(shí)，水流集中在較深的部分，稱為深槽；當(dāng)流量較大時(shí)，水流溢出深槽而漫及渠堤，一部分水流從灘地上流過(guò)。對(duì)復(fù)式斷面明渠進(jìn)行水力計(jì)算時(shí)，可以將復(fù)式斷面分成幾個(gè)單式斷面，如圖中的（1）、（2）、（3）。各個(gè)單式斷面都有各自的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e、濕周、水力半彳5和粗糙系數(shù)，但對(duì)各單式斷面來(lái)說(shuō)，底坡i是相同的。各個(gè)單式斷面的流量可用下式計(jì)算a（2）高水位灘地xi深槽X2灘地ba中水位Qi=AG同、Q2=A2C2

6、)RiQ3=A3c3、；兩Q二QiQ2Q3由疊加原理得8.2習(xí)題解析8.1 試從理論上證明，明渠恒定均勻流的基本公式可采用v=CVR?。Jz、水力坡度J和底坡i相解：明渠均勻流是指運(yùn)動(dòng)要素沿程不變的流動(dòng)，所以明渠均勻流動(dòng)的水面坡度等，即J=Jz=i習(xí)題8.1圖明渠均勻流既然是一種等速直線運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有加速度，則作用在水體上沿流動(dòng)方向的力必然是平衡的，如圖所示。取出斷面1-1和2-2之間的水體進(jìn)行分析，作用在水體上的力有重力G、阻力F,兩端斷面上的水壓力Pi和P2,沿流動(dòng)方向?qū)懥Φ钠胶夥匠痰肦+Gsin日-F-P2=mas對(duì)于均勻流動(dòng)，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e、水深、斷面平均流速沿程不變，故E=P2,因?yàn)闆](méi)有加

7、速度，as=0,上式可寫成F=Gsin-重力G="；AL,%=QJ,阻力為F=%/L=Kv2L,代入上式得Kv2L=ALsin由上式得v=A$in1一.Rsin?,K.K因?yàn)榫鶆蛄鞯腏=Jz=i=sine,令C=JTTK,代入上式得v=CRi8.2 導(dǎo)出矩形明渠均勻流正常水深與流量的關(guān)系式。已知矩形渠道的寬度b=5m,粗糙系數(shù)n=0.014,3流量Q=11.0m/s,ho=1.06m,求底坡i解：b1設(shè)矩形渠道的寬度為b,正常水深為習(xí)題8.2圖h0,底坡為i,粗糙系數(shù)為n。過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為Ao=bh0,濕周為b=b+2h°,水力半徑為Ro=A。/?=bh°/(b+2

8、h0),謝才系數(shù)為C°=R0/6/n,則流量為Ao_i/6bh02/3.i.bh02/3-i(bh。)'4Q=A0C0R0i=RorRoi=Rovi=bho()=27a(1)nnnb2hon(b2ho)上式即為矩形斷面均勻流流量的計(jì)算公式，由上式可得正常水深h0的迭代公式為ho/nQ3/5二()b%i2ho(10b)2/5nQ212h04/3i=(T)hT(1T)=(0.014112121.064/31)E(1丁)二°OO1280O(3)3一，試8.3 已知矩形渠道底寬b=5m,粗糙系數(shù)n=0.014,流量Q=11.0m/s,底坡i=1/800用流速分布的對(duì)數(shù)律求渠

9、道的正常水深h0。解:流速分布的對(duì)數(shù)律表示的流量公式為Q=Ao(2.5lnR0+6.0)1r(1)式中，&=(7.66n而)6=(7.66M0.014Mt98)6=1.4316父10，m,Ao=bh0,Ro=bho/(b2ho)代入式(1)得bho.ghoih0Q002.5ln06.012h0/b(12%/b)由上式得正常水深h0的迭代式為665QJ2ho/bb,gi2.5lnhb.(12ho/b)一6.02/3(3)將b=5m,n=0.014,Q=11.0m3/s,i=1/800,=1.4316父10）m代入上式得h0=1.064m。8.4 試用水力最佳斷面推求矩形斷面的寬度與正常水

10、深的關(guān)系。已知矩形渠道的底坡i=1/2000,3通過(guò)的流量Q=5m/s,粗糙系數(shù)n=0.02,試用水力最佳斷面設(shè)計(jì)渠道的寬度和高度（要求超高0.4m）。解：（1）求矩形斷面的水力最佳斷面矩形斷面的面積為A。=bh0濕周為=b2h°對(duì)式（1）和式（2）求導(dǎo)得如二hdh00肅b=0由式（4）得db/dh0=二，代入式（3）得ddh0dbc八2=0dh0b=2h0(1)(2)(3)(4)(5)（2）用水力最佳斷面設(shè)計(jì)渠道的寬度和高度矩形斷面渠道的流量公式為i(bh0)5/3%(b2h0)2/3nQibh02/3由上式得bh0(0)b2h。將式（5）代入上式得2h；（包）2/3=半=等絲且=

11、4.472142，i.1/2000解得h°=1.61m,b=2h0=2父1.608=3.22m,渠高為h°十超高=1.61+0.4=2.01m。38.5 有一鋼筋混凝土渠道，通過(guò)的流量Q=11.5m3/s,渠道底坡i=0.0005,粗糙系數(shù)n=0.014,寬深比?0=1.6,求均勻流的水深及渠底寬度bo解：Q=A0C0,R°i=冬R0/6.R°i=%Ro/3inn因?yàn)锳0=bh0,7=b+2h0,R0=牛=皿一，代入上式整理得b2h0bh0(bh0b2ho)2/3nQi依題意，b=1.6ho,代入上式得_8/30.93182honQ0.01411.5、.

12、0.0005=7.2習(xí)題8.6圖解得h0=2.153m,b=1.6h0=1.6x2.153=3.444m8.6 有兩條矩形斷面渡槽，如圖所示。其過(guò)水?dāng)嗝婷娣e均為5m2,粗糙系數(shù)n1=n2=0.014,渠道底坡i1=i2=0.004,問(wèn)這兩條渡槽中水流作為均勻流時(shí)，其通過(guò)的流量是否相等？如不等，流量各為多少？解：已知n1=n2=0.014,i1=i2=0.004,A01=A02=5m2,則A0155A0255。R01一一一R02一一一一一一1521712.5226.5由于R01豐R02,所以流量Q1#Q2。其流量各為Q1=A01R(21/3i=5(5)2/3.0.004=18.05m3/sn10

13、.0147-A02_2/3552/33Q2=-R02i=(一).0.004=18.96m/sn20.0146.5由此題可以看出，雖然渠道的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e相同，粗糙系數(shù)相同，底坡相同，但由于水力半徑不同，其流量也是不同的。習(xí)題8.7圖8.7 試導(dǎo)出梯形斷面明渠均勻流的流量公式和正常水深的迭代式。解：由梯形斷面的幾何形狀得Ao=(bmh0)h0=b2.1m2h0_(b_mhb)ho_b21m2hoCo=1瞰nQ=AoCo.Roi=Ao-R2/3.in將A。、R0代入上式得Ci(bvQmh0)hc5/3寫成迭代式得h0=-8.8有一干渠通過(guò)的流量(b2、12,、2/3mhg)nQ22/33/5一(b2

14、1mh0)Jbmho3Q=13m3/s,渠道底坡i=1/3500,粗糙系數(shù)n=0.025,邊坡系數(shù)m=1.5,已知渠道正常水深h°=2m,求干渠的底寬b。解：A0=(bmh0)h0=(b1.52)2=62b=b21m2h0=b2.11.522=b7.2162b7.21b12/3.bh062b2/3.Q=A0R0.i=().inn7.21b由上式解得_2/5_2/5nQ./5(7.21b)00.02513./5(7.21-b)2/50b=()-3=()-3=2.9466(b7.21)-3.i21/35002解得b=5.023m。8.9有一堅(jiān)實(shí)粘土的梯形渠道，已知底寬b=8m,正常水深h

15、O=2m,粗糙系數(shù)n=0.0225,渠道底坡i=0.0002,通過(guò)的流量Q=17.72m3/s，試求渠道的邊坡系數(shù)。解：A0=(bmh0)h0=(82m)2=164m=b2.1m2h0=82,1m22=841m2R°"=_16_4m_841m2164m841m2由上式解出/nQx3/52、2/5,0.022517.72、3/52、2/52、2/5-m=()(21m)-4=()(2.1m)-4=3.2273(21m)-44J40.0002由上式迭代求出m=1.513。8.10有一梯形斷面渠道，已知底寬b=4m,邊坡系數(shù)m=2.0,粗糙系數(shù)n=0.025,渠道底坡3i=1/20

16、00,通過(guò)的流量Q=8m/s,試求渠道中的正常水深。解：由題8.7得10rnQ22/3,3/5(b2,1mho)h.ho-,bmh0將已知數(shù)據(jù)代入得h0=3.7233(42'5ho)42ho由上式迭代求得h0=1.391m。8.11 一梯形土渠，按均勻流設(shè)計(jì)。已知正常水深ho=1.2m,底寬b=2.4m,邊坡系數(shù)m=1.5,粗糙系數(shù)n=o.o25,底坡i=o.oo16。試用謝才公式和流速分布的對(duì)數(shù)律公式求渠道的流速和流量。解：2A=(bmh0)h0=(2.41.51.2)1.2=5.04m2=b21m2ho=2.42.11.521.2=6.727mRo=&=A0±=0

17、.7493m6.727按謝才公式求流速和流量v=CjR7=-R0/6JR07mR；3、'：=-o0.74932/3xv0.0016=1.32m/s,nn0.0253-Q=A0v=5.041.32=6.652m/s按對(duì)數(shù)律公式求流速和流量：=(7.66n.g)6=(7.660.025,9.8)6=0.04642mRo0.7493v=(2.5ln06.0).gRoi=(2.5ln6.0).9.80.74930.0016=1.404m/s0.04642_一_3Q=AoV=5.O41.404=7.076m/s8.12 梯形渠道的流量Q=30.7m3/s,底坡i=0.0009,邊坡系數(shù)m=1.5

18、,粗糙系數(shù)n=0.025,渠道的寬深比Po=1.6,求正常水深h0和底寬bo解：由題8.7得ho=rnQ22/313/5(b21mho)-ibmho0.02530.7二(0.0009)3/5(1.6211.52)2/5ho(1.61.5)h0/5=4.365h1/5解得ho=2.512m。b=1.6ho=1.6父2.512=4.02m。8.13 某干渠斷面為梯形，底寬b=5m,邊坡系數(shù)m=2,底坡i=0.00025,粗糙系數(shù)n=0.0225,計(jì)算水深為2.15m時(shí)輸送的平均流速及流量。如底坡不變，粗糙系數(shù)變?yōu)閚=0.025,流量有什么變化？如粗糙系數(shù)不變，底坡變?yōu)閕=0.00033,流量又有什

19、么變化？解：(1)計(jì)算流量和平均流速Ao=(bmh0)h0=(522.15)2.15=19.995m211=b21m2h0=52.1222.15=14.615mR0A019.99514.615=1.368m=c,Rorr；'兩喏/3*二n-nR0A0=3918.485=2.11mv=C<R0i=-R0/6VR0i=°R；/3%二Q=A0V=3912.11n0.02572/30.0257.0.00024=4n二391.3682/3.0.00025=0.866m/s0.0225Q=A0V=19.9950.866=17.32m3/s(2)底坡不變，粗糙系數(shù)變?yōu)閚=0.025v

20、1R2/3,i=1-1.3682/3.0.00025=0.78m/sn0.025Q=A0v=19.9950.78=15.584m3/s(3)粗糙系數(shù)不變，底坡變?yōu)閕=0.00033v=1Ro/3i=11.3682/3.0.00033=0.995m/sn0.02253-Q=A0v=19.9950.995=19.894m/s由以上計(jì)算可以看出，如底坡不變，粗糙系數(shù)增大，流量減??；如粗糙系數(shù)不變，底坡i增大(變陡)，流量增大。如本題的流量增大為AQ=19.89417.32=2.574m3/s,可見正確地選擇粗糙系數(shù)是至關(guān)重要的。8.14 有一梯形斷面渠道，流動(dòng)為均勻流。今欲測(cè)定該渠道的粗糙系數(shù)n,在

21、站號(hào)1+780.00處測(cè)得水面高程為V266.825m,在3+10.00處為266.525m,渠底寬度b=10m,邊坡系數(shù)m=1,正常水深h0=3m,流量Q=39m3/s，試求粗糙系數(shù)n。解：樁號(hào)1+780.00至樁號(hào)3+10.00的距離為L(zhǎng)=220+1000+10=1230m水面差為z=266.825-266.525=0.3m。水力坡降為J=Jz=i=.：z/L=0.3/1230=0.0002442A。三(bmh0)h0=(1013)3=39m2=b21m2hb=1021123=18.485m由上式求得n=0.0257。8.15 實(shí)測(cè)某小河的一段河道，二測(cè)站控制的河段長(zhǎng)度L=800m,當(dāng)在二

22、測(cè)站通過(guò)的流量_3Q=25m/s時(shí)，由水文站測(cè)得水位分別為乙=177.50m,Z2=177.30m,過(guò)水?dāng)嗝婷娣e分別為A1=27.2m2,A2=24.0m2,濕周分別為乙=11.7m,七=10.6m,試求該河段的粗糙系數(shù)n。解：12該河段的平均面積、平均濕周和平均水力半徑分別為112A0=(AA2)=(27.224)=25.6m2211=(12)=(11.710.6=)11.15m22%二&二著:2296mZi-Z2177.50-177.300.280080014000A0d2/3.n=Ro，iQ25.62/32.296.1/4000=0.0282258.16做洪水調(diào)查時(shí)，在一清潔平直

23、的河段上,發(fā)現(xiàn)一次洪水兩處的洪痕相距為2000m,分別測(cè)的洪痕高程V1=40.0m、V2=36.0m,過(guò)水?dāng)嗝婷娣e分別為A1=350m2、A2=400m2,濕周分別為乙=125m、7.解：2=150m,試求洪水的洪峰流量。112Ao(AiA2)(350400)-375m222(112)(125150)=137.5m2375=2.7273m137.5402=0.0022000對(duì)于清潔、順直的河道，粗糙系數(shù)查表8-2得n=0.03,則這次洪水的最大流量為R0=h0/2。Qmax=A0R2/3.i-3752.72732/3.0.002=1092m3/sn0.038.17 試導(dǎo)出梯形渠道水力最佳斷面寬

24、深比的關(guān)系，并證明其水力最佳斷面的水力半徑解:梯形斷面的面積和濕周為Ao=(bmho)ho=b21m2ho根據(jù)水力最佳斷面的條件dAdh0:bmh0h0(-dbm)=0dhoddho，1m2=013b2(3)由以上一式消去db/dh0,得P0=2(、1+m-m)h0上式即為梯形斷面的水力最佳斷面寬深比的關(guān)系式。將式(3)代入式(1)和式(2)分別得A0=(2.1m2-2m)mh2=(21m2-m)h；=2(.1m2-m)h02.1m2h0=2(2.1m2-m)h02.2.A021m-mh0h0(4)R0=2(21m2-m)h028.18 有一梯形斷面明渠，已知渠中通過(guò)的流量Q=20m3/s,邊

25、坡系數(shù)m=1.5,底坡i=0.0004,粗糙系數(shù)n=0.014,試按水力最佳斷面設(shè)計(jì)明渠(要求超高0.5m)。解：由上題已得梯形渠道的水力最佳斷面的寬深比為b=2(.1m2-m)=2(11.52-m)h0=0.6055h0A-(2.1m2-m)h；-(2.11.52-1.5)h；=2.1055h；水力半徑為R0=h0/2。Q=A01r；/3.i=八九邑產(chǎn)3.0.0004=1.895h；/3=20n0.0142由上式得h0=2.42m,b=0.6055h0=0.6055M2.42=1.465m,渠高為h00.5=2.420.5=2.92m38.19 一梯形斷面渠道，邊坡系數(shù)m=1.5,粗糙系數(shù)n

26、=0.025,通過(guò)的流量Q=30m/s,水流為均勻流。由于航運(yùn)要求，取正常水深h0=2m,為防止渠道淤積，取平均流速v=0.8m/s,試求渠底寬度b和比降i。解：A0=(bmh0)h0-(b1.52)2=2(b3)-Q/v-30/0.8-37.5m2b=37.5/2-3=15.75m=b21m2h0=b2.11.522=15.757.21=22.96mcA037.5R0=1.633322.96vR1/6.RiJ靖i=11.63332/3.i=55.475.i=0.8nn0.025解得i=0.000208。8.20 有一梯形斷面渠道，底坡i=0.0005,邊坡系數(shù)m=1,粗糙系數(shù)n=0.027,

27、過(guò)水?dāng)嗝婷娣e2A。=10m,求水力最佳斷面及相應(yīng)的最大流量。如改為矩形斷面，仍欲維持原流量，且其粗糙系數(shù)和底坡均不變，問(wèn)其最佳尺寸如何。解:14對(duì)于梯形斷面，水力最佳斷面的寬深比為b=2(,1m2/3.、i2rLm)h2/3i(:m)5/38/3Q=ARmi=(P+m)hj=,h(4)nn21m2n(；2.1m2)2/3對(duì)于梯形斷面，其水力最佳斷面為=2(V1+m2-m)(5)將式(5)代入式(1)和式(4)得A(m,h)=(2山+m2m)h2(6)-m)h0=2(,.112-1)h0=0.8284hoA0=(21m2-m)ho=(2,112-1)h2=1.8284h(2h0=4/1.8284

28、=10/1.8284=2.339mRo=h0/2=2.339/2=1.1693mb=2(.1m2-m)h0-2(112-1)h0-0.8284h0-0.82842.339-1.937m12/3r102/3i3QA0-R0i=1.1693.0.0005=9.192m/sn0.027對(duì)于矩形斷面，b=2h0,A0=bh0=2h；,7=b+2h0=2h0+2h0=4h0,R0=h0/2,2.則Q=A0lR；/3、i=_2h_(h0)2/3.0.0005=1.0434h；/3=9.192n'0.0272解得h0=2.261m,b=2h0=22.261=4.523m8.21使用拉格朗日法證明梯形

29、渠道水力最佳斷面的邊坡系數(shù)m=1/J3=tan30二是最佳邊坡系數(shù)。證：梯形明渠的過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA和流量Q可以分別表示為b2-2A=(b+mh)h=(一+m)h=(B+m)h(1)h9b9-9/=b+2v1+mh=(+2V1+m)h=(P+2V1+m)h(2)hA(:m)h2(:m)hR=.-=,(3)(:2.1m2)h(:21m2)(11)(m,h)=0A(m,h)Am(m,h)；:m=(Tmh2式中,(m,h)0232mm(m,h)=2(：mn1m2Ah(m,h)=-A(m,h)=2(21m2-m)h；:h'(m,h)_2/38i2.,5/3h(m,h)=2(21m-m)h；:h3n

30、將式(12)代入式(7)、(8)得/2m2-2/3i/2m8/3(1)h2'(1)h=01m2n1m2(13)2(2v1+m2-m)h+2/3父8口兒(241+m2m)h5/3=0(14)3n將式(13)、(14)和式(7)寫在一起整理得/2m八2/342/32(121)(1+2兒h)h=0(15)1 mn4/3.2 2-i2/3(21m-m)(1h)2h=03 n(16)由式(15)得2m-1m2-1=0,即2/3(2.1m2-m)h8/3-Q=0n_2m_1m21m、3cot60=tan30(17)(18)8.22某梯形渠道，要求通過(guò)的流量Q=8m3/s,粗糙系數(shù)n=0.020,底

31、坡i=0.0002,邊坡系數(shù)m=1.5,按水力最佳斷面設(shè)計(jì)渠道斷面尺寸。如果改用m=1/<3,求流量不變時(shí)渠道的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與原設(shè)計(jì)渠道過(guò)水?dāng)嗝婷娣e之比。解：b-2(.1m2-m)=2(.11.52-1.5)h01-0.60555hdA01-(2dm2m)h01=(2,11.52-1.5)畸=2.10555h01工'-b21m2hd=(0.60555211.52)01=4.2111h01二心1/2162,12/3.2.10555hnihoi2/38/3Q=AniRni,i=()0.0002=0.938hni=8n0.0202由上式解出hm=2.234m,則渠底寬度和過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為

32、bi=0.60555h0i=0.605552.234=1.353m41=2.i0555h；i=2.i05552.2342=i0.508m2如果改用邊坡系數(shù)m=i/J3,則b2-2(.im2-m)h02=2(.i(i/.3)2-i/.3)%=i.i547h02A02=(2.im2-m)h；2=(2i(i/,3)2-i/.3)h02=i.732ih；2=b2im2h02=(i.i5472,i(i人3)2)h02=3.464ih02R02=h02/2i2/3i.732ih02“02、2/38/3-Q=A02R02i=()70.0002=0.77i6h02=8n0.0202由上式解出h02=2.404

33、m,則渠底寬度和過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為b2=i.i54702=i.i5472.404=2.776nA02=i.732ih02=i.732i2.4042=i0.0im2A02/Am=i0.0i/i0.508=95.2%改用m=i/J3后，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為原設(shè)計(jì)的渠道面積的95.2%。8.23試證明，當(dāng)梯形斷面的邊坡一定時(shí)，父b=2htan(u/2)時(shí)的梯形渠道是水力最佳斷11/h。證：習(xí)題8.23圖梯形斷面的面積和濕周為A0=(b+mh0)h0(i)?=b+2di+m2h0(2)由式(i)得b=&mh0(3)h0將式(3)代入式(2)得？=&mh0+21+m2h0(4)h0根據(jù)水力最佳斷面

34、的定義，當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA0為常數(shù)，濕周芷最小時(shí)，通過(guò)的流量最大，則有AA-A0-m+2/i+m2=0(5)二h0h0將式(i)代入上式得b=2h0(Ji+m2-m)(6)一cos-：,221因?yàn)閙=cota=,1+m=1+cota=2-,代入上式得sin二sin171b=2ho（sin二8.24試證明，梯形渠道斷面的兩側(cè)壁邊坡未被指定時(shí)，水力最佳斷面是正六邊形的下半部分。證：已知梯形渠道水力最佳斷面的寬深比為cos;-)sin;1一cos;=2hoa=2hotan2hobo-=一=2(.1m-m)ho習(xí)題8.24圖過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為Ao=(bmho)ho將式（1）代入式（2）得濕周為將式（1）代入

35、得A=(2.1m2-m)h：=b21m2ho=2(21m2-m)ho(3)(4)(5)由式（3）得ho=21Aom2-m(6)將式（6）代入式（5）得對(duì)上式求導(dǎo)得=2(Ao(2,1m2-m)F2m/1m2-1m.2.1m2-m)2.Ao=o(8)解得2m=41+m2,則m=1/7§=cot6o，=tan3o二。由上題已得b=2hotan(o(/2),對(duì)于正六邊形，a=6。,所以由圖中的幾何關(guān)系得b=2hotan(u/2)=2hotan3o°=2mho=2><1/V3ho=2/V3ho。sin6oo=h0/b,所以b=ho/sin6oO=2/J3ho。由此證的水力

36、最佳斷面.是正六邊形的下半部分。8.25求邊坡系數(shù)分別為m1和m2的不對(duì)稱梯形斷面的水力最佳斷面的條件。解：不對(duì)稱梯形斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為m1hom2習(xí)題8.25圖1,1,Ao=-(2bm1hom2ho)ho=bho(m122m2)h；濕周為=b1m；ho1m2ho對(duì)式（1）和式（2）求導(dǎo)得她二b,(m1m2)ho%型dhodho(3)dhodho(4)由式（4）得-db-=-(.1mj1m2)dho(5)665ddb2-2=.1m11m2=o將上式代入式（3）得-b二1ml21m；_(m1m2)h0(6)上式即為不對(duì)稱梯形斷面的水力最佳斷面的條件。8.26試導(dǎo)出三角形渠道均勻流的水力計(jì)算公式

37、。已知底坡i=0.002,邊坡系數(shù)m=1.5,粗糙系數(shù)n=0.015,正常水深h0=1.5m，試求三0習(xí)題8.26圖角形渠道通過(guò)的流量。解：設(shè)三角形斷面如圖所示。兩邊坡的夾角為a,邊坡系數(shù)為m,底坡為i,粗糙系數(shù)為h02A0=-2mh0_=mh0=21m2h0mh02v1m2h02、1m2(3)21.流重為Q=A0C0,R°i=mh0-(mho-)1/62/由上式可解出h0為mhb)i/62x1m2(4)mhomho,21m2、.1一2）m2/3(5),nQ2、2/3,3/8h0=5/3(21m)m、i(6)如果用流速分布的對(duì)數(shù)率，則(7)Q=A0(2.5ln06.0).gR0i=m

38、h02(2.5ln®6.0).gR0i將式（3）代入得2mh0Q=mh02.5ln(1)+6.02l1m?gmh°i,21m2(8)求三角形斷面通過(guò)的流量。將i=0.002,m=1.5,n=0.015,h0=1.5m代入式（5）,i2Q=mh0(nmho2.1m2)2/30.0022/1.51.5、2/33/1.51.5()=7.35m/s0.0152,11.52如果用對(duì)數(shù)率公式，則二(7.66n,g)6=(7.660.015.9.8)6=0.002166m由式（3）得mhuRm1.51.52d1.52=。624665由式（7）得Q=mh2(2.5lnR06.0)gRi=1

39、.51.52(2.5lnA0.6246)9.80.6240.002=7.52m3/s0.0021661-1/m22.11/m(1)(2)(3)(4)8.27 試證明三角形渠道的水力最佳斷面的邊坡系數(shù)m=1.0。證明：A0=mh；=2.1m2h0由式(1)得h0=/A0Tm將式(3)代入式(2)得2=2vi+m2v'A0/m為了求使?jié)裰?最小的m值，對(duì)上式求導(dǎo)并令其等于零，則由上式解得m=±1,因?yàn)檫吰孪禂?shù)不能取負(fù)值，所以m=1.0,證畢。8.28 已知三角形渠道，邊坡系數(shù)m=2.5,底坡i=0.002,粗糙系數(shù)n=0.015,設(shè)計(jì)流量Q=13.2m3/s,求渠道的正常水深和過(guò)

40、水?dāng)嗝婷娣e；如果取邊坡系數(shù)m=1.0,求渠道的正常水深和過(guò)水?dāng)嗝婷娣e。解：由上題的公式(6)得.rnQ2.2/3.3/8.0.01513.22.2/3.3/8h0=5/3(21m)=5/3(2.12.5)=1.5mmJ2.50.002A0=mh2=2.51.52=5.625m2取邊坡系數(shù)m=1.0,則,nQ22/33/80.01513.222/33/8八h0=5/3(2,1m)=5/3(211)=2.266mm、i1，0.002A0=mh>12.2662=5.133m2由計(jì)算可以看出，當(dāng)?shù)灼?、粗糙系?shù)、流量相同時(shí)，用水力最佳斷面計(jì)算的面積小，本習(xí)題用兩種算法求得的面積相差了8.74%o8

41、.29 如圖所示圓形斷面，設(shè)圓的半徑為r,水深所對(duì)應(yīng)的圓心角為邛°,渠道中的水深為小,底坡為i,粗糙系數(shù)為n,試導(dǎo)出流量的計(jì)算公式。解：由圖中的幾何關(guān)系可得習(xí)題8.29圖2A0=)(中0sin*0)(1)/=心0(2)0=2arccos(112h0/d)(3)19(4)水面寬度為h0二r(1-cos2(5).ir8/3(0-sin0)5/3n25/3二:/3(6)b=2.(2r二ho)ho(7)8.30一無(wú)壓引水隧洞直徑d3=7.5m,通過(guò)的流量Q=200m/s,粗糙系數(shù)n=0.013,底坡i=0.002,求渠道的正常水深解：h0r(:0-sin;:0)0由上題的流量計(jì)算公式8/3(

42、：in：0)5/35/3：2/300.0023.758/3(0-sin")"0.01325/3：2/305/3一二36.7794(0-sin)5/3：2/30將Q=200m3/s代入上式得q、=0.078860-sin0)5/2解上式得中=232.21123221h0=r(1-cos,)=3.75(1-cos)=5.4m22水面寬度為b=2(2=h0)h0=2,(23.7515.4)5.4=6.735m習(xí)題8.30的流量。8.31 試?yán)L制圓管的水力特性曲線。并根據(jù)繪制的曲線計(jì)算解:圓管的水力特性曲線是為了簡(jiǎn)化計(jì)算而繪制的查圖曲線。其繪制方法為：設(shè)圓管的直徑為d,(3)相對(duì)面

43、積為Ar2(:-sin)(:-sin)A02二r22-(4)21Q0、流速V。、水力半徑R。、斷面面積A。，渠道的底坡為i,粗糙系數(shù)為n,先計(jì)算出滿管時(shí)的流量再求出各不同水深時(shí)的流量Q、流速V、水力半徑R、斷面面積A,做出，/70、A/A0、R/R0、V/V0、Q/Q0關(guān)系曲線，供計(jì)算時(shí)查算。由上題已知h=r(1-cos)2=2arccos(1-2h/d)相對(duì)水力半徑為相對(duì)流速為相對(duì)流量為Rr(：P-sin)/(2：)qsin:R0"r/2一vR2/3i/nR2/3.:-sin2/3X=R：/3,i/n=(兀)QAv(:-sin:);-sin2/3=()QoA0V02二(5)(6)計(jì)

44、算時(shí)，假設(shè)不同的h/d,由式（2）求出平，然后由式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）計(jì)算？/70、A/Ao、R/R0、v/v。、Q/Q0,計(jì)算結(jié)果如下表所示，繪制h/d與上述參數(shù)的關(guān)系見下圖所。圓形斷面水力特性計(jì)算表h/d中（°）中（rad）A/A0R/R0v/v0Q/Q00.173.7401.2870.2050.0520.2540.4010.0210.2106.2601.8550.2950.1420.4820.6150.0870.3132.8442.3190.3690.2520.6840.7760.1960.4156.9262.7390.4360.3740.8570.9020.

45、3370.5180.0003.1420.5000.5001.0001.0000.5000.6203.0743.5440.5640.6261.1111.0720.6710.7227.1563.9650.6310.7481.1851.1200.8380.8253.7404.4290.7050.8581.2171.1400.9780.9286.2604.9960.7950.9481.1921.1241.0660.95308.3165.3810.8560.9811.146.1.0951.0741.00.90.10.30.50.70.91.11.3二1T0.81/0.7h,d0.60.5f,0.0181

46、/d/2jf;QQ010.4AA0110.30.20.14班二RR0J.vv00.10.30.50.70.91.11.3習(xí)題8.31計(jì)算圖對(duì)于習(xí)題8.30,也可以用上面的計(jì)算圖進(jìn)行計(jì)算。首先計(jì)算滿管流動(dòng)時(shí)的流量。A0-二r2=3.752=44.179m20二2二二2二3.75=23.562mR0=A0/0=44.179/23.562=1.875mQ0=1A0Ro/3.i=-44.1791.8752/30.002=231.1n0.013Q/Q0=200/231.1=0.865在圖中的橫坐標(biāo)找出0.865,作垂直于橫坐標(biāo)的直線交Q/Q0曲線，在此曲線上作平行于橫坐標(biāo)的直線交于縱坐標(biāo)軸，求得h/d=

47、0.7181,則h=0.7181d=0.718父7.5=5.39m。8.32 混凝土圓管直徑d=1.0m,粗糙系數(shù)n=0.016,底坡i=0.01,求水深h=d/4、h=d/2和22h=3d/4時(shí)的流量。解：圓形管道的流量計(jì)算公式為cir8/3(0-sino)5/30.010.58/3(o-sino)5/3noJ0-sino)5/3Q=573-273=-5732/3=0.31市n20.01625/3葉葉0=2arccos(1-2h0/d)將h=d/4=1/4m、h=d/2=1/2m、h=3d/4=3/4m代入上式分別得中°=120°、180、240。，將此角度代入流量公式分

48、別得：當(dāng)h=(1/4)m時(shí)，Q=0.267m3/s,h=(1/2)m,Q=0.974m3/s,h=(3/4)m,._3Q=1.776m/s。8.33 有一條混凝土下水管道，已知直徑d=1.0m,粗糙系數(shù)n=0.014,底坡i=0.004,試求：(1)滿管時(shí)的流速V0及流量Q。；(2)充滿度h/d=0.7時(shí)的流速及流量；(3)充滿度h/d=0.75時(shí)，欲使管中通過(guò)的流量Q=2m3/s,選擇管徑d0解：(1)求滿管時(shí)的流速v0及流量Q0222A0=二r=:0.5=0.25二m0=2二=20.5二-二mR0=A。/0=0.25二/=0.25mQ0=&R；/3，i=05-0.252/3.0.0

49、04=1.408m3/sn0.014v0=Q0/A0=1.408/0.25蹙=1.793m/s(2)求充滿度h/d=0.7時(shí)的流速及流量h=0.7d=0.71.0-0.7mq：=2arccos(1-2h/d)=2arccos(1-20.7/1.0)=227.1562_2r2.0.52227.156二2A=(-sin)=(-sin227.156)=0.5872m222180cr(:-sin)0.5(227.156二/180-sin227.156)R=0.2962m2:2227.156二/18012/3.0.0042/33Q=AR.i0.58720.2962=1.179m/sn0.014v=Q/A

50、=1.179/0.5872=2.01m/s(3)當(dāng)h/d=0.75時(shí)，欲使管中通過(guò)的流量Q=2m3/s,求管徑d0=2arccos(1一2h20.75)=2arccos(1)=240238/3.x5/3(%-sin0)5/3-：o/38/3.0.004r-57-30.0142(240二/180-sin240)2/3(240二/180)5/38/3-=8.153r二2解得r=0.59m,管徑為d=2r=2父0.59=1.18m。8.34在直徑d=1.2m的圓形混凝土下水道中，為了使通過(guò)1.3m3/s雨水的水深為0.85d,下水道中的底坡應(yīng)為多少？取粗糙系數(shù)n=0.016。解：h=0.85d=0.851.2=1.02m-sin0)0.62268.854二2(180:=2arccos(1-2h/d)=2arccos(1-20.85)=268.854、2-sin268.854)=1.0246m=r0=0.6268.854二/180=2.8154mR=A/=1.0246/2.8154=0.364m_1_2/3-i_2/3_Q=-AR、.i=1.02460.364=32.642.i=1.3n0.016iu(1.3/32.642)2=1.58610.8.35試證明圓形斷面的流速和流量在某一小于直徑(即不滿流時(shí))的水深處達(dá)到最大值。證明：已知曼寧公式的流速表達(dá)