斷裂力學(xué)講義(第二章)

1、1第二章第二章 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 2計(jì)算 值的幾種方法 K1.數(shù)學(xué)分析法:復(fù)變函數(shù)法、積分變換；2.近似計(jì)算法：邊界配置法、有限元法；3.實(shí)驗(yàn)標(biāo)定法：柔度標(biāo)定法；4.實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析法：光彈性法.32-1 2-1 三種基本裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算三種基本裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算一一. .無(wú)限大板無(wú)限大板型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 0lim2KZ計(jì)算 的基本公式 K1.在“無(wú)限大”平板中具有長(zhǎng)度為 的穿透板厚的裂紋表面上,距離 處各作用一對(duì)集中力P P 2axb ReImxZyZReImyZyZRexyyZ 選取復(fù)變解析函數(shù)： 22222()pz abZzb4邊

2、界條件：邊界條件：,0 xyxyz,za 除去 處裂紋為自由 表面上 zb 0,0yxy如切出 坐標(biāo)系內(nèi)的第一象限的薄平板，在 軸所在截面上內(nèi)力總和為P P xyx以新坐標(biāo)表示 22222 ()()(2 )paabZaba 2202lim2( )()p aKZab52.在無(wú)限大平板中,具有長(zhǎng)度為 的穿透板厚的裂紋表面上,在距離 的范圍內(nèi)受均布載荷q作用 2a1xa 利用疊加原理 集中力 qdx222()q adKdxax2202()aq aKdxax令 22coscosxaaxacosdxad 6111sin()10cos22sin ()cosaaaaaaaKqdqa當(dāng)整個(gè)表面受均布載荷時(shí) 1

3、2sin ( )aaaKqqa3.受二向均布拉力作用的無(wú)限大平板,在 軸上有一系列長(zhǎng)度為 ,間距為 的裂紋 x2a2b單個(gè)裂紋時(shí) 22zZza7邊界條件邊界條件是周期的:,yxz 0,22yaxaabxab 0,0yxy22sin2(sin)(sin)22zbZzabb8采用新坐標(biāo): za22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb 當(dāng) 時(shí)，0sin,cos1222bbbsin()sincoscossin22222aaabbbbbcossin222aabbb 2222sin()() cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb22sin()(sin)2co

4、ssin22222aaaabbbbb90sin22cossin222abZaabbb0sin2lim22 tan21cossin222aabKZbbaabbb2tan2baaab 2tan2wbaMab取 -修正系數(shù)修正系數(shù),大于1,表示其他裂紋存在對(duì) 的影響 K 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（ ）可不考慮相互作用,按單個(gè)裂紋計(jì)算. 2125ab10二二. .無(wú)限大平板無(wú)限大平板、型裂紋問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算型裂紋問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算1.型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式(無(wú)限大板): 0lim( ) 2KZ2.無(wú)限大平板中的周期性的裂紋,且在無(wú)限遠(yuǎn)的邊界上處于平板面內(nèi)的純剪切力作用. 2

5、2sin2( )(sin)(sin)22zbZ zzabb22sin()2( )sin()(sin)22abZaabb1102lim2( )tan2baKZaab 3.型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式(無(wú)限大板):0lim2( )KZ4.型周期性裂紋: 2tan2baKaab 123-2 3-2 深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1950年,格林和斯內(nèi)登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變得到橢圓表面上任意點(diǎn),沿 方向的張開(kāi)位移為 y1222022(1)xzyyac其中: 202(1) ayE 第二類(lèi)橢圓積分 131222220sin( ) cosadc

6、1962年,Irwin利用上述結(jié)果計(jì)算在這種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子 原裂紋面 11cos,sinzx222222221111221xzc xa za cac2222sincosacca14假設(shè):橢圓形裂紋擴(kuò)展時(shí)rf1f2222sincosrrfcaac邊緣上任一點(diǎn) 有 ( ,)p x z1()sin(1) sin(1)xrff x 1()cos(1)zrf z 11( ,), ( ,)p x zp x z均在 的平面內(nèi) 0y 222242222(1)c xa zfa ca c 15新的裂紋面仍為橢圓 長(zhǎng)軸 (1)cf c 短軸 (1)af a 22002(1)2(1) (1)(1)af ayf

7、yEE 原有裂紋面: 222220()1xzyacy擴(kuò)展后裂紋面: 222220()1xzyacy以 ， 代入 1xx 1zz 原有裂紋面的邊緣 向位移 yy162222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc 2222221111112222221 (12 )(12 )12 ()xzxzxzfffacacac 2 f2222200022 (1)2yfyffyfy2222sincosrfcaac22222202sincosryycaac 17設(shè)各邊緣的法向平面為平面應(yīng)變,有:3(21)sinsin4222KrvkG34k當(dāng) 時(shí)， 24(1)2rvKE222222220

8、2216(1)sincos2IryrcaKacE2222222021E()sincos4 1IKycaac18202(1) ayE 14122222( ) (sincos)IaKcac在橢圓的短軸方向上，即 ，有 2IImaxKK -橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 當(dāng) 時(shí)， 2ac2IKa -圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 193-3 3-3 半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算一、表面線(xiàn)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子一、表面線(xiàn)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 歐文假設(shè)： 半橢圓片狀表面線(xiàn)裂紋 與深埋橢圓裂紋的 之比等于邊裂紋平板 與中心裂

9、紋平板的 值之比 IKIKIKIKIIIIKKKK表邊埋中1220.1sin(1)tanIIAKWAKW邊中又有 裂紋長(zhǎng)度 板寬度 20當(dāng) 時(shí)， 1AW22sinAAWWtanAAWW 1.21.1IIKK邊中1.1IIKK表埋1.161.1IIaKK埋表-橢圓片狀表面裂紋橢圓片狀表面裂紋A A處的處的 值值 IK21二、表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子二、表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子深裂紋：引入前后二個(gè)自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴(kuò)展 增大 IK()IIKMe K表面（埋藏）彈性修正系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定 一般情況下 12MeMM前自由表面的修正系數(shù) 后自由表面的修正系數(shù) 22巴里斯和薛0ac

10、時(shí)， 接近于單邊切口試樣 11.12M 1ac時(shí)， 接近于半圓形的表面裂紋 11M 利用線(xiàn)性?xún)?nèi)插法 11 0.12(1)aMc 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數(shù)1222(tan)2BaMaB板厚 裂紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 23 柯巴亞希.沙.莫斯2110.12(1)2aMc 1222(tan)2BaMaB表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子（應(yīng)為最深點(diǎn)處） IaKMe 242-4 2-4 其他問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算其他問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算一、一、.型復(fù)合問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算型復(fù)合問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 復(fù)變數(shù)： iyxziyxz取復(fù)變解析函數(shù)： ( )x zpiq11( ) zpiq取

11、應(yīng)力函數(shù) 2( )( )( )( )zzzx zzx zRe ( )( )zzx z或 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程 25分析第一應(yīng)力不變量 22224Re ( )xyx zxy對(duì)于.型復(fù)合裂紋型： ReImxIIZyZReImyIIZyZ| |0| |0| |0()2Re2Re2IxyIIKZ 型： 2ImRexIIIIZyZReyIIyZ 000() |2Im|2Im|2xyKZ26、型復(fù)合裂紋在裂紋前端處的不變量 000()|2Re|2Im|22xyKK012Re()|2KiK取復(fù)數(shù)形式的應(yīng)力強(qiáng)度因子 KKiK00()|2Re()|2xyK()4Re ( )xyx Z又 0lim2 2( )Kx Z2

12、7若采用 2 2lim( )zaZaKZax Z選擇 滿(mǎn)足具體問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件 ( )x z1144( )( )( )( )fF ZF ZZF ZZF Z-復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式 或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式 利用這個(gè)方法可以求解很多”無(wú)限大”平板中的穿透裂紋問(wèn)題.28二、無(wú)限寬板穿透裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算二、無(wú)限寬板穿透裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 實(shí)際情況應(yīng)看成有限寬計(jì)算.必須考慮的自由邊界對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的影響.在理論上得不到完全解. 通過(guò)近似的簡(jiǎn)化或數(shù)值計(jì)算方法. 方法:邊界配置法,有限單元法等. 邊界配置法

13、邊界配置法:將應(yīng)力函數(shù)用無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá),使其滿(mǎn)足雙調(diào)和方程和邊界條件,擔(dān)不是滿(mǎn)足所有的邊界條件,而是在有限寬板的邊界上,選足夠多的點(diǎn),用以確定應(yīng)力函數(shù),然后再由這樣符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定 值. K邊界配置法:只限于討論直邊界問(wèn)題.291.威廉氏(Williams)應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力公式 Williams應(yīng)力函數(shù) 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjjjrCrj 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程 邊界條件邊界條件:裂紋上、下表面 2 yxy , 均為零 在邊界上的邊界條件的滿(mǎn)足如下確定:在有限寬板的邊界上選取足夠的點(diǎn),使這一點(diǎn)的邊界條件滿(mǎn)足. 30為了計(jì)算方便引入無(wú)量綱量 2jj

14、jDC BWp試件厚度 試件寬度 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjpWrjjrDjBW 221( , )yjjjpD A rxBW122( 1) )cos(1)(1)cos(3) 22222jjjrjjjjjAW 221( , )xjjjpD B ryBW21( , )xyjjjpD E rx yBW 312. 的計(jì)算 K針對(duì)型裂紋 3cos(1 sinsin)2222xKr3cos(1 sinsin)2222yKr當(dāng) 時(shí), 02yxKr0r 00lim2|yrKr 當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) =1時(shí),在乘 后與 無(wú)關(guān).而當(dāng) =2,3時(shí),在乘 之后與 有關(guān),當(dāng) 都為

15、零 0j2 rcos1j2 rrr0r 321210111lim()(2 1) 1 (1) 1222rprKDBWW 12pDB W 3.借用無(wú)裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù) jD 取含裂紋三點(diǎn)彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的. 取 個(gè)點(diǎn)分析,以 有限級(jí)數(shù)代替無(wú)限級(jí)數(shù)精度足夠. m2m33對(duì)于不同的點(diǎn)有 2111myjjyjpD ABW12111mxyjjxyjpD EBW()paKFBWW1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()aaaaaaFWWWWWW其中 標(biāo)準(zhǔn)試件 4sW343-5 3-5 確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元法確定應(yīng)

16、力強(qiáng)度因子的有限元法 不同裂紋體在不同的開(kāi)裂方式下的應(yīng)力強(qiáng)度因子是不同的.一些實(shí)驗(yàn)方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場(chǎng),而應(yīng)力和位移場(chǎng)與 密切相關(guān),所以,可以通過(guò)有限元方法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算.K一一. .位移法求應(yīng)力強(qiáng)度因子位移法求應(yīng)力強(qiáng)度因子型: 3( , )(21)coscos4222Kru rkG3( , )(21)sinsin4222Krv rkG35有限元法 裂紋尖端位移 22( , )1GKv rkr外推法 二二. .應(yīng)力法求應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力法求應(yīng)力強(qiáng)度因子型: ( , )( )2iyiyKrfr有限元法 ( ,0)2yyrKr

17、利用剛度法求應(yīng)力時(shí),應(yīng)力場(chǎng)比位移場(chǎng)的精度低(因應(yīng)力是位移對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)).36三三. .間接法求應(yīng)力強(qiáng)度因子間接法求應(yīng)力強(qiáng)度因子( (應(yīng)變能釋放率法應(yīng)變能釋放率法) )KGE四四. . 積分法積分法 J:圍繞裂紋尖端的閉合曲線(xiàn) T:積分邊界上的力 u:邊界上的位移 uJWdyTdsx12iyiyW 應(yīng)變能密度 線(xiàn)彈性問(wèn)題: KJGE372-6 2-6 疊加原理及其應(yīng)用疊加原理及其應(yīng)用一一. . 的疊加原理及其應(yīng)用的疊加原理及其應(yīng)用 K 線(xiàn)彈性疊加原理線(xiàn)彈性疊加原理:當(dāng)n個(gè)載荷同時(shí)作用于某一彈性體上時(shí)，載荷組在某一點(diǎn)上引起的應(yīng)力和位移等于單個(gè)載荷在該點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移分量之總和. 疊加原理適用于

18、 K證明證明: : 00lim2|yrKr 1T(1)(1)(1)000,|lim2|yyrKr 2T(2)(2)(2)000,|lim2|yyrKr 由疊加原理有 (1)(2)000|yyy(1)(2)KKK38實(shí)例實(shí)例:鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理: ( )( )( )( )( )( )( )1()2abcdabcKKKKKKK其中: ( )()2baKaD 圓孔直徑 板有寬度: ()secaaFWW- 板寬的修正 392fDaa有效裂紋長(zhǎng)度 ( )()2()sec2bDaaKaDW 確定 :無(wú)限板寬中心貫穿裂紋受集中力 作用 ( )cKppKa1(2 )2pKDa有限板寬: (2 )()s

19、ec2aDaFWW( )(2)(2 )secsec22()()22cpaDWDaKWWDDaa( )(2 )sec()22()22aDaaWKaDWDa40二二. .應(yīng)力場(chǎng)疊加原理及其應(yīng)用應(yīng)力場(chǎng)疊加原理及其應(yīng)用0T:無(wú)裂紋時(shí)外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力場(chǎng) 應(yīng)力場(chǎng)疊加原理:在復(fù)雜的外界約束作用下,裂紋前端的應(yīng)力強(qiáng)度因子等于沒(méi)有外界約束,但在裂紋表面上反向作用著無(wú)裂紋時(shí)外界約束在裂紋出產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力 所致的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 0T41實(shí)例實(shí)例:旋轉(zhuǎn)葉輪(或軸)內(nèi)孔端裂紋 421.求解無(wú)裂紋時(shí),旋轉(zhuǎn)體在無(wú)裂紋部位的內(nèi)應(yīng)力 由彈性力學(xué)有 22222112222223(1)8rRRrfRRrR2222

20、21122222231 3(1)83RRrfRRrRf為葉輪密度 為角速度 1R為葉輪內(nèi)徑 2R為葉輪外徑 r為計(jì)算點(diǎn)的位置 平面應(yīng)力 1 平面應(yīng)變 一般情況下: 12111050RR212()1RR 22210223(1)8RTfRr432.根據(jù)類(lèi)比原則 比較兩種情況:內(nèi)孔半徑一致,裂紋大小及組態(tài)一樣,裂紋面上下受力一致,外邊界無(wú)約束,唯一不同的是一個(gè)是有限體,一個(gè)是無(wú)限體,由于邊界是自由的 ( )dKK(b)44 帶中心孔的無(wú)限大板,受雙向拉應(yīng)力 時(shí),孔邊附近的應(yīng)力(注意無(wú)裂紋時(shí)),由彈性力學(xué)知 220238fR21002(1)RTr( )dKK(c)( )01()caKKa fR(a)3

21、.根據(jù)疊加原理452.7 2.7 實(shí)際裂紋的近似處理實(shí)際裂紋的近似處理 利用斷裂力學(xué)進(jìn)行安全評(píng)價(jià)時(shí),首先確定缺陷的大小,部位和形狀,偏于安全考慮:夾雜、空洞、氣孔、夾雜性裂紋 裂紋應(yīng)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析 一一. .缺陷群的相互作用缺陷群的相互作用 1.垂直外應(yīng)力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 ,工程上偏安全考慮 K 并列裂紋作為單個(gè)裂紋考慮; 對(duì)于密集的缺陷群,假定它們?cè)诳臻g規(guī)則排列,并可把 空間裂紋簡(jiǎn)化成平面裂紋.462.與外應(yīng)力垂直的面內(nèi)共線(xiàn)裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上,可做為單個(gè)裂紋處理,否則必須考慮修正. 二二. .裂紋形狀的影響裂紋形狀的影響 通過(guò)探傷手段 裂紋形狀的影

22、響 1.探傷結(jié)果是面積當(dāng)缺陷的面積相同時(shí), 的橢圓裂紋 最大 12acK以 的橢圓裂紋分析是偏于安全的 12ac472.探傷的結(jié)果是最大線(xiàn)尺寸 當(dāng)最大直徑相同時(shí),圓裂紋的 比橢圓裂紋大 K以圓裂紋估算偏于安全 當(dāng)缺陷長(zhǎng)度一樣時(shí),貫穿裂紋 比其它裂紋的大 K以貫穿裂紋估算偏于安全 48 2.8 2.8 塑性區(qū)及其修正塑性區(qū)及其修正小范圍屈服:屈服區(qū)較小時(shí)(遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋尺寸) 線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)仍可用 一一. .塑性區(qū)的形狀和大小塑性區(qū)的形狀和大小 1.屈服條件的一般形式 屈服條件屈服條件:材料超過(guò)彈性階段而進(jìn)入塑性階段的條件. 單向拉壓: 12薄壁圓筒扭轉(zhuǎn): s復(fù)雜情況: (,)xyzxyxzyzf

23、c 123(,)fc 492.根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服條件 當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能密度,材料屈服,即 2222122331()()()2s對(duì)于型裂紋的應(yīng)力公式 122()22xyxyxy12cos1 sin222Kr30平面應(yīng)力 502222cos1 3sin222sKr-平面應(yīng)力下,型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程 當(dāng) 時(shí), 0201()2sKr 312()z 平面應(yīng)變 22222cos(1 2 )3sin222sKr-平面應(yīng)變下, 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當(dāng) 時(shí), 0210.16()(0.3)2sKr

24、221(12 )()2sK 51b.利用Tresca(屈雷斯加)屈服條件 在復(fù)雜受力下,當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時(shí)的屈服切應(yīng)力,材料即屈服. 比較發(fā)現(xiàn):平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小,平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力 比 高 yss塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 1ys平面應(yīng)變 13yss32 2ys平面應(yīng)力 1yss523.應(yīng)力松弛的影響由于塑性變形引起應(yīng)力松弛 應(yīng)力松弛 依據(jù):單位厚含裂紋平板,在外力作用下發(fā)生局部屈服后,其凈截面的內(nèi)力應(yīng)當(dāng)與外界平衡. 塑性區(qū)尺寸增大0|2yKr(圖中虛線(xiàn)所示) 此曲線(xiàn)下的面積為1( )yFx dx=外力 53應(yīng)力松弛后: 2yFdx=外力 屈服區(qū)內(nèi)的最大應(yīng)力稱(chēng)為有效屈服應(yīng)力 2 2()()syss平面應(yīng)變平面應(yīng)力21()2ysysKr ( )yyx dxdx又BD與CE下的面積應(yīng)相等 00( )2ysysrry