學(xué)案3圓的方程

1、圓的方程圓的方程1.掌握確定圓的幾何要素掌握確定圓的幾何要素.2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程. 從近兩年的高考試題來(lái)看從近兩年的高考試題來(lái)看,求圓的方程或已知圓的求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)、半徑等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選方程求圓心坐標(biāo)、半徑等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題；客觀題突出了擇題、填空題，又有解答題；客觀題突出了“小而小而巧巧”，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，主觀題往，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，主觀題往往在知識(shí)交匯處命題，除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方往在知識(shí)交匯處命題，除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想

2、等程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等. 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2012年高考仍將以求圓的方程為主要考查點(diǎn)年高考仍將以求圓的方程為主要考查點(diǎn),重點(diǎn)考查運(yùn)算能力以及邏輯推理能力重點(diǎn)考查運(yùn)算能力以及邏輯推理能力. 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)圓心為設(shè)圓心為C(a,b)，半徑為，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為 ， 當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為 .(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 2.圓的一般方程 （1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，方程時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，它表示圓心叫做圓的一般方程，它表示圓心為為 ，半徑為，半徑為 的圓的圓. （2）

3、當(dāng)）當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示表示一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn) ; （3）當(dāng)）當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 .D2+E2-4F0 2 24 4F F- -E ED D2 22 2+( )2 2E E,-,-2 2D D- -不表示任何圖形不表示任何圖形 ( )2 2E E,-,-2 2D D- -3.3.點(diǎn)點(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0）與圓）與圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置關(guān)系的位置關(guān)系(1)當(dāng)當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在圓外在圓外;(2)當(dāng)當(dāng)(

4、x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí)時(shí),點(diǎn)點(diǎn)P在圓上在圓上;(3)當(dāng)當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在圓內(nèi)在圓內(nèi). = 已知圓已知圓C的圓心是直線的圓心是直線x-y+1=0與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn),且圓且圓C與與直線直線x+y+3=0相切相切,則圓則圓C的方程為的方程為 .先由條件確定選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先由條件確定選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,后由條后由條件確定圓心坐標(biāo)與半徑件確定圓心坐標(biāo)與半徑. 【解析】【解析】直線直線x-y+1=0與與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為(-1,0),即圓即圓C的圓的圓心坐標(biāo)為心坐標(biāo)為(-1,0).又圓又圓C與直線與直線x+y+3=0相切相切,圓圓C的半徑為的半徑為

5、 .圓圓C的方程為的方程為(x+1)2+y2=2.22|30-1|r 求圓的方程時(shí)，據(jù)條件選擇合適的方程形式求圓的方程時(shí)，據(jù)條件選擇合適的方程形式是關(guān)鍵是關(guān)鍵. （1）當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用）當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般式，通過(guò)解三元一次方程組來(lái)得相應(yīng)系數(shù)一般式，通過(guò)解三元一次方程組來(lái)得相應(yīng)系數(shù). （2）當(dāng)條件中給出的圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、）當(dāng)條件中給出的圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式.根據(jù)下列條件求圓的方程根據(jù)下列條件求圓的方程:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)

6、,并且圓心在直線并且圓心在直線2x+3y+1=0上上;(2)圓心在直線圓心在直線y=-4x上上,且與直線且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P(3,-2);【解析】【解析】 (1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, a2+b2=r2 (a-1)2+(b-1)2=r2 2a+3b=1=0， a=4 b=-3 r2=25.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解得解得由題意列出方程組由題意列出方程組 (2)解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, b=-4a (3-a)2+(2-b)2=r2 =

7、r,解得解得a=1,b=-4,r=2 .圓的方程為圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.21ba 則有則有 2解法二：過(guò)切點(diǎn)且與解法二：過(guò)切點(diǎn)且與x+y-1=0垂直的直線為垂直的直線為y+2=x-3,與與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為（聯(lián)立可求得圓心為（1，-4）.半徑半徑r=2 ,所求圓的方程為所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.2已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求求y-x的最大值和最小值的最大值和最小值;(3)求求x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.方程方程x2+y2-4x+1=0表示圓心

8、為表示圓心為(2,0)，半徑，半徑為為 的圓的圓; 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線 的的 斜斜率，率，y-x可看作直線可看作直線y=x+b在在y軸上的截距軸上的截距,x2+y2 可看作可看作是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方 ， 可借助于平面幾何知可借助于平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求解識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求解.x xy y3 3x xy y解法一解法一:（1）原方程化為）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(diǎn)表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為圓心，以3為半徑的圓，設(shè)為半徑的圓，設(shè) =k，即，即y=kx.當(dāng)直線當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率與圓相切時(shí)，

9、斜率k取最大值和最小取最大值和最小值，此時(shí)值，此時(shí) ，解之得，解之得k= .故故 的最大值為的最大值為 ，最小值為，最小值為- . (2)設(shè)設(shè)y-x=b，即，即y=x+b，當(dāng)，當(dāng)y=x+b與圓相切時(shí)，縱與圓相切時(shí)，縱截距截距b取得最大值和最小值，此時(shí)取得最大值和最小值，此時(shí) ，即，即b=-2 . 故故y-x的最大值為的最大值為-2+ ，最小值為，最小值為-2- .x xy y3 31 1k k| |0 0- -2k2k| |2 2=+3 3x xy y3 33 33 32 2| |b b0 0- -2 2| |=+6 66 66 6 (3)x2+y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面表示圓上

10、的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)及圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)及圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為又圓心到原點(diǎn)的距離為2, 故故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 , (x2+y2)min=(2- )2=7-4 .3 33 33 33 3:（1）同上）同上. x=2+ cos y= sin y-x= sin- cos-2= sin（- ）-2.y-x的最大值為的最大值為 -2,最小值為最小值為- -2.(3)由由(2)知知x2+y2=（2+ cos）2+( sin)2=4+4 cos+3=7+4 cos.x2+

11、y2的最大值為的最大值為7+4 ，最小值為，最小值為7-4 .(2)令令(R).3 33 33 33 36 64 46 66 63 33 33 33 33 33 3 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，可借助圖形性質(zhì)，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地一般地:形如形如 的最值問(wèn)題，的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題;形如形如t=ax+by的最的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題;形如形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題等

12、平方的最值問(wèn)題等.a a- -x xb b- -y y= =u u已知點(diǎn)已知點(diǎn)P（x，y）是圓（）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn).（1）求）求P點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小的距離的最大值和最小 值值.（2）求）求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值；（3）求）求 的最大值和最小值的最大值和最小值.1 1- -x x2 2- -y y(1)圓心圓心C（-2，0）到直線）到直線3x+4y+12=0的距離為的距離為P點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為的距離的最大值為d+r= +1= ，最小值為，最小值為d - r= -1= .5 5

13、6 64 43 3| |12120 04 4(-2)(-2)3 3| |d d2 22 2=+=5 56 65 511115 56 65 51 1（2）設(shè)）設(shè)t=x-2y，則直線，則直線x-2y-t=0與圓（與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)有公共點(diǎn). 1.- -2t -2,tmax= -2,tmin=-2- .（3）設(shè)）設(shè)k= ，則直線，則直線kx-y-k+2=0與圓與圓 （x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)，有公共點(diǎn)， 1. k ,kmax= ,kmin= .2 22 22 21 1| |t t- -2-2| |+5 55 55 55 51 1- -x x2 2- -y y 1 1k k| |2

14、 2- -3 3k k| |2 2+4 43 3- -3 34 43 33 3 +4 43 33 3 +4 43 3- -3 3點(diǎn)點(diǎn)P（4，-2）與圓）與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1【分析】【分析】用代入法求解用代入法求解. 【解析】【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則則x02+y02=4,連線中點(diǎn)坐標(biāo)為連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 2x=x0+4 x0=2x-4 2y=y0-2 y

15、0=2y+2，代入代入x02+y02=4中得中得(x-2)2+(y+1)2=1.故應(yīng)選故應(yīng)選A.則則 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：件的不同常采用以下做法： 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等. 此外還有交軌法、參數(shù)法等此外還有交軌法、

16、參數(shù)法等.不論哪種方法，充分不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵.設(shè)定點(diǎn)設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)N在圓在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形為兩邊作平行四邊形MONP，點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程_. 【解析】【解析】如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段則線段OP的中點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為 線段線段MN的中點(diǎn)坐的中點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為 2y,2x 24y,23x00 因?yàn)橐驗(yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故 x0=x+3 y0=y-4.N(x+3,y-4)在圓上，故在圓上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為(x+3