學案3圓的方程

1、圓的方程圓的方程1.掌握確定圓的幾何要素掌握確定圓的幾何要素.2.掌握圓的標準方程和一般方程掌握圓的標準方程和一般方程. 從近兩年的高考試題來看從近兩年的高考試題來看,求圓的方程或已知圓的求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標、半徑等是高考的熱點，題型既有選方程求圓心坐標、半徑等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題；客觀題突出了擇題、填空題，又有解答題；客觀題突出了“小而小而巧巧”，主要考查圓的標準方程、一般方程，主觀題往，主要考查圓的標準方程、一般方程，主觀題往往在知識交匯處命題，除考查圓的標準方程、一般方往在知識交匯處命題，除考查圓的標準方程、一般方程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想

2、等程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等. 預測預測2012年高考仍將以求圓的方程為主要考查點年高考仍將以求圓的方程為主要考查點,重點考查運算能力以及邏輯推理能力重點考查運算能力以及邏輯推理能力. 1.圓的標準方程 設(shè)圓心為設(shè)圓心為C(a,b)，半徑為，半徑為r，則圓的標準方程，則圓的標準方程為為 ， 當圓心在坐標原點時，圓的標準方程當圓心在坐標原點時，圓的標準方程為為 .(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 2.圓的一般方程 （1）當）當 時，方程時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，它表示圓心叫做圓的一般方程，它表示圓心為為 ，半徑為，半徑為 的圓的圓. （2）

3、當）當D2+E2-4F=0時，方程時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示表示一個點一個點 ; （3）當）當D2+E2-4F0時，方程時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 .D2+E2-4F0 2 24 4F F- -E ED D2 22 2+( )2 2E E,-,-2 2D D- -不表示任何圖形不表示任何圖形 ( )2 2E E,-,-2 2D D- -3.3.點點P P（x x0 0,y,y0 0）與圓）與圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置關(guān)系的位置關(guān)系(1)當當(x0-a)2+(y0-b)2 r2時，點時，點P在圓外在圓外;(2)當當(

4、x0-a)2+(y0-b)2 r2時時,點點P在圓上在圓上;(3)當當(x0-a)2+(y0-b)2 r2時，點時，點P在圓內(nèi)在圓內(nèi). = 已知圓已知圓C的圓心是直線的圓心是直線x-y+1=0與與x軸的交點軸的交點,且圓且圓C與與直線直線x+y+3=0相切相切,則圓則圓C的方程為的方程為 .先由條件確定選用圓的標準方程先由條件確定選用圓的標準方程,后由條后由條件確定圓心坐標與半徑件確定圓心坐標與半徑. 【解析】【解析】直線直線x-y+1=0與與x軸的交點為軸的交點為(-1,0),即圓即圓C的圓的圓心坐標為心坐標為(-1,0).又圓又圓C與直線與直線x+y+3=0相切相切,圓圓C的半徑為的半徑為

5、 .圓圓C的方程為的方程為(x+1)2+y2=2.22|30-1|r 求圓的方程時，據(jù)條件選擇合適的方程形式求圓的方程時，據(jù)條件選擇合適的方程形式是關(guān)鍵是關(guān)鍵. （1）當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用）當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般式，通過解三元一次方程組來得相應系數(shù)一般式，通過解三元一次方程組來得相應系數(shù). （2）當條件中給出的圓心坐標或圓心在某直線上、）當條件中給出的圓心坐標或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式.根據(jù)下列條件求圓的方程根據(jù)下列條件求圓的方程:(1)經(jīng)過點經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點和坐標原點

6、,并且圓心在直線并且圓心在直線2x+3y+1=0上上;(2)圓心在直線圓心在直線y=-4x上上,且與直線且與直線l:x+y-1=0相切于點相切于點P(3,-2);【解析】【解析】 (1)設(shè)圓的標準方程為設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, a2+b2=r2 (a-1)2+(b-1)2=r2 2a+3b=1=0， a=4 b=-3 r2=25.圓的標準方程是圓的標準方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解得解得由題意列出方程組由題意列出方程組 (2)解法一：設(shè)圓的標準方程為解法一：設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, b=-4a (3-a)2+(2-b)2=r2 =

7、r,解得解得a=1,b=-4,r=2 .圓的方程為圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.21ba 則有則有 2解法二：過切點且與解法二：過切點且與x+y-1=0垂直的直線為垂直的直線為y+2=x-3,與與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為（聯(lián)立可求得圓心為（1，-4）.半徑半徑r=2 ,所求圓的方程為所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.2已知實數(shù)已知實數(shù)x,y滿足方程滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求求y-x的最大值和最小值的最大值和最小值;(3)求求x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.方程方程x2+y2-4x+1=0表示圓心

8、為表示圓心為(2,0)，半徑，半徑為為 的圓的圓; 的幾何意義是圓上一點與原點連線的幾何意義是圓上一點與原點連線 的的 斜斜率，率，y-x可看作直線可看作直線y=x+b在在y軸上的截距軸上的截距,x2+y2 可看作可看作是圓上一點與原點距離的平方是圓上一點與原點距離的平方 ， 可借助于平面幾何知可借助于平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合求解識，利用數(shù)形結(jié)合求解.x xy y3 3x xy y解法一解法一:（1）原方程化為）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點表示以點(2,0)為圓心，以為圓心，以3為半徑的圓，設(shè)為半徑的圓，設(shè) =k，即，即y=kx.當直線當直線y=kx與圓相切時，斜率與圓相切時，

9、斜率k取最大值和最小取最大值和最小值，此時值，此時 ，解之得，解之得k= .故故 的最大值為的最大值為 ，最小值為，最小值為- . (2)設(shè)設(shè)y-x=b，即，即y=x+b，當，當y=x+b與圓相切時，縱與圓相切時，縱截距截距b取得最大值和最小值，此時取得最大值和最小值，此時 ，即，即b=-2 . 故故y-x的最大值為的最大值為-2+ ，最小值為，最小值為-2- .x xy y3 31 1k k| |0 0- -2k2k| |2 2=+3 3x xy y3 33 33 32 2| |b b0 0- -2 2| |=+6 66 66 6 (3)x2+y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面表示圓上

10、的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知它在原點及圓心連線與圓的兩個交點處取幾何知識知它在原點及圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為又圓心到原點的距離為2, 故故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 , (x2+y2)min=(2- )2=7-4 .3 33 33 33 3:（1）同上）同上. x=2+ cos y= sin y-x= sin- cos-2= sin（- ）-2.y-x的最大值為的最大值為 -2,最小值為最小值為- -2.(3)由由(2)知知x2+y2=（2+ cos）2+( sin)2=4+4 cos+3=7+4 cos.x2+

11、y2的最大值為的最大值為7+4 ，最小值為，最小值為7-4 .(2)令令(R).3 33 33 33 36 64 46 66 63 33 33 33 33 33 3 與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地一般地:形如形如 的最值問題，的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;形如形如t=ax+by的最的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題;形如形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題等

12、平方的最值問題等.a a- -x xb b- -y y= =u u已知點已知點P（x，y）是圓（）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點上任意一點.（1）求）求P點到直線點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小的距離的最大值和最小 值值.（2）求）求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值；（3）求）求 的最大值和最小值的最大值和最小值.1 1- -x x2 2- -y y(1)圓心圓心C（-2，0）到直線）到直線3x+4y+12=0的距離為的距離為P點到直線點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為的距離的最大值為d+r= +1= ，最小值為，最小值為d - r= -1= .5 5

13、6 64 43 3| |12120 04 4(-2)(-2)3 3| |d d2 22 2=+=5 56 65 511115 56 65 51 1（2）設(shè)）設(shè)t=x-2y，則直線，則直線x-2y-t=0與圓（與圓（x+2）2+y2=1有公共點有公共點. 1.- -2t -2,tmax= -2,tmin=-2- .（3）設(shè)）設(shè)k= ，則直線，則直線kx-y-k+2=0與圓與圓 （x+2）2+y2=1有公共點，有公共點， 1. k ,kmax= ,kmin= .2 22 22 21 1| |t t- -2-2| |+5 55 55 55 51 1- -x x2 2- -y y 1 1k k| |2

14、 2- -3 3k k| |2 2+4 43 3- -3 34 43 33 3 +4 43 33 3 +4 43 3- -3 3點點P（4，-2）與圓）與圓x2+y2=4上任一點連線的中點軌跡方上任一點連線的中點軌跡方程是程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1【分析】【分析】用代入法求解用代入法求解. 【解析】【解析】設(shè)圓上任一點坐標為設(shè)圓上任一點坐標為(x0,y0),則則x02+y02=4,連線中點坐標為連線中點坐標為(x,y), 2x=x0+4 x0=2x-4 2y=y0-2 y

15、0=2y+2，代入代入x02+y02=4中得中得(x-2)2+(y+1)2=1.故應選故應選A.則則 求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法：件的不同常采用以下做法： 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等知點滿足的關(guān)系式等. 此外還有交軌法、參數(shù)法等此外還有交軌法、

16、參數(shù)法等.不論哪種方法，充分不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動點與定點之間的關(guān)系利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動點與定點之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵.設(shè)定點設(shè)定點M（-3，4），動點），動點N在圓在圓x2+y2=4上運動，以上運動，以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形為兩邊作平行四邊形MONP，點，點P的軌跡方程的軌跡方程_. 【解析】【解析】如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段則線段OP的中點的中點坐標為坐標為 線段線段MN的中點坐的中點坐標為標為 2y,2x 24y,23x00 因為因為平行四邊形的對角線互相平分，故平行四邊形的對角線互相平分，故 x0=x+3 y0=y-4.N(x+3,y-4)在圓上，故在圓上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求因此所求P點的軌跡方程為點的軌跡方程為(x+3