平行四邊形經(jīng)典例題#精選.

1、平行四邊形一、基礎(chǔ)知識平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定 義有兩組對邊分別平行的四邊 形是平行四邊形。有一個角是宜角 的平行四邊形是 矩形。有一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且 有一個角是直角的 平行四邊形。兩腰相等的梯形是等 腰梯形。性質(zhì)1、對邊平行且相等。2、對角相等，鄰角互補(bǔ)。3、對角線互相平分1、四個角都是宜 角。2、對角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對角線互相垂 宜，并且每一條對角線 平分一組對角。具有平行四邊形、矩 形、菱形的所有特 征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相 等3、兩條對角線相等判定1、定義：2、判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四

2、 邊形是平行四邊形。（2）兩組對角分別相等的四 邊形是平行四邊形。（3） 一組對邊平行且相等的 四邊形是平行四邊形。（4）對角線互相平分的四邊 形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理：（1）對角線相等 的平行四邊形是 矩形。（2）有三個角是 宜角的四邊形是 矩形。1、定義：2、判定定理：（1） 一組鄰邊相等的 平行四邊形是菱形。（2）對角線互相垂宣 的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再 證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再 證一個角是直角。1、定義：先判斷是梯 形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個角 相等的梯形是等腰梯 形。3、對角線相等的梯形 是等腰梯形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸

3、對稱圖形二、1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性質(zhì)得到宜角三角形的一個性質(zhì)：宜角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題例1、如圖1,平行四邊形ABCD中,AE_LBD,CF_LBD,垂足分別為E、F.求證：NBAE-NDCF.例2、如圖2,矩形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，BE_LAC于E, CFJLBD于F. 求證：BE = CF.圖3例3、已知：如圖3,在梯形ABCD中，ADII BC, AB=DC,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，且BE = 2EA, CF = 2FD.求證：Z BEC =Z CFB.i / iiword.例4、如

4、圖6. Ex F分別是ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE = CF.（1）求證： ABE級 & CDF；（2）若 5、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，連結(jié)MF、EN.試判斷四邊形MFNE是怎樣的四 邊形，并證明你的結(jié)論.（圖6）例5、如圖7 0D的對角線AC的垂直平分線與邊AD, BC分別相交于點(diǎn)E, F.，求證：四邊形AFCE是菱形.圖74 / iiword.第14題例6、如圖8,四邊形ABCD是平行四邊形，0是它的中心，E、F是對角線AC上的點(diǎn).（1）如果，則 DEC合 BFA （請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件）;（2）證明你的結(jié)論.例7、如圖9,已知在梯形ABCD中，ADII B

5、C, AB=DC,對角線AC和BD相交于點(diǎn)O, E是BC邊上一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩 點(diǎn)重合），EFII BD交AC于點(diǎn)F, EGII AC交BD于點(diǎn)C.（1）求證：四邊形EF0G的周長等于20B：（2）請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，ADII BC, AB = DC"改為另一種四邊形,其他條件不變,使得結(jié)論，“四邊形EF0G圖9的周長等于20B"仍成立,并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明.例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形的而積 兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案（平分方案畫在備用圖13（1）、（2）上），并給予合理 的解釋.四、

6、練習(xí)一、選擇題L下列命題正確的是()(A)、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形(B)、對角線相等的四邊形一定是矩形(C)、兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形)、在兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2 .已知平行四邊形ABCD的周長32, 5AB=3BC,則AC的取值范圍為()A. 6<AC<10； B. 6<AC<16： C. 10<AC<16： D. 4<AC<163 .兩個全等的三角形(不等邊)可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44 .延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E

7、,使BE=BD,連結(jié)DE交BC于F,若NDAB = 120° , NCFE = 135° , AB=1,則AC的長為()(A) 1(B) 1.2(C)與(D) 1.55 .若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E, AE=lcm,則BD的長是()(A) 1cm(B) 2cm(C) 3cm(D) 4cm6 .若順次連結(jié)一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線()(A)互相垂宜(B)相等 (C)互相平分 (D)互相垂宜且相等7 .如圖，等腰4ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，DEAC, DFAB. AB=5那么四邊形AFDE的周長是()(B)(D) 20(A) 5(

8、第7題)(第8題)(C) 15(第9題)(第10題)8 .如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN,則線段CN的長足(A) 3cm (B) 4cm (C) 5cm (D) 6cm9 .如圖，在宜角梯形ABCD中，ADBC, ZB=90° , AC將梯形分成兩個三角形，其中4ACD是周長為18 cm的等邊三角形，則該 梯形的中位線的長是().9(A)9 cm (B) 12cm (c) cm (D) 18 cm210.如圖，在周長為20cm的DABCD中，ABWAD. AC、BD相交于點(diǎn)0, 0EJ_BD交AD于E,則AABE的周

9、長為()(A)4cm(B)6cm (C)Scm (D)10cm1L如圖2,四邊形”必為矩形紙片把紙片”折疊'使點(diǎn)6恰好落在第邊的中點(diǎn)£處'折痕為小若0=6,則%等于，(A) 4百(B) 3指(C) 4啦(D) 812 .如圖,已知四邊形ABCD中,R、P分別是BC、CD上的點(diǎn),E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動而點(diǎn)R不動時，那么下列結(jié)論 成立的是 ()A、線段EF的長逐漸增大B、線段EF的長逐漸減小C、線段EF的長不變D、線段EF的長與點(diǎn)P13 .在梯形ABCD中，AD/BC,對角線ACLBD,且BD=12c m,則梯形中位線的長等于(A. 7.

10、5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm14 .國家級歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場上一個形狀是 平行四邊形的花壇(如圖)，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花.如果有45七尸。C, BC/GH /AD,那么下列說法中錯誤的是()A.紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等二、填空題L如果四邊形四個內(nèi)角之比1： 2： 3： 4,則這四邊形為 形。2.若正方形的對角線長為2Vzm,則正方形的面積為3 .若矩形一個內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是4 .已知

11、：平行四邊形ABCD的周長是30cm,對角線AC, BD相交于點(diǎn)0, AAOB的周長比aBOC的周長長5cm ,則這個平行四邊形的各邊 長為。35 .已知：平行四邊形ABCD中，AEJ_BC交CB的延長線于點(diǎn)E, AF_LCD交CD的延長線于點(diǎn)F, AB+BC + CD+DA=32cm, BC=- AB, NEAF=2NC,則 BE 長為,則NCC(l, 一1),在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)D,使四邊形ABCD6 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A(2, 5), B( 3, 1),是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是7.已知：如圖8,正方形ABCD中,對角線AC和BD相交于點(diǎn)0, E、F分別是邊

12、AB、BC上的點(diǎn)，若AE=4cm, DF=3cm,且OE_LOF,則EF7 / iiword.8 .如圖9 (1)是一個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的一個菱形.對于圖10(1)中的等腰梯形, 請寫出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論： .9 .如圖，在四邊形45co中，P是對角線6。的中點(diǎn)，E,尸分別是45, 8的中點(diǎn)，AD = BC, NPEF = 18 , 則/PFE的度數(shù)是.10 .如圖，菱形的?的兩條對角線分別長6和8,點(diǎn)尸是對角線月。上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M N分別是邊四、8。的中點(diǎn)，則座丹'的最小值是.11.如圖，在四邊形板P中，E

13、、F、G、，分別是四、BD、CD、月C的中點(diǎn)，耍使四邊形班第第12題圖(14 題)12、如圖所示，0為矩形ABCD的對角紋交點(diǎn)，DF平分NADC交AC于E, BC于F, ZBDF=15° ,則NCOF= 13.如圖，矩形45CD的對角線AC和8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線分別交4。和6c于點(diǎn)反“43 = 2, BC = 3, 則圖中陰影部分的面積為.14、如圖，矩形的面積為4,順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形斗約G2,再順次連結(jié)四邊形a約G2四邊中點(diǎn)得到四邊形力3用。3。3,依此類推，求四邊形4q62的面積是,15、如圖已知O是DABCD的對角線交點(diǎn)，AC = 24, BD = 38, AD

14、 = 14,那么OBC的周長等于16、在平行四邊形 ABCD 中，NC=NB+ND,則NA=, ZD=。17、一個平行四邊形的周長為70cm,兩邊的差是10cm,則平行四邊形各邊長為 cm。18、已知菱形的一條對角線長為12cm,面積為30cm2,則這個菱形的另一條對角線長為 cm。19、菱形ABCD中，NA=60。，對角線BD長為7cm,則此菱形周長 cm°20、如果一個正方形的對角線長為那么它的面積21、如圖2矩形ABCD的兩條對角線相交于O,NAOB = 60B = 8,則矩形對角線的長=22、如圖 3,等腰梯形 ABCD 中，ADBC, ABDE, BC = 8, AB =

15、6, AD = 5 貝UZCDE 周長。21、正方形的對稱軸有 條22、如圖4, BD是DABCD的對角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個條件是23、要從一張長為40cm,寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm,寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出張。三、解答題L 如圖,在四邊形 ABCD 中，ZA=60° , ZB=ZD=90° , BC=2, CD=3,求 AB 的長。2.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2, NBAD=120° ,對角線AC平分NBCD,/等腰悌形ABCD的周長。3,將平行四邊形紙片ABC

16、D按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D'處，折痕為EF.(1)求證：ABEgZkAD' F；(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論4 .已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC, AB=CD,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E, ZADB=60° , BD=10, BE ： ED=4 ： 1,求梯形 ABCD 的腰長.5 .如圖，菱形ABCD, E, F分別是BC, CD上的點(diǎn)，NB=NEAF=60° ,ZBAE = 1S° 求NCEF 的度數(shù)。6 .已知：如圖，在胸中，AB=AC. ADLBC,垂足為點(diǎn)，4V,是。外角NCL

17、V的平分線，CELAN,垂足為點(diǎn)£,（1）求證：四邊形皿為矩形：（2）當(dāng)月國滿足什么條件時，四邊形 祖始是一個正方形？并給出證明.（第6題）7 .如圖，四邊形ABCD中，一組對邊AB=DC=4,另一組對邊ADWBC,對角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的 中點(diǎn)，且NABD=30°求：（1） MH的長（2） MN的長。8 .如圖所示，在ABC中，NBAC=90° ,AD，B,BE平分NABC,EFBC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論。9 .如圖，ABCD是正方形，CEBD, BE=BD, BE交DC于點(diǎn)F, 求證：(1) ZBEC = 30&

18、#176;(2) DE=DF10 .如圖，在正方形ABCD中，P為對角線BD上一點(diǎn), PEJ_BC,垂足為E, PF1CD,垂足為F, 求證：EF=AP11 .如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作立線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF(1)求證：PA=PC;(2)若 AD=12,AB=15, NDAB=60° ,求四邊形 ABCD 的面積.10.如圖所示，已知在QBCD中，E, F分別是AD, BC的中點(diǎn),8 / 11 word.11 .已知：如圖，E為ZZMCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE = DC,連結(jié)AE 分別交BC、BD

19、于點(diǎn)F、G,連結(jié)AC交BD于0,連結(jié)0F.求證：AB=20F.12 .如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm. AB=6cm,點(diǎn)A處有一動點(diǎn)E以1cm/ s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)C處也有一動點(diǎn)F以2cln/s 的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為x (s),四邊形EBFD的面積為y (cmD,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。21,如圖16,已知四邊形A8CD是平行四邊形，NBCD的平分線CF交邊4B于F, N4X：的平分線DG交邊 A8 于 G.（1）線段AF與GB相等嗎？（2）請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得為等腰直角三角形,并說明理由.10 / iiword.（

20、1）試說明線段CD與外相等的理由：（2）若使NF=N8CF, D48CD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補(bǔ)上這個條件，并說明你的理 由（不要再增添輔助線）.23, （08上海市）如圖，已知平行四邊形A3CQ中，對角線AC, BD交于苴O,七是5。延長線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形.（1）求證：四邊形A8C0是菱形:（2）若NAED = 2/EAD,求證：四邊形A8C0是正方形.24,已知：如圖19,四邊形A8CD是菱形，E是8D延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是。8延長線上一點(diǎn)，且DE=8E請你 以F為一個端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等 （只須證明

21、一組線段相等即可）.（1）連結(jié):（2）猜想：=； （3）證明：25,如圖20,已知正方形488的對角線4C、8。相交于點(diǎn)O, E是4c上一點(diǎn)，連結(jié)E8,過點(diǎn)八作八M_L BE,垂足為M, AM交BD于點(diǎn)、F.試說明OE=OFx（2）如圖21,若點(diǎn)E在水?的延長線上，AM_L8E于點(diǎn)交。8的延長線于點(diǎn)F,其它條件不變，則結(jié)論“OE = OF"還成立嗎?如果成立，請給出說明理由：如果不成立，請說明理由.13 .如圖在宜角悌形ABCD中，ADBC, ZB=90" AD=24cm, AB=8cm» BC=26cm,動點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以Icm/s的速度運(yùn)動，動 點(diǎn)Q

22、從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運(yùn)動,P, Q分別從點(diǎn)A, C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè) 運(yùn)動的時間t,t分別為何值時,，四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形？8 / 11 word.14已知：如圖，在直角梯形ABCD中，NB=90o,ADBC, AD=24cm, BC=26cm,動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿 AD邊向D以1cm/秒的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運(yùn)動，P、Q分別從A、C 同時出發(fā)，當(dāng)其一點(diǎn)到端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，t分別為何值時，四邊形PQCD 是平行四邊形？等腰梯形？,在AABC中，借助作圖工具可以作

23、出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的4AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP,接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計(jì)，并畫出圖形說明。（1）在AABC中，增加條件,沿著 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加條件,沿著 一刀翦切后可以拼（3）在AABC中，增加條件,沿著 一刀剪切后可以拼形。（4）在ABC （ABWAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰悌形，畫出切線與 意圖。成菱形。成正方拼圖示15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形（圖甲）：將余下的部分分成4個全等的圖形 照示例，請你將一個正三角形割去四分之一后余

24、下的部分。（1）分成3個全等的圖形（在圖一中畫出示意圖）：（2）分成四個全等的圖形（在圖二中畫出示意圖）：（圖己）仿16 .如圖是王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺要想從A處引一條筆宜的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分 成面積相等的兩部分.請你為王大爺設(shè)計(jì)一條引水渠的方案，畫出圖形，并簡要寫出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：17 . (1)如圖 25-1,在四邊形 ABCD 中，AB=AD, NB=ND = 90° , E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且NEAF=1 NBAD.求證:EF =2BE+FD;(2)如圖25-2在四邊形ABCD中，AB=AD, NB+ND = 180° , E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=L/BAD, (1)中的結(jié)論2是否仍然成立？不用證明.(3)如圖25-3在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC = 180° , E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且NEAF=L/BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若2不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.12 / 11 word.18 .將邊長0A=8, oc=io的矩形045。放在平面立角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在X