多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘法PPT課件

1、多元函數(shù)的極值與拉多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘法格朗日乘法一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值的定義的定義:是在一點(diǎn)是在一點(diǎn)附近附近將函數(shù)值比大小將函數(shù)值比大小.定義定義點(diǎn)點(diǎn)P0為函數(shù)的為函數(shù)的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn). 類(lèi)似可定義極小值點(diǎn)和極小值類(lèi)似可定義極小值點(diǎn)和極小值.設(shè)在點(diǎn)設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域, ),()(0PfPf 為為極大值極大值.則稱(chēng)則稱(chēng))(0Pf多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2 注注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點(diǎn)與

2、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是多元函數(shù)的極值也是局部的局部的, 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō):極大值未必是函數(shù)的最大值極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí)有時(shí),極值極值. .極值點(diǎn)極值點(diǎn). .內(nèi)的值比較內(nèi)的值比較.是與是與P0的鄰域的鄰域極小值可能比極大值還大極小值可能比極大值還大.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法3xyzOxyzO例例2243yxz 例例22yxz 例例xyz 函數(shù)函數(shù) 存在極值存在極值, 在在(0,0)點(diǎn)取極小值點(diǎn)取極小值. 在在(0,0)點(diǎn)取極大值點(diǎn)取極大值. (也是最

3、大值也是最大值).在在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值點(diǎn)無(wú)極值.橢圓拋物面橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面下半個(gè)圓錐面馬鞍面馬鞍面在簡(jiǎn)單的情形下是在簡(jiǎn)單的情形下是容易判斷的容易判斷的.函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)(也是最小值也是最小值).函數(shù)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 xyzO 42. .極值的必要條件極值的必要條件證證定理定理1 1( (必要條件必要條件) ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 具有具有處處且在點(diǎn)且在點(diǎn)),(00yx則它在該則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),有極值有極值處處在點(diǎn)在點(diǎn))

4、,(),(00yxyxfz 有極大值有極大值,不妨設(shè)不妨設(shè)的某鄰域內(nèi)任意的某鄰域內(nèi)任意則對(duì)于則對(duì)于),(00yx),(),(00yxyx 都有都有),(),(00yxfyxf 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法,00時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)xxyy ),(),(000yxfyxf 有有說(shuō)明一元函數(shù)說(shuō)明一元函數(shù)處處在在00),(xxyxf 有極大值有極大值,必有必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy類(lèi)似地可證類(lèi)似地可證5推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(),(000zyxPzyxfu在點(diǎn)在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在則它在),(000zyxP有極值的有極

5、值的必要條件必要條件為為, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱(chēng)為函數(shù)的均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù)仿照一元函數(shù),凡能使凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的同時(shí)為零的點(diǎn)點(diǎn),駐點(diǎn)駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如如,的的是函數(shù)是函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)xyz )0 , 0(駐點(diǎn)駐點(diǎn), 但不是極值點(diǎn)但不是極值點(diǎn). 注注63. .極值的充分條件極值的充分條件定理定理2 2( (充分條件充分條件) ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的某鄰域內(nèi)連

6、續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)則則處是否取得極值的條件如下處是否取得極值的條件如下:(1)時(shí)時(shí)02 BAC有極值有極值,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 A有極大值有極大值,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 A有極小值有極小值;(2)時(shí)時(shí)02 BAC沒(méi)有極值沒(méi)有極值;(3)時(shí)時(shí)02 BAC可能有極值可能有極值,也可能無(wú)極值也可能無(wú)極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法7求函數(shù)求函數(shù) 極值的一般步驟極值的一般

7、步驟: :),(yxfz 第一步第一步解方程組解方程組 0),(0),(yxfyxfyx求出實(shí)數(shù)解求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)的符號(hào),再判定是否是極值再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法8例例 解解又又在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處處, 在點(diǎn)在點(diǎn)(a,a)處處, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函數(shù)求函數(shù) 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa駐駐點(diǎn)點(diǎn) xxf xyf yyf229aBAC 故

8、故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的極值的極值.0 在在(0,0)無(wú)極值無(wú)極值;0 在在(a,a)有極大值有極大值,0 ,6x ,3a.6y 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法904222 xxzzzx解解求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的極值的極值確定的函數(shù)確定的函數(shù)yxfz 將方程兩邊分別對(duì)將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),04222 yyzzzy 由函數(shù)取極值的必要條件知由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為駐點(diǎn)為),1, 1( P將上方程組再分別對(duì)將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù)求偏

9、導(dǎo)數(shù),21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一法一10故故22)2(1zBAC )2( z函數(shù)在函數(shù)在P有極值有極值.0 010422222 zyxzyx)1, 1( P將將代入原方程代入原方程,6, 221 zz有有,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 2)1, 1( fz為極小值為極小值;,62時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 6)1, 1( fz為極大值為極大值.zzAPxx 21|0| PxyzB多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以所以所以zzCPyy 21|11求由方程求由方程

10、010422222 zyxzyx.),(的極值的極值確定的函數(shù)確定的函數(shù)yxfz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 法二法二 配方法配方法 方程可變形為方程可變形為16)2()1()1(222 zyx 于是于是22)1()1(162 yxz,1, 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx 顯然顯然, 根號(hào)中的極大值為根號(hào)中的極大值為4,由由可知可知,42 z為極值為極值.即即6 z為極大值為極大值,2 z為極小值為極小值.12取得取得. .然而然而, ,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在, ,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如如: 函數(shù)函數(shù)22yxz 不

11、存在不存在, ,但函數(shù)在點(diǎn)但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值處都具有極大值. . 在研究函數(shù)的極值時(shí)在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). .注注由由極值的必要條件知極值的必要條件知, , 極值只可能在駐點(diǎn)處極值只可能在駐點(diǎn)處但但也可能是極也可能是極值值點(diǎn)點(diǎn).在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法13多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一), 4分分選擇題選擇題已知函數(shù)已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域

12、內(nèi)連續(xù)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且則則(A) 點(diǎn)點(diǎn)(0, 0)不是不是f (x, y)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)點(diǎn)(0, 0)是是f (x, y)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)點(diǎn)(0, 0)是是f (x, y)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為是否為f (x, y)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).14其中最大者即為最大值其中最大者即為最大值, , 與一元函數(shù)相類(lèi)似與一元函數(shù)相類(lèi)似,可利用函數(shù)的極值來(lái)可利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值.4. .多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值求最值

13、的一般方法求最值的一般方法最小者即為最小值最小者即為最小值. .將函數(shù)將函數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在在D的邊界上的最大值和最小值相互比較的邊界上的最大值和最小值相互比較, ,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法15解解 (1) 求函數(shù)求函數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的駐點(diǎn)的駐點(diǎn) 由于由于所以函數(shù)在所以函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值內(nèi)無(wú)極值. .(2) 求函數(shù)在求函數(shù)在 D邊界上的最值邊界上的最值(現(xiàn)現(xiàn)最值只能在邊界上最值只能在邊界上) )與與在在求函數(shù)求函數(shù)0, 0212 yxyxxz1 yx直直線線圍成的三角形閉域圍成的三角形閉域D上的上的0 最大最大(小小)值值.

14、例例xzx21 2 yz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO16在邊界線在邊界線在邊界線在邊界線由于由于最小最小, 由于由于又在端點(diǎn)又在端點(diǎn)(1,0)處處,yxxz212 所以所以,最大最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0 ,21( z有駐點(diǎn)有駐點(diǎn) 函數(shù)值函數(shù)值有有, 0 x單調(diào)上升單調(diào)上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10上上 x多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO17在邊界線在邊界線所以所以

15、, 最值在端點(diǎn)處最值在端點(diǎn)處.yxxz212 )1(212xxxz由于由于 函數(shù)單調(diào)下降函數(shù)單調(diào)下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比較比較),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO18解解, 02 xfx令令08 yfy)0 , 0(),(422yxfyx代入代入將將 133),(2yyxf2

16、, 2 yyyg6)( 令令0 y此時(shí)此時(shí)24yx ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y9)0 , 0( f. 9,25),(最最小小值值為為上上的的最最大大值值為為在在故故Dyxf13)0 , 2( f25)2, 0( f的最大值與最小值的最大值與最小值.駐點(diǎn)駐點(diǎn)得得)(yg0 2 0 x均均有有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf19對(duì)自變量有附加條件的極值對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件其他條件.無(wú)條件極值無(wú)條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外, 并無(wú)并無(wú)條件極值條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多

17、元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法20解解yxz 18xyzV ：區(qū)區(qū)域域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例例 已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18, 問(wèn)長(zhǎng)、寬、高問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為, zyx、由題意由題意長(zhǎng)方體的體積為長(zhǎng)方體的體積為18, 0, 0 yxyx)6 , 6(駐駐點(diǎn)點(diǎn) 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長(zhǎng)方體體積且長(zhǎng)方體體積一定有最

18、大值一定有最大值,體體積最大體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方時(shí)長(zhǎng)方由于由于V在在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),18 zyx21上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)zyx、但但的極值的極值,要受到條件要受到條件的限制的限制, 這便是一個(gè)條件極值這便是一個(gè)條件極值問(wèn)題問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 有時(shí)有時(shí)條件極值條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值無(wú)條件極值.可通過(guò)將約束條件代入可通過(guò)將約束條件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的.

19、下面要介紹解決下面要介紹解決條件極值條件極值問(wèn)題的一般問(wèn)題的一般方法方法:下下,這樣做是有困難的這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法xyzV 18 zyx22拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法: :現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)),(yxfz 0),( yx 在約束條件在約束條件 下取得下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法 如函數(shù)如函數(shù)(1)在在),(00yx0),(00 yx 由條件由條件0),( yx (1)(2)極值的必要條件極值的必要條件.取得所求的極值取得所求的極值,那末首先有那末首先有(3)確定確定y是是x的隱函數(shù)的隱函數(shù)).(xyy 多元函數(shù)的極值與拉格朗

20、日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 不必將它真的解出來(lái)不必將它真的解出來(lái),則則于是函數(shù)于是函數(shù)(1),(00yx在在0 xx 即即, 取得所取得所取得極值取得極值.求的極值求的極值.),(,(xyxfz 23其中其中 0ddxxxy代入代入(4)得得:)5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),( yx 由由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知知: 0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddxxyyxxxyyf 0 ),(),(0000yxyxyx 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法0 xx

21、 取得極值取得極值.在在(3) ,(5)兩式兩式),(00yx在在取得極值的必要條件取得極值的必要條件.就是函數(shù)就是函數(shù)(1)在條件在條件(2)下的下的)3(0),(00 yx )1(),(yxfz )2(0),( yx )(,(xyxfz 24 設(shè)設(shè) ),(),(0000yxyxfyy上述必要條件變?yōu)樯鲜霰匾獥l件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊正是函數(shù)中的前兩式的左邊正是函數(shù):0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值

22、與拉格朗日乘數(shù)法,0),(00 yx ),(),(),(yxyxfyxL 的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在),(00yx的值的值. 參數(shù)參數(shù)函數(shù)函數(shù)),(yxL稱(chēng)為稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為拉格朗日乘子拉格朗日乘子, 是一個(gè)待定常數(shù)是一個(gè)待定常數(shù).25拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法: :),(yxfz 0),( yx 極值的必要條件極值的必要條件在條件在條件要找函數(shù)要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn)下的可能極值點(diǎn), 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxL 為某一常數(shù)為某一常數(shù),其中其中可由可由 解出解出, yx其中其中就是就是可能的可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)極值點(diǎn)的坐標(biāo).yx,多元函

23、數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法, 0),(),( yxyxfxx, 0),(),( yxyxfyy. 0),( yx 26如何確定所求得的點(diǎn)如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中實(shí)際問(wèn)題中, 非實(shí)際問(wèn)題我們這里不做進(jìn)一步的討論非實(shí)際問(wèn)題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣: :判定判定.可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)的情況的情況. .自變量多于兩個(gè)自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法27例例 將將正正數(shù)數(shù) 12 分分成成三三個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23

24、為為最最大大. 解解.691224623max u則則故最大值為故最大值為又是實(shí)際問(wèn)題又是實(shí)際問(wèn)題,解得解得唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn))2 , 4 , 6(一定存在最值一定存在最值.令令 ),(zyxLzyx23)12( zyx 023 yzxLy0322 zyxLx023 yxLz12 zyx此題是否也可化為無(wú)條件極值做此題是否也可化為無(wú)條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法28解解),(000zyxP設(shè)設(shè)為橢球面上的一點(diǎn)為橢球面上的一點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF則則,2|20axFPx ,2|20byFPy 202|azFPz 的切平面方程為的切

25、平面方程為),(000zyxP過(guò)過(guò)在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面的的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例例1222222 czbyax切平面切平面,四面體體積最小四面體體積最小, 求切點(diǎn)坐標(biāo)求切點(diǎn)坐標(biāo).0)()()(020020020 zzczyybyxxax多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法29目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)該該切平面在三個(gè)軸上的截距切平面在三個(gè)軸上的截距各為各為化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面體的體積所求四面體的體積xyzV61 0002226zyxcba 約束條件約束

26、條件在條件在條件1220220220 czbyax下求下求V 的最小值的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法30約束條件約束條件1220220220 czbyax令令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由由 , 00 xL01220220220 czbyax, 00 yL00 zL目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù),6000222zyxcbaV 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法31可得可得即即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為)3,3,3(cba四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23m

27、in ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法32.)21, 1 , 1(22的最短距離的最短距離到曲面到曲面求點(diǎn)求點(diǎn)yxz 解解 d為簡(jiǎn)化計(jì)算為簡(jiǎn)化計(jì)算,令令222)21()1()1(),( zyxzyxf22yxz ),(zyx設(shè)設(shè)是曲面上的點(diǎn)是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為它與已知點(diǎn)的距離為問(wèn)題化為在問(wèn)題化為在),(zyxf下求下求的最小值的最小值.222)

28、21()1()1( zyx目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法33 ),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由 )1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1( zyx設(shè)設(shè)02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代代入入)4(多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法34由于問(wèn)題確實(shí)存在最小值，由于問(wèn)題確實(shí)存在最小值，與與由由22xz xxxz212121 故故xx2122 有最小值有最小值d

29、得得唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)24,41,41 zyx333222141412 33處處，故在點(diǎn)故在點(diǎn) 244141333多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡(jiǎn)單方法嗎還有別的簡(jiǎn)單方法嗎用幾何法用幾何法!35解解22)1(yxz 先求函數(shù)先求函數(shù) 0202yzxzyx駐駐點(diǎn)點(diǎn)22)2(yxz 再再求求 為此作為此作拉格朗日乘函數(shù)拉格朗日乘函數(shù): ),(yxL上的最大值與最小值上的最大值與最小值.在在圓內(nèi)圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn)的可能的極值點(diǎn);在在圓上圓上的最大、最小值的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx )0 , 0(多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與

30、拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(2222 yxyxz在圓在圓求函數(shù)求函數(shù)36)(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代入代入)(c225 yx比較比較)3(,25 z. 0 z, yx 22 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值為最大值為最小值為最小值為、)0 , 0( z、 225,225z 22,22z多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(),(2222 yxyxyxL 22yxz 函數(shù)函數(shù)上，上，在圓在圓9)2()2(22 yx37多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2002年考

31、研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(一一), 7分分 設(shè)有一小山設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)坐標(biāo)面面,其底部所占的區(qū)域?yàn)槠涞撞克嫉膮^(qū)域?yàn)?75),( 22 xyyxyxD 小山的高度函數(shù)為小山的高度函數(shù)為.75),(22xyyxyxh (1) 設(shè)設(shè)M(x0 , y0)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域D上一點(diǎn)上一點(diǎn),問(wèn)問(wèn)h(x, y)在該點(diǎn)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大? 若記此方向?qū)?shù)若記此方向?qū)?shù)的最大值為的最大值為g(x0 , y0),試寫(xiě)出試寫(xiě)出g(x0 , y0)的表達(dá)式的表達(dá)式. (2) 現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng),為此需要在為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).是說(shuō)是說(shuō),要在要在D的邊界線的邊界線7522 xyyx上找出使上找出使(1)中中的的g(x, y)達(dá)到最大值的點(diǎn)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀巖起點(diǎn)的位置試確定攀巖起點(diǎn)的位置.也就也就38多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 (1) 由梯度的幾何意義知由梯度的幾何意義知