第十五章 波與粒子

1、精選第十五章 波與粒子15-1在恒星演化過程中，當能源耗盡時，星體將在萬有引力作用下發(fā)生坍縮，而成為密度極高的星體。同時，由于從前的核燃燒，這種星體的溫度仍舊很高，因而發(fā)出白光，故得名為白矮星。天狼星的一個伴星，是人們發(fā)覺的第一顆白矮星，假如測得其最大單色輻出度所對應(yīng)的波長為，試依據(jù)維恩位移律估量它的表面溫度。解依據(jù)維恩位移律： 可以計算這顆白矮星的表面溫度，為：15-2三個大小相同并可看作為黑體的球體，測得其最大單色輻出度所對應(yīng)的波長分別為、和，試求它們的溫度以及它們在單位時間內(nèi)向空間輻射的能量之比。解依據(jù)維恩位移律可以求得它們的溫度，分別為：，.依據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律：和上面已經(jīng)得到的溫

2、度，就可以求出它們的輻出度。輻出度是表示該黑體在單位時間內(nèi)從其表面單位面積上輻射出的能量，由于三個球體大小相同，它們在單位時間內(nèi)向空間輻射的能量之比，就等于它們的輻出度之比，即：15-3試由普朗克公式在短波近似狀況下導(dǎo)出維恩公式，在長波近似狀況下導(dǎo)出瑞利-金斯公式。解：黑體的單色輻出度可以用普朗克公式表示： (1)（1）在短波近似狀況下，有： , 所以：這樣就可以在普朗克公式中略去1，而成為下面的形式： （2）令：、，并代入上式，得： 這正是維恩公式。（2）在長波近似狀況下，有：，所以：于是，普朗克公式稱為下面的形式： 這正是瑞利-金斯公式。15-4什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有哪些重要

3、規(guī)律？在解釋這些規(guī)律時經(jīng)典理論遇到什么困難？在這些困難中，你認為最突出的是什么？答：金屬中的自由電子在光的照射下，吸取光能而逸出金屬表面，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。光電效應(yīng)有下列四條重要規(guī)律：（1）單位時間內(nèi)逸出金屬表面的光電子數(shù)與入射光強成正比。（2）光電子的初動能隨入射光的頻率上升而線性增大，與入射光強無關(guān)。（3）假如入射光的頻率低于該金屬的紅限，則無論入射光強多大，都不會使這種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)。（4）只要入射光的頻率大于該金屬的紅限，當光照射到這種金屬的表面時，幾乎馬上產(chǎn)生光電子，而無論光強多小。從波動論看，作為電磁波的光波投射到金屬表面上，引起金屬中自由電子的受迫振動，當自由電子從入射光波

4、中吸取到足夠的能量后，就可以克服金屬表面的約束而逸出，成為光電子，用這個觀點解釋光電效應(yīng)的試驗規(guī)律，所遇到的主要困難有以下幾點。(1)光電子初動能問題：從上述觀點看，光電子初動能應(yīng)正比于入射光的強度，光強度又正比于光波振幅的平方，所以光電子的初動能應(yīng)正比于入射光的振幅的平方。而實際上光電子的初動能正比于入射光的頻率，與入射光的強度無關(guān)，與人射光的振幅無關(guān)。 (2)光電效應(yīng)的紅限問題：依據(jù)波動論，光強度正比于光波振幅的平方，假如入射光的頻率較低，總可以用增大振幅的方法，使入射光達到足夠的強度，使自由電子獲得足夠的能量而逸出金屬表面。所以，按波動論的觀點，光電效應(yīng)不應(yīng)當存在紅限。而實際上每一種金屬

5、都存在確定的紅限值，當入射光的頻率低于該金屬的紅限時，無論光強多大，都無電子逸出。(3)發(fā)生光電效應(yīng)的時間問題：依據(jù)波動論的解釋，自由電子從入射光波中獲得能量需要一個積累的過程，特殊是當入射光強度較弱時，更需要較長的時間積累能量。而實際上光電子消滅的時間均小于s，且與人射光的強弱無關(guān)。其中最突出的問題是：光電效應(yīng)的紅限問題和發(fā)生光電效應(yīng)的時間問題。15-5試求波長為下列數(shù)值的光子的能量、動量和質(zhì)量：(1)波長為的紅外線；(2)波長為的可見光；(3)波長為的紫外線；(4)波長為的X射線；(5)波長為的射線。解：(1)對于波長為的紅外線，能量為：；動量為：；質(zhì)量為：.(2)對于波長為的可見光，能量

6、為: 動量為：；質(zhì)量為：(3)對于波長為的紫外線，能量為：；動量為：；質(zhì)量為：(4)對于波長為的X射線，能量為：；動量為：；質(zhì)量為：(5)對于波長為的射線，能量為：；動量為：；質(zhì)量為：15-6已知金屬鎢的逸出功為4.38 eV，若用波長為429 nm的紫光照射其表面，問能否產(chǎn)生光電子？若在鎢的表面涂敷一層銫，其逸出功變?yōu)?.61 eV，結(jié)果又將如何？若能產(chǎn)生光電子，求光電子的最大初動能。解：入射光子的能量為：金屬鎢的逸出功為： 由于，所以不能產(chǎn)生光電子。當在鎢表面涂敷銫，逸出功變?yōu)椋哼@時，所以能夠產(chǎn)生光電子。依據(jù)光電效應(yīng)的愛因斯坦方程：光電子的最大出動能為：15-7金屬鉀的紅限為，若用波長為4

7、36 nm的光照射，求光電子的最大初速度。解：依據(jù)紅限的定義，可以求得金屬鉀的逸出功：光電子的最大初動能為：光電子的最大初速度為：15-8金屬鈉的紅限為，求：(1)金屬鈉的逸出功；(2)用波長為500 nm的光照射時的遏止電勢差。解：(1)金屬鈉的逸出功為：(2)由于遏止電勢差表征了光電子的最大初動能，故有：將此關(guān)系代入光電效應(yīng)的愛因斯坦方程，得：于是有： 所以，遏止電勢差為 -0.666 V 。15-9 什么是康普頓效應(yīng)？康普頓效應(yīng)有些什么規(guī)律？經(jīng)典理論是如何解釋光散射的？答：1康普頓效應(yīng)及其規(guī)律 (1)短波射線(如x射線、Y射線)經(jīng)物質(zhì)散射后，在散射線中除有與入射線同波長的成格外，還有比入

8、射線波長更長的射線產(chǎn)生出來。這就是康普頓效應(yīng)。波動論對這個效應(yīng)同樣無法解釋，而再次陷入困難的境地。 (2)康普頓效應(yīng)的核心之點就是在散射波中存在波長變長的部分。但從波動論看，入射波的散射是物質(zhì)中的帶電粒子在入射波的作用下發(fā)生受迫振動，而向四周發(fā)出的輻射。我們知道，穩(wěn)定的受迫振動與驅(qū)動力同頻率，所以散射波肯定與入射波同頻率，不行能發(fā)生波長變長的現(xiàn)象。 2光子論對康普頓效應(yīng)的解釋 (1)從光子論看，入射光是能量為的光子流，進入物質(zhì)內(nèi)的光子將與物質(zhì)粒子發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程遵從能量守恒定律和動量守恒定律。光子與點陣離子和自由電子的彈性碰撞，將分別得到波長不變和波長變長的散射波成分，從而圓滿地解釋了康

9、普頓效應(yīng)。 (2)認為碰撞前自由電子是靜止的，其總能量等于靜能，碰撞后其總能量變?yōu)椋慌鲎睬肮庾拥膭恿繛?，碰撞后變?yōu)椤＿@些能量和動量的表示都是從相對論關(guān)系中得到的。由于運用了這些關(guān)系，康普頓效應(yīng)才得到圓滿解釋，所以說，康普頓效應(yīng)是一種相對論效應(yīng)。 15-10在康普頓效應(yīng)中，入射X射線的波長是，求在散射角、和的方向上散射線的波長。解：依據(jù)波長轉(zhuǎn)變公式：散射線的波長可以表示為：對于：對于：對于：15-11波長為的X射線被某散射體所散射，求在散射角為的方向上散射X射線的波長和引起這種散射的反沖電子所獲得的動能。解在散射角為的方向上散射X射線的波長為：反沖電子所獲得的動能等于X光子損失的能量，即：15-

10、12波長為的入射光子與散射物質(zhì)中的自由電子發(fā)生碰撞，碰撞后電子的速度達到了 。求散射光子的波長和散射角。解先求波長的轉(zhuǎn)變量，再求散射光子的波長，最終求散射角。求波長的轉(zhuǎn)變量， 反沖電子的質(zhì)量：反沖電子獲得的動能為：反沖電子獲得的動能就等于光子損失的能量，而光子損失的能量與波長的轉(zhuǎn)變量有如下關(guān)系： 則得：由波長轉(zhuǎn)變量即可求得散射光子的波長，為：由波長轉(zhuǎn)變量可求得散射角：即得：15-13 如何理解光的波、粒兩重性問題？答：光子論被黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)以及其他試驗所證明，說明它具有肯定的正確性。而早已被大量試驗證明白的光的波動論以及其他經(jīng)典物理理論的正確性, 也是無可非議的。因此，在對光的

11、本性的解釋上，不應(yīng)當在光子論和波動論之間進行取舍，而應(yīng)當把它們同樣地看作是光的本性的不同側(cè)面的描述。光在傳播過程中表現(xiàn)出波的特性，而在與物質(zhì)相互作用的過程中表現(xiàn)出粒子的特性。這就是說，光具有波和粒子這兩方面的特性，這稱為光的波粒二象性。既是粒子，也是波，這在人們的經(jīng)典觀念中是不簡潔接受的。但是, 用統(tǒng)計的觀點可以把兩者統(tǒng)一起來。光是由具有肯定能量、動量和質(zhì)量的微觀粒子組成的，在它們運動的過程中，在空間某處發(fā)覺它們的概率卻遵從波動的規(guī)律。實際上，這里所說的粒子和波，都是人們經(jīng)典觀念中對物質(zhì)世界生疏上的一種抽象和近似。這種抽象和近似是不能用來對微觀世界的事物作出恰當?shù)拿枋龅?，由于微觀世界的事物有著

12、與宏觀世界的事物不同的性質(zhì)和規(guī)律。從這個意義上說，光既不是粒子，也不是波，即既不是經(jīng)典觀念中的粒子，也不是經(jīng)典觀念中的波。15-14 從粒子散射試驗中可以得到哪些關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的信息？答：粒子是氦原子核，是由放射性物質(zhì)放射出來的帶正電的微觀粒子，粒子的散射試驗表示了。粒子與原子的相互作用，可以為原子的結(jié)構(gòu)供應(yīng)有用的信息： a)絕大多數(shù)。粒子幾乎按原方向出射，偏轉(zhuǎn)角只有一這表示原子內(nèi)部是空曠的，粒子從這個空間穿越，幾乎不受到原子中電荷的作用； b)個別粒子發(fā)生了大角度散射，甚至被反彈的現(xiàn)象表明，原子中心存在一個很小的堅實體，它集中了原子的幾乎全部質(zhì)量，并且?guī)в姓姾?，這個堅實體就是原子核。同時可以

13、推斷，既然原子核帶正電，那么原子中等量的負電荷肯定分布在原子核四周的空曠空間里。 依據(jù)粒子散射試驗，可以得到原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)；反之，依據(jù)原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)，又可以從理論上計算出散射。粒子數(shù)隨散射角的分布規(guī)律，并且由計算所得的規(guī)律與試驗觀測的結(jié)果的全都性，進一步證明白原子的核型模型假設(shè)的正確性。15-15原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典理論存在哪些沖突？答：原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典概念是不相容的，表現(xiàn)在下面兩點： a)依據(jù)經(jīng)典理論，電子繞原子核旋轉(zhuǎn)必定要輻射電磁波，并且所放射的電波是連續(xù)譜。實際上，通常狀況下的原子并不輻射電磁波，只有從外界吸取了能量之后，才可能放射電磁波，并且放射的電磁波頻譜

14、是分立譜，不是連續(xù)譜； b)隨著系統(tǒng)自身能量的不斷削減，電子繞核運動的軌道半徑將隨之減小，最終電子必定落在原子核上，可見，依據(jù)經(jīng)典理論，原子的核型結(jié)構(gòu)不是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。實際上，正常狀況下的原于是格外穩(wěn)定的。15-16計算氫原子光譜的萊曼系譜線和巴耳末系譜線的波長范圍。解：(1)巴耳末系譜線的波長范圍：巴耳末系可以表示為：當時，對應(yīng)與長波限的波數(shù)： 波長為：當時，對應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長為：(2)萊曼系譜線的波長范圍：萊曼系可以表示為：當時，對應(yīng)與長波限的波數(shù)： 波長為：當時，對應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長為：15-17在氫原子的紫外光譜中有一條波長為121.57 nm的譜線，問這條譜線屬于哪個線系？

15、它是原子在哪兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的？解：波長為121.57 nm的譜線屬于萊曼系，是從能級到能級的躍遷產(chǎn)生的。15-18依照玻爾理論求出處于基態(tài)的氫原子的下列各量：量子數(shù)、軌道半徑、角動量和動量、電子所受的力、電子的角速度、速率、加速度、動能、勢能以及總能量。解：量子數(shù)： ； 軌道半徑： ； 角動量：； 動量：；速率：； 角速度：；受力： 加速度： ;動能： 勢能：；總能量：15-19計算的氫原子的直徑和電子的運動速率。解將代入半徑的表達式，得：原子的直徑為：動量為： 所以：15-20若氫原子處于激發(fā)態(tài)的平均時間為，問氫原子中電子在的軌道上運行多少圈才躍遷到基態(tài)并放出光子？解：由以下兩式： 可

16、以求得電子的運動速率：當原子處于時，電子的運動速率為：電子在此軌道上運行一周所用的時間為：電子在激發(fā)態(tài)運行的平均周數(shù)為：15-21求處于以下兩種狀態(tài)的氫原子的電離能 (以eV為單位)：(1)基態(tài)； (2) 的激發(fā)態(tài)。解：(1)基態(tài)的電離能，就是將電子從基態(tài)()激發(fā)到完全自由態(tài)()所需要的能量，可如下求得(2) 的激發(fā)態(tài)的電離能：15-22一個具有5.6 eV動能的中子，與一個處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞，問這種碰撞是彈性碰撞，還是非彈性碰撞？解：當具有肯定動能的中子與處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞時，假如中子的動能的大小正好等于氫原子從基態(tài)躍遷到某一激發(fā)態(tài)所需要的能量，碰撞后該中子的動能就

17、全部 被氫原子吸取，而使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，中子和氫原子的動能都等于零。這樣的碰撞是完全非彈性的，否則碰撞就是彈性的。氫原子從基態(tài)躍遷到最低的激發(fā)態(tài)()所需要的能量是：由于中子的動能, 所以，碰撞不足以使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，碰撞是完全彈性的。15-23求在溫度為3.0 K的液氦中冷凍著的中子的德布羅意波長。解：將冷凍中子系統(tǒng)看成抱負氣體系統(tǒng)，該系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，中子的平均動能為：中子的動量為：于是可求得中子的波長為：15-24分別計算動能為0.10 MeV和1.0 GeV的電子的德布羅意波長。解設(shè)電子的靜質(zhì)量為，依據(jù)相對論關(guān)系： 和 可以解得： 和 于是可以求得電子的波長：  (1)對于動能為的電子，將動能和其他有關(guān)量代入式(1)，可求得德布羅意波長，為：。對于動能為的電子，由于，式(1)可以簡化為： (2)所以，其德布羅意波長為：15-25假如電子和光子的波長都是0.20 nm，那么它們的動量和能量各為多大？解：(1)動量：由公式： 可以看到，無論什么粒子，只要波長相等，其動量的大