高數(shù)2015-2016-181

1、1第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 與間斷點(diǎn)與間斷點(diǎn)函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)連續(xù)(continuity)函數(shù)的函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) (discontinuous point)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限21. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy 自變量自變量0 x稱差稱差0 xxx 為自變量在為自變量在 ,x0 x的增量的增量;函數(shù)隨著從函數(shù)隨著從)(0 xf),(xf稱差稱差)()(00 xfxxf 為函數(shù)的為函數(shù)的增量增量. .如圖如圖:xxx 0一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf0 xxx

2、 0)(xfy y )(0 xfx 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3連續(xù)連續(xù), ,2. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy 0 x定義定義1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,0lim0 yx若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x0處處并稱并稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn). .,0 xx 即即為為0 y).()(0 xfxf即即為為定義定義2 2若若),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x0處處連續(xù)連續(xù). . 把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法

3、供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值. 自變量在自變量在x0點(diǎn)的增量為無窮小時(shí)點(diǎn)的增量為無窮小時(shí),函數(shù)的增量也為無窮小函數(shù)的增量也為無窮小.形象地表示了形象地表示了連續(xù)性的特征連續(xù)性的特征.采用了無窮小定義法采用了無窮小定義法充分必要條件充分必要條件 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)4連續(xù)性的三種定義形式不同連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有這三種定義中都含有但本質(zhì)相同但本質(zhì)相同.f (x)在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3)(0 xf 三個(gè)要素三個(gè)要素: :)( , 0 定義定義3

4、 3,0時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx, 0 .)()(0 xfxf恒恒有有 把極限定義嚴(yán)密化把極限定義嚴(yán)密化,便于分析論證便于分析論證.存在存在; 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)5注注 一般講一般講,證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定義義1方便方便;是判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)用是判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)用判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù),尤其尤其定義定義2方便方便.某一鄰域而言某一鄰域而言.由上述定義可知由上述定義可知, f(x)在在x0點(diǎn)的連續(xù)性點(diǎn)的連續(xù)性是描述是描述 f(x)在在x0點(diǎn)鄰域的性態(tài)的點(diǎn)鄰域的性態(tài)的. 即它是對即它是對因此在孤立點(diǎn)處無連續(xù)可

5、言因此在孤立點(diǎn)處無連續(xù)可言. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)6例例1 1.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos( xx ),(sin xxy對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)),(cos xy)sin(xx xsin 都是連續(xù)的都是連續(xù)的.類似可證類似可證,是連續(xù)的是連續(xù)的.0lim0 yx122 x x 0 x 即即0lim0 yx 022sinxx 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)7例例2 20, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在證證 xxx1sinli

6、m0, 0)0( f又又定義定義2.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx )(lim0 xfxx)(0 xf , 0試證函數(shù)試證函數(shù)處連續(xù)處連續(xù). 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)83. 左、右連續(xù)左、右連續(xù))()(lim000 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf)()(lim000 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf ,)()0(00 xfxf ,)()0(00 xfxf 左連續(xù)左連續(xù)(continuity from the右連續(xù)右連續(xù)(continuity from theleft); ;right). .0 x左連續(xù)左

7、連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)xyOxyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)9定理定理1處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf處既左連續(xù)處既左連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf 此定理常用于此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn).又右連續(xù)又右連續(xù) )()0()0(000 xfxfxf 處的連續(xù)性處的連續(xù)性. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10例例3 3 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不連續(xù)右不連續(xù).1)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf)1(lim1 xx1lim21

8、xx1)( xxf在在所以所以左連續(xù)左連續(xù),1 x在在.1處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxyO1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)114. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間與連續(xù)區(qū)間上的上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). . 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 稱該區(qū)間稱該區(qū)間在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點(diǎn)左端點(diǎn)ax 右端點(diǎn)右端點(diǎn)bx ,)(baCxf 這時(shí)也稱該區(qū)間為這時(shí)也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)左連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間. .)

9、,()(baCxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù))(xf 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)12例如例如, ,有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式多項(xiàng)式)內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的.因此因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)nnxaxaaxP 10)(),( )()()(xQxPxR 因此有理整函數(shù)因此有理整函數(shù)在在都是連續(xù)的都是連續(xù)的. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)13定義定義4 4處處在在若若0)(xxf出現(xiàn)如下三種情形之一出現(xiàn)如下三種情形之一:處處在點(diǎn)在點(diǎn)0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx的

10、的為為則稱則稱)(0 xfx二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類無定義無定義;不存在不存在;).(0 xf 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). . 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)14間斷點(diǎn)分為兩類間斷點(diǎn)分為兩類:第二類第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(discontinuity point of the second kind):第一類第一類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(discontinuity point of the first kind):)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, ,及及中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf稱稱 為為可去間斷點(diǎn)可去

11、間斷點(diǎn). .0 x)0(0 xf若若稱稱 為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn). .0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩, ,若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為, 稱稱 為為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn). .0 x稱稱 為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn). .0 x 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn), )0(0 xf15可能是連續(xù)點(diǎn)可能是連續(xù)點(diǎn), 初等函數(shù)無定義的孤立點(diǎn)是初等函數(shù)無定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)可能是間斷點(diǎn), 也也需要判定需要判定. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)16例例1 1,1)(xxf 函數(shù)函數(shù)xxf1)( 由于函數(shù)由于函數(shù)處處在在0)( x

12、xf無定義無定義,)(0處處無無定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf.)(0的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱xfx0 x故故為為f(x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且且皆不存在皆不存在.第二類第二類第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):),0(0 xf)0(0 xf至少有至少有之之中中有有若若)0(),0(00 xfxf.0稱為無窮型間斷點(diǎn)稱為無窮型間斷點(diǎn)則則xx 且是無窮型間斷點(diǎn)且是無窮型間斷點(diǎn).一個(gè)不存在一個(gè)不存在., 一個(gè)為一個(gè)為, xyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)17例例2 2 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函函數(shù)數(shù)處處在在0)( xxf有定義有定義,

13、xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故為為f (x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).)(0的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱xfx,)(lim0不存在不存在xfxx第二類第二類且是無窮次振蕩型間斷點(diǎn)且是無窮次振蕩型間斷點(diǎn).在在時(shí)時(shí)但當(dāng)?shù)?dāng)xx1sin,01 , 1 xy1sin 之間來回?zé)o窮次振蕩之間來回?zé)o窮次振蕩,xyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)18例例3 3 , 0,1, 0,)(xxxxxf函函數(shù)數(shù)),00()00( ff處處在在0)( xxf有定義有定義,0)(lim0 xx1)1(lim0 xx.)(0的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱xfx,)(lim0不存在不存在xfxx0 x故故

14、為為f (x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).第一類第一類的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn).),0()0(00 xfxf但但則點(diǎn)則點(diǎn)x0為函數(shù)為函數(shù) f(x) 的的且是跳躍間斷點(diǎn)且是跳躍間斷點(diǎn).跳躍型間斷點(diǎn)跳躍型間斷點(diǎn)(Jump discontinuity).)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, 則點(diǎn)則點(diǎn)x0為為)(xfxyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)119 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxxxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解解, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1 x)

15、,()(lim00 xfxfxx .)(0的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱xfx為函數(shù)的為函數(shù)的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).第一類第一類 且是可去間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn)(removable discontinuity).2)1( f , 1,1, 10,2)(xxxxxf則則連續(xù)連續(xù).1)1( f,)(0處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xxf)()(lim00 xfxfxx 但但0)(xxf在在點(diǎn)點(diǎn)或或的的為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn))(0 xfx處無定義處無定義,可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).xyO112xy2 xy 1處在1x20則可使則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).注注對可去間斷點(diǎn)對可去間斷點(diǎn)x0,如果如果,

16、)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè)于于A, (這就是為什么將這種間斷點(diǎn)稱為這就是為什么將這種間斷點(diǎn)稱為使之等使之等可去間斷點(diǎn)的理由可去間斷點(diǎn)的理由.)補(bǔ)充補(bǔ)充 x0的函數(shù)值的函數(shù)值,或或改變改變 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)21,1112處沒有定義處沒有定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xxxy11lim21 xxx如如補(bǔ)充補(bǔ)充定義定義:, 2)1( f令令.1處連續(xù)處連續(xù)所給函數(shù)在所給函數(shù)在則則 x.1稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)所以所以 x.1,不不連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以 x如如 21lim1 xx但但xyO112 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)22總結(jié)兩類間斷點(diǎn)

17、總結(jié)兩類間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): 跳躍型跳躍型,第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): 無窮型無窮型,可去型可去型無窮次振蕩型無窮次振蕩型極限與連續(xù)之間的關(guān)系極限與連續(xù)之間的關(guān)系: f(x)在在x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) f(x)在在x0點(diǎn)存在極限點(diǎn)存在極限 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)23,11)(1的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)xxexf 解解函數(shù)無定義函數(shù)無定義,1, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)., 0 x)(lim0 xfx由于由于xxex 111lim0, 所以所以0 x是函數(shù)的是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn),且是且是無窮型無窮型., 1 x由于由于)(limxfxxex 111lim10 )(limxfxxex 111lim11 所以所以1 x是函數(shù)的是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn),且是且是跳躍型跳躍型.并指出其類型并指出其類型.0011 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1x1x24(見下圖見下圖)無窮型無窮型, 無窮