麥克斯韋速率分布

1、第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論 7-4 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律 平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。則叫麥克斯韋速率分布律。速率分布：各種不同速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的速率分布：各種不同速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為多大。百分比為多大。一、分子速率分布函數(shù)一、分子速率分布函數(shù)伽伽耳耳頓頓板板第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論研究氣體分子的速率分布研究氣體分子的速率分布

2、(1) 把速率分成若干相等區(qū)間把速率分成若干相等區(qū)間;(2) 求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù);(3) 各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比。各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比。分布表分布表 分布曲線分布曲線 分布函數(shù)分布函數(shù)第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論Hg分分子子在在某某溫溫度度時時V(m/s)(N/N)*100%90以下以下6.290 14010.32140 19018.93190 24022.7240 29018.3290 34012.8340 3906.2390以上以上4.0(1) 速率速率分布表分布表速率分布：各不同速率范圍

3、內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。速率分布：各不同速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論1) 每個小長方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù)每個小長方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù) 占總分子數(shù)的百分比占總分子數(shù)的百分比 N/N2) 所有小面積的和恒等于一；所有小面積的和恒等于一；3)0v 時，小矩形面積的端點(diǎn)時，小矩形面積的端點(diǎn)連成一函數(shù)曲線連成一函數(shù)曲線速率分布函數(shù)曲線速率分布函數(shù)曲線vvf)(6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 vNNv 第六章第六章 氣體動理學(xué)理

4、論氣體動理學(xué)理論1) 每個小長方形面積代表某每個小長方形面積代表某速率區(qū)間速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的分子數(shù)占總分子數(shù)的的百分比百分比dN/N。dNf (v )N dv 1)(0 dvvf2)(vf3)極大值處對應(yīng)的速率極大值處對應(yīng)的速率)(vf最概然速率最概然速率pv附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大最大pvpv)(vfvdvvv vvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論23/22242mvkTdNmev dvNkT1895，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計方法推導(dǎo)出速率分布定律。，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計

5、方法推導(dǎo)出速率分布定律。(1) 分布分布定律定律物理意義物理意義：對于一定量的氣體，在溫度為：對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，的平衡態(tài)下，氣體分子速率氣體分子速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。(2) 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)23/222( )42mvkTdNmf vevNdvkT物理意義物理意義：對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，的平衡態(tài)下，氣體分子速率出現(xiàn)在氣體分子速率出現(xiàn)在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分

6、比 (概率概率)。第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論1、分子速率在、分子速率在0內(nèi)各種可能值，內(nèi)各種可能值，但所占比率不同，具有中等速率的但所占比率不同，具有中等速率的分子數(shù)所占比率較大，兩邊的分子分子數(shù)所占比率較大，兩邊的分子數(shù)所占百分比較小。數(shù)所占百分比較小。歸一化條件：歸一化條件：0( )1f v dv2、曲線下所包圍的面積為、曲線下所包圍的面積為1 - 分布函數(shù)歸一化。分布函數(shù)歸一化。vOdvvfNdN)( NdvdNvf )(dvvv pv二、分布函數(shù)的曲線特征及意義二、分布函數(shù)的曲線特征及意義 在溫度為在溫度為T T的平衡狀態(tài)下，在速率的平衡狀態(tài)下，在速率 的附近單位速率間

7、隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；的附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；即單位速率間隔內(nèi)分子的分布幾率。即單位速率間隔內(nèi)分子的分布幾率。-幾率（概率）密度。幾率（概率）密度。v物理意義物理意義第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論3、最概然速率（最可幾速率）、最概然速率（最可幾速率）- 分布曲線的峰值分布曲線的峰值 所對應(yīng)的速率。所對應(yīng)的速率。氣體中分子速率與最概然速率相近氣體中分子速率與最概然速率相近的分子數(shù)最多的分子數(shù)最多( (單位區(qū)間單位區(qū)間) )pv( )0df vdv令23/222402mvkTdmevdvkT221.41pkTRTRTvm 在溫度為在溫度為T的平衡態(tài)下，

8、在的平衡態(tài)下，在 附近的單位附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。pv23/222( )42mvkTdNmf vevNdvkT物理意義物理意義第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論4、 的關(guān)系的關(guān)系( )Tf vm與2T1T( )f vv21TT(1) 不同溫度下的同種氣體不同溫度下的同種氣體1212,?TT orTT112pRTv222pRTv12ppvv12TT1pv2pv第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論21( )f vv(2) 同溫度下的不同種氣體同溫度下的不同種氣體22,?O H1pv2pRTv12ppvv12221

9、, 2OH是是2pv第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論三、三種特殊速率三、三種特殊速率1 1、平均速率、平均速率-所有分子的速率的算術(shù)平均值所有分子的速率的算術(shù)平均值0iiivvNN對于連續(xù)分布對于連續(xù)分布 0)(dvvvfNdNvNvdNv881.60kTRTRTvm 0222/3224dvvekTmvkTmv 0232/3224dvevkTmkTmv )(22422/3mkTkTm mkT 8 12,vv211221_( )( )vvvvvvvf v dvvdNvdNf v dv第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論2 2 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方

10、根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvv2331.73kTRTRTvmmkT3 0222/32224dvvekTmvkTmv 0242/3224dvevkTmkTmv 第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論221.41pkTRTRTvm 3 3、最概然速率、最概然速率( )f vvTpv_v_2v2pvvv第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論說出下列各式的物理意義說出下列各式的物理意義NdvdNvf )()1(NdNdvvf )()2(dvdNNNdvdNNvf )()3(對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平

11、衡態(tài)下，氣體分子速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率出現(xiàn)在出現(xiàn)在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的的百分比百分比 (概率概率)。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率出現(xiàn)在出現(xiàn)在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論說出下列各式的物理意義說出下列各式的

12、物理意義對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率在在v1v2區(qū)間內(nèi)的平均值和在該區(qū)間概率的乘積。區(qū)間內(nèi)的平均值和在該區(qū)間概率的乘積。 21)()4(vvdvvf 21)()5(vvdvvNf 21)()

13、6(vvdvvvfNNdvNdvdNvvvv2121 21vvNNdNN 2121( )vvvvvf v dv第六章第六章 氣體動理學(xué)理論氣體動理學(xué)理論說出下列各式的物理意義說出下列各式的物理意義氣體分子速率氣體分子速率0vp區(qū)間內(nèi)的概率區(qū)間內(nèi)的概率或或氣體分子速率氣體分子速率0vp區(qū)間區(qū)間內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù) N占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率平方的平均值。平方的平均值。對于一定量的氣體，在溫度為對于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率的

14、平均值。的平均值。vdvvvf 0)()8(202)()9(vdvvfv NNdvvfppvv 00)()7(討論討論 麥克斯韋速率分布中最概然速率麥克斯韋速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪種表述正確？下面哪種表述正確？（A） 是氣體分子中大部分分子所具有的速率是氣體分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值.（D） 速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv 例例 計算在計算在 時，氫氣和氧氣分子的方均時，氫氣和氧氣分

15、子的方均根速率根速率 .rmsvC271H0.002kg mol 1O0.032kg mol 11molKJ31. 8RK300Trms3RT v13rmssm1093. 1v氫氣分子氫氣分子1rmssm483v氧氣分子氧氣分子vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例 已知分子數(shù)已知分子數(shù) ，分子質(zhì)量，分子質(zhì)量 ，分布函數(shù)，分布函數(shù) 求求 1） 速率在速率在 間的分子數(shù)；間的分子數(shù)； 2）速率）速率在在 間所有分子動能之和間所有分子動能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 間的分子數(shù)間的分子數(shù)vvvd 例例 如圖示兩條如圖示兩條 曲線分別

16、表示氫氣和曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線， 從圖從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率 .vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o例例 設(shè)想有設(shè)想有N個氣體分子，其速率分布函數(shù)為個氣體分子，其速率分布函數(shù)為 00000)()(vvvvvvAvvf試求試求: (1)常數(shù)常數(shù)A；(2)最可幾速率最可幾速率、平均速率和方均根速率；平均速率和方均根速

17、率；(3)速率介于速率介于0v0/3之間的分子數(shù)；之間的分子數(shù)；(4)速率介于速率介于0v0/3之間的氣之間的氣體分子的平均速率。體分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1) 氣體分子的分布曲線如圖氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件由歸一化條件1)(0 dvvf16)(30000 vAdvvvAvv306vA (2) 最可幾速率由最可幾速率由0)( pvdvvdf決定決定20vvp 平均速率平均速率2)(6)(00023000vdvvvvvdvvvfvv 方均速率方均速率2000330022103)(6)(0vdvvvvvdvvfvvv 方均根速率為方均根速率為02103vv 00030

18、00)(6)(vvvvvvvvvf0)2()(0 ppvvvvAdvvdf即即(3) 速率速率介于介于0v0/3之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)277)(6)(300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv (4) 速率速率介于介于0v0/3之間的氣體分子平均速率為之間的氣體分子平均速率為143277)(603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf練習(xí)十五、十六練習(xí)十五、十六 7-5 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律 麥克斯韋速率分布是對理想氣體而言的，麥克斯韋速率分布是對理想氣體而言的，1877年，年，玻耳茲曼把它推廣到

19、在某一玻耳茲曼把它推廣到在某一力場力場中的運(yùn)動分子情況，中的運(yùn)動分子情況，在力場中的分布結(jié)果叫做在力場中的分布結(jié)果叫做玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布（或麥克斯（或麥克斯韋韋-玻耳茲曼分布）玻耳茲曼分布）。 在外力場中，氣體分子既有平動動能在外力場中，氣體分子既有平動動能Et=0.5mv2, 同時，又具有勢能同時，又具有勢能Ep。氣體分子在空間的分布取決。氣體分子在空間的分布取決于其勢能，并與因子于其勢能，并與因子e-Ep/kT成正比；同樣，分子按速成正比；同樣，分子按速度的分布取決于其平動動能，并與因子度的分布取決于其平動動能，并與因子e-Et/kT成正比。成正比。()/( , )tpEEkTxyz

20、dN r vAedv dv dv dxdydz 在溫度為在溫度為T的平衡狀態(tài)下，氣體分子的速度在區(qū)間的平衡狀態(tài)下，氣體分子的速度在區(qū)間vxvx+dvx, vyvy+dvy和和vzvz+dvz內(nèi)，并且空間位置在內(nèi)，并且空間位置在xx+dx, yy+dy和和zz+dz范圍內(nèi)的分子數(shù)，可表示為：范圍內(nèi)的分子數(shù)，可表示為：一、波爾茲曼分布定律一、波爾茲曼分布定律222()/2/0( , )xyzpm vvvkTEkTxyzdN r vAedv dv dvedxdydz如果只需知道分子數(shù)在空間的分布如果只需知道分子數(shù)在空間的分布222()/2/0( , )xyzpm vvvkTEkTxyzdN r vAedv