概率論與數理統(tǒng)計6-1基本概念

1、第第 六六 章章 數數 理理 統(tǒng)統(tǒng) 計計 的的 基基 本本 概概 念念與與 抽樣分布抽樣分布第第6.16.1節(jié)節(jié) 基本概念基本概念一、總體與個體一、總體與個體二、隨機樣本二、隨機樣本三、統(tǒng)計量三、統(tǒng)計量四、小結四、小結一、總體與個體一、總體與個體 一一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.研究對象的全體稱為研究對象的全體稱為總體總體(母體母體)，總體中每個成員稱為總體中每個成員稱為個體個體.研究某批燈泡的質量研究某批燈泡的質量考察小考察小 轎車的質量轎車的質量總體總體總體總體 在統(tǒng)計研究中，人們往往關心每個個體的在統(tǒng)計研究中，人們往往關心每個個體的一項一項(或幾項或幾項

2、)數量指標和該數量指標在總體數量指標和該數量指標在總體中的分布情況中的分布情況. 這時，每個個體具有的數量這時，每個個體具有的數量指標的全體就是指標的全體就是總體總體.該批燈泡壽命的該批燈泡壽命的全體就是總體全體就是總體燈泡的壽命燈泡的壽命國產轎車每公里國產轎車每公里的耗油量的耗油量所有國產轎車每公里耗所有國產轎車每公里耗油量的全體就是總體油量的全體就是總體 由于每個個體的出現(xiàn)帶有隨機性，即相應由于每個個體的出現(xiàn)帶有隨機性，即相應的數量指標值的出現(xiàn)帶有隨機性。從而可把的數量指標值的出現(xiàn)帶有隨機性。從而可把此種數量指標看作隨機變量，我們用一個隨此種數量指標看作隨機變量，我們用一個隨機變量或其分布

3、來描述總體。為此常用隨機機變量或其分布來描述總體。為此常用隨機變量的符號或分布的符號來表示總體。變量的符號或分布的符號來表示總體。 通常，我們用隨機變量通常，我們用隨機變量X , Y , Z, 等表等表示總體。當我們說到總體，就是指一個具有示總體。當我們說到總體，就是指一個具有確定概率分布的隨機變量。確定概率分布的隨機變量。如如:研究某批燈泡的壽命時，我們關心的數研究某批燈泡的壽命時，我們關心的數量指標就是量指標就是壽命壽命，那么，此總體就可以用隨，那么，此總體就可以用隨機變量機變量X表示，或用其分布函數表示，或用其分布函數F(x)表示表示.總體總體某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命壽命壽命X可用一

4、概率可用一概率分布來刻劃分布來刻劃F(x) 某工廠某工廠10月份生產的燈泡壽命所組成的月份生產的燈泡壽命所組成的總體中總體中, 個體的總數就是個體的總數就是10月份生產的燈泡數月份生產的燈泡數, 這是一個有限總體這是一個有限總體; 而該工廠生產的所有燈泡壽而該工廠生產的所有燈泡壽命所組成的總體可命所組成的總體可近似地近似地看成一個無限總體看成一個無限總體, 它它包括以往生產和今后生產的燈泡壽命包括以往生產和今后生產的燈泡壽命. 有限總體和無限總體有限總體和無限總體實例實例 當有限總體包含的個體的當有限總體包含的個體的總數很大時總數很大時, 可近似地將它看可近似地將它看成是無限總體成是無限總體.

5、二、隨機樣本二、隨機樣本1. 樣本的定義樣本的定義 為推斷總體的分布及各種特征,按一定的規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗,以獲得有關總體的信息.這一抽取過程稱為“抽樣”. 所抽取的部分個體稱為樣本.通常記為樣本中所包含的個體數目n稱為樣本容量.),(21nXXX ( X1, X2, Xn) 容量為n的樣本可以看作n維隨機變量.但是,一旦取定一組樣本,得到的是n個具體的數 ,稱此為樣本的一次觀察值,簡稱樣本值.2. 簡單隨機樣本簡單隨機樣本 抽取樣本的目的是為了利用樣本對總體進行統(tǒng)計推斷,這就要求樣本能很好的反映總體的特性且便于處理.為此,需對抽樣提出一些要求,通常有兩條:),(21nxxx

6、滿足上述兩條性質的樣本稱為簡單隨機樣本.獲得簡單隨機樣本的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣. 為了對總體和樣本有一個明確的概念,我們給出如下定義:定義定義6.16.1一個隨機變量X或其相應的分布函數F(x)稱為一個總體.1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一個與所考察的中每一個與所考察的總體總體X有相同的分布有相同的分布.2. 獨立性獨立性： X1,X2, Xn是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量.,)(,)(,)(2121本本簡簡稱稱樣樣的的簡簡單單隨隨機機樣樣本本中中抽抽取取的的容容量量為為或或總總體體為為從從總總體體則則稱稱隨隨機機變變量量、相相互互獨獨立立的的是是具具有有同同一一分

7、分布布函函數數若若的的隨隨機機變變量量是是具具有有分分布布函函數數設設nxFXXXXxFXXXxFXnn定義定義6.26.2.,21個個獨獨立立的的觀觀察察值值的的又又稱稱為為稱稱為為樣樣本本值值它它們們的的觀觀察察值值nXxxxn樣本樣本 所有可能取值的全體稱所有可能取值的全體稱為樣本空間，為樣本空間， 記為記為 。12(,)nXXX12,.nxxx 稱稱為為中中的的樣樣本本點點定理定理6.1).(),(), 2 , 1)()3().(),(),()2().(),(),()1(.),(121*12112121 niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxpXXXxpXxFXXXx

8、FXXXXX的分布律為的分布律為則樣本則樣本的分布律為的分布律為若總體若總體的分布密度為的分布密度為則樣本則樣本的分布密度為的分布密度為若總體若總體的分布函數為的分布函數為則樣本則樣本的分布函數為的分布函數為若總體若總體的樣本的樣本為來自總體為來自總體設設3.樣本樣本的分布的分布.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求樣本求樣本是來自總體的樣本是來自總體的樣本布布的指數分的指數分服從參數為服從參數為設總體設總體nnXXXXXXX 解解的概率密度為的概率密度為總體總體 X 0, 00,)(xxexpx , 21有相同的分布有相同的分布且與且與相互獨立相互獨立因為因為XXXXn的概

9、率密度為的概率密度為所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinnxpxxxp 其其它它, 00,1ixnxenii 例例1.),(,),(, 10), 1(2121的的分分布布律律求求樣樣本本是是來來自自總總體體的的樣樣本本其其中中服服從從兩兩點點分分布布設設總總體體nnXXXXXXppBX 解解的分布律為的分布律為總體總體 X, 21相互獨立相互獨立因為因為nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且與且與X的分布律為的分布律為所以所以),( 21nXXX例例2,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11

10、)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx三、統(tǒng)計量三、統(tǒng)計量1. 統(tǒng)計量的定義統(tǒng)計量的定義6.3.),( ,),(,21212121計計量量是是一一個個統(tǒng)統(tǒng)則則稱稱不不含含未未知知參參數數中中若若的的函函數數是是的的一一個個樣樣本本是是來來自自總總體體設設nnnnXXXffXXXXXXfXXXX 由樣本推斷總體特征,需要對樣本進行“加工”,“提煉”.這就需要構造一些樣本的函數,它把樣本中所含的信息集中起來.?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是統(tǒng)統(tǒng)計計量量判判斷斷下下列列各各式式哪哪為為未未知知為為已已知知其其中中樣樣本本的的一一個個是是來來自自總總體體設設 N

11、XXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例112121212,(,)(,).nnnnxxxXXXf xxxf XXX設設是是相相應應于于樣樣本本的的樣樣本本值值 則則稱稱是是的的觀觀察察值值2. 幾個常用統(tǒng)計量幾個常用統(tǒng)計量( (樣本矩樣本矩) )的定義的定義.,2121是是這這一一樣樣本本的的觀觀察察值值是是來來自自總總體體的的一一個個樣樣本本設設nnxxxXXX(1)樣本平均值樣本平均值;11 niiXnX.11 niixnx其觀察值其觀察值 它反映了總體均值它反映了

12、總體均值 的信息的信息(2)樣本方差樣本方差 niinXXnS122)(1.1122 niiXnXn它反映了總體方差它反映了總體方差的信息的信息其觀察值其觀察值 niinxxns122)(1.1122 niixnxn(3)樣本標準差樣本標準差 ;1122 niinnXXnSS其觀察值其觀察值.)(112 niinxxns(4)修正修正樣本方差樣本方差 niinXXnS122*)(11.11122 niiXnXn其觀察值其觀察值 niinxxns122*)(11.11122 niixnxn(5) 樣本樣本 k 階階(原點原點)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其觀察值其觀察值.,211

13、1kxnanikik(6)樣本樣本 k 階中心矩階中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其觀察值其觀察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik樣本矩具有下列性質樣本矩具有下列性質:性質性質6.1 212222221234*(),(),(,),:1( )();( )();-1( )();( )().nnnXE XD XXXXXE XD XnnE SE Sn設設總總體體 的的期期望望方方差差為為來來自自總總體體 的的樣樣本本 則則有有證明證明1111111( )()()()nnniiiiiE XEXE Xnnn211211111222 nninniinniinXDXDXD)(

14、)()()()()()()(2121122123XEXEXXESEniinniinn)()()()(2211XEXDXEXDiniin212211221 nnnnin)()(2212124 )()()()(*nnnnnnnSESESE證明證明, , 21同分布同分布獨立且與獨立且與因為因為XXXXn , , 21同分布同分布獨立且與獨立且與所以所以kknkkXXXX.)()()()(21kkknkkXEXEXEXE 故有故有再根據第五章再根據第五章辛欽定理辛欽定理知知., 2, 1,)(kAnXEkXkPkkk時則當存在記成階矩的若總體性質性質6.2由第五章關于依概率收斂的序列的性質知由第五章

15、關于依概率收斂的序列的性質知),(),(2121kPkgAAAg .是連續(xù)函數是連續(xù)函數其中其中g;, 2, 1,11 kXnAkPnikik 以上結論是后面所要介紹的矩估計法的以上結論是后面所要介紹的矩估計法的理論根據理論根據. 3.次序統(tǒng)計量次序統(tǒng)計量定義定義定定義義時時取取值值為為當當大大的的次次序序重重新新排排列列為為將將觀觀測測值值按按由由小小到到是是其其一一個個觀觀測測值值中中抽抽取取的的一一個個樣樣本本是是從從總總體體設設,),(),(,),(,),()()()(nnnnnxxxXXXxxxxxxXXXX2121212121),(), 2 , 1()()2()1()()(nkkX

16、XXnkxX由此得到由此得到取值為取值為 .),(.),()()2()1(21稱為其觀測值稱為其觀測值對應的對應的的次序統(tǒng)計量的次序統(tǒng)計量稱其為樣本稱其為樣本nnxxxXXX特別的特別的.min1)1(稱稱為為最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量iniXX .max1)(稱稱為為最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量ininXX 說明說明.,),()()2()1(21)(一般不相互獨立一般不相互獨立并且它們并且它們也都是隨機變量也都是隨機變量所以所以的函數的函數都是樣本都是樣本由于每個由于每個nnkXXXXXXX定理定理6.2),()(xFxpX或或分分布布函函數數為為的的分分布布密密度度為為設設總總體體則則有

17、有的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的樣樣本本為為總總體體.)X,X,X(Xn21)X,X,X()n()2()1()()(1 )()1(1)1()1(xpxFnxpXnX 的分布密度為的分布密度為最小次序統(tǒng)計量最小次序統(tǒng)計量)()()()2(1)()(xpxFnxpXnXnn 的分布密度為的分布密度為最大次序統(tǒng)計量最大次序統(tǒng)計量其他其他的分布密度為的分布密度為總體總體解解, 00,1)( xxpX xxxxxFX, 10,0, 0)(的分布函數為的分布函數為.,),( , 0)()1(21的分布的分布和和試求試求的樣本的樣本為總體為總體上的均勻分布上的均勻分布服從區(qū)間服從區(qū)間設總體設總體nnXXXXX

18、XX例例1112100( )( )6.(),( ),nXXnxxpx 由由定定理理得得的的分分布布密密度度為為其其他他其他其他的分布密度為的分布密度為而而,)()()(001 xxnxpXnnXnn4. 經驗分布函數經驗分布函數, 的的一一個個樣樣本本是是總總體體設設XXXXn21定義5.5),()()2()1(nXXX.),(的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的樣樣本本為為總總體體nXXXX21稱稱函函數數是是任任一一實實數數設設為為其其觀觀測測值值,),()()()(xxxxn211,.,2 , 1., 1, 0)()()1()()1( nkxxxxxnkxxxFnkkn. , )( )(21的個

19、數的個數于于中不超過中不超過表示表示其中其中xxxxxxSn )( ),(1)( xxSnxFn , )( ,.即的個數再除以過為樣本值中不超經驗分布函數實數對任何換句話說的經驗分布函數為總體nxxFxXn性質.,)()1(是一個分布函數是一個分布函數滿足分布函數的特征滿足分布函數的特征xFnnxFxFxFDxFxFExFnBxnFxFxFnnnnn)(1)()(),()(),(,()(.)(,)()2(所以所以可以證明可以證明是隨機變量是隨機變量故故是樣本的函數是樣本的函數由于由于)0(1| )()(|lim).()()3( xFxFPxFxFnnn即即依概率收斂于依概率收斂于. 10)()

20、(suplim , )( 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收斂于分布函數一致收斂于分布函數以概率以概率時時當當對于任一實數對于任一實數. )( , )( )( , 使使用用來來從從而而在在實實際際中中可可當當作作只只有有微微小小的的差差別別與與總總體體分分布布函函數數數數的的任任一一個個觀觀察察值值經經驗驗分分布布函函時時充充分分大大當當對對于于任任一一實實數數xFxFxFnxn自定義放映1格里汶科定理（定理格里汶科定理（定理6.3）例例1 , 3 , 2 , 1 具有一個樣本值具有一個樣本值設總體設總體 F )( 3為為則經驗分布函數則經驗分布函數xF . 3, 1, 32,32, 21,31, 1, 0