數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典練習(xí)及解答過程

1、第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法知識點數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立易誤提醒運用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意：(1)第一步驗證nn0時，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值(2)由nk時命題成立，證明nk1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法自測練習(xí)1已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)Cf

2、(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2)解析：從n到n2共有n2n1個數(shù)，所以f(n)中共有n2n1項，且f(2)，故選D.答案：D2(2016·黃山質(zhì)檢)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時，若已假設(shè)nk(k2為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n()時等式成立()Ak1Bk2C2k2 D2(k2)解析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，則nk(k2為偶數(shù))下一個偶數(shù)為k2，故選B.答案：B考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式|求證：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5·

3、3;(2n1)(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，等式左邊2，右邊21·12，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1)當(dāng)nk1時，左邊(k2)(k3)··2k·(2k1)(2k2)2·(k1)(k2)(k3)··(kk)·(2k1)2·2k·1·3·5··(2k1)·(2k1)2k1·1·3

4、83;5··(2k1)(2k1)這就是說當(dāng)nk1時，等式成立根據(jù)(1)，(2)知，對nN*，原等式成立 1用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式：12223242(1)n1·n2(1)n1.證明：(1)當(dāng)n1時，左邊121，右邊(1)0·1，原等式成立(2)假設(shè)nk(kN*，k1)時，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，當(dāng)nk1時，則有12223242(1)k1·k2(1)k·(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k.nk1時，等式也成立，由(1)(2)知對任

5、意nN*，有12223242(1)n1·n2(1)n1.考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式|設(shè)數(shù)列an各項均為正數(shù)，且滿足an1ana.求證：對一切n2，都有an.證明數(shù)列an各項均為正數(shù)，且滿足an1ana，a2a1a>0，解得0<a1<1.當(dāng)n2時，a3a2a2，不等式成立，假設(shè)當(dāng)nk(k2)時，不等式成立，即ak，則當(dāng)nk1時，ak1aka22<，當(dāng)nk1時，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，對一切n2，都有an.2數(shù)列an滿足an1，a11.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和Sn，并證明：>.解：(1)證明：an1，化簡得2，即2，故數(shù)列是

6、以1為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知2n1，Snn2.證明：法一：>1.法二：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時，1，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，即>.則當(dāng)nk1時，>，又11>0，>，原不等式成立考點三歸納猜想證明問題|將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測S1S3S5S2n1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S61617181

7、92021111，解由題意知，當(dāng)n1時，S1114；當(dāng)n2時，S1S31624；當(dāng)n3時，S1S3S58134；當(dāng)n4時，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，S1114，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，當(dāng)nk1時，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知對于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立3設(shè)a>0，f(x)，令

8、a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解：(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明：易知n1時，猜想正確假設(shè)nk時猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時猜想正確由知，對于任意的nN*，都有an成立.14.數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的易誤點【典例】設(shè)函數(shù)f(x)xsin x，數(shù)列an滿足an1f(an)(1)若a12，試比較a2與a3的大小；(2)若0<a1<1，求證：對任意nN*,0<an<1恒成立解(1)當(dāng)a12時

9、，a2f(2)2sin 2(0,2)，所以sin a2>0，又a3f(a2)a2sin a2，所以a3a2sin a2<0，所以a2>a3.(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0<a1<1時，對任意nN*,0<an<1恒成立當(dāng)n1時，0<a1<1，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，0<ak<1，所以sin ak>0，則當(dāng)nk1時，ak1aksin ak<0，所以ak1<ak<1.因為f(x)xsin x，當(dāng)x(0,1)時，f(x)1cos x>0，所以f(x)是(0,1)上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以ak1

10、f(ak)>f(0)0，即0<ak1<1，故當(dāng)nk1時，結(jié)論成立綜上可得，當(dāng)0<a1<1時，對任意nN*,0<an<1恒成立易誤點評(1)不會作差比較a2與a3大小，同時忽視了sin 2的值大小(2)證明nk1成立時用不歸納做證nk成立條件導(dǎo)致失誤防范措施(1)用數(shù)學(xué)歸納證明不等式的關(guān)鍵是由nk時命題成立，證明nk1時命題成立(2)在歸納假設(shè)使用后，注意最后結(jié)論證明方法的選擇跟蹤練習(xí)若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過點P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點的橫坐標(biāo)，試運用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xn<x

11、n1<3.證明：(1)當(dāng)n1時，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直線PQ1的方程為y4x11，令y0，得x2，因此，2x1<x2<3，即n1時結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立，即2xk<xk1<3.直線PQk1的方程為y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由歸納假設(shè)，2<xk1<3，xk24<43；xk2xk1>0，即xk1<xk2.所以2xk1<xk2<3，即當(dāng)nk1時，結(jié)論成立由(1)，(2)知對任；意的正整數(shù)n,2xn<xn1<3.A組考點能力演練1用數(shù)學(xué)歸納法證明

12、：1<2(nN，n2)證明：(1)當(dāng)n2時，1<2，命題成立(2)假設(shè)nk時命題成立，即1<2.當(dāng)nk1時，1<2<222命題成立由(1)，(2)知原不等式在nN，n2時均成立2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為anf(n)(1)計算f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)比較f(n)與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論證明：(1)由已知f(1)S21，f(2)S4S1，f(3)S6S2；(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時，f(n)<1.由(1)知當(dāng)n3時，f(n)<1；假設(shè)nk(k3)時，f

13、(k)<1，即f(k)<1，那么f(k1)<111<1，所以當(dāng)nk1時，f(n)<1也成立由和知，當(dāng)n3時，f(n)<1.所以當(dāng)n1和n2時，f(n)>1；當(dāng)n3時，f(n)<1.3(2015·安慶模擬)已知數(shù)列an滿足a1a>2，an(n2，nN*)(1)求證：對任意nN*，an>2；(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性，并說明你的理由；(3)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，求證：當(dāng)a3時，Sn<2n.解：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2(nN*)；當(dāng)n1時，a1a>2，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k1)時結(jié)論成立，即ak>2，則nk1時，ak1>2，所以nk1時，結(jié)論成立故由及數(shù)學(xué)歸納法原理，知對一切的nN*，都有an>2成立(2)an是單調(diào)遞減的數(shù)列因為aaan2a(an2)(an1)，又an>2，所以aa<0，所以an1<a