數(shù)學(xué)精華平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1、第8課時(shí)二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問題. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析： 啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向

2、量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3“投影”的概念：作圖C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = ae =|a|cosq； 2 ab ab =

3、 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a|b|. 特別的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a b = b a證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b)證：若 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a

4、|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）(

5、)三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = q = 60例2 求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中，=|2=而= ，|2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且，試問四邊形ABCD是什么圖

6、形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫?，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得(2)，即，也即ABBC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評(píng)述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.四、課堂練習(xí)：1.下列敘述不正確的是（ ）A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù)2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為，則(a+2b)(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ）A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150，則(a