數(shù)學(xué)建模——微分方程的應(yīng)用

1、第八節(jié) 數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程的實(shí)際應(yīng)用，尤其是微分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用. 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的魅力.分布圖示衰變問(wèn)題邏輯斯諦方程價(jià)格調(diào)整問(wèn)題人才分配問(wèn)題內(nèi)容要點(diǎn)： 一、衰變問(wèn)題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量, 這種現(xiàn)象稱(chēng)為放射性物質(zhì)的衰變. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知, 衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比, 求放射性元素在時(shí)刻t的質(zhì)量.用x表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻t的質(zhì)量, 則表示x在時(shí)刻t的衰變速度, 于是“衰變速度與現(xiàn)存的質(zhì)量成正比”可表示為 (8.1)這

2、是一個(gè)以x為未知函數(shù)的一階方程, 它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型, 其中是比例常數(shù), 稱(chēng)為衰變常數(shù), 因元素的不同而異. 方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間t增加時(shí), 質(zhì)量x減少.解方程(8.1)得通解若已知當(dāng)時(shí), 代入通解中可得 則可得到方程(8.1)特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注: 物理學(xué)中, 我們稱(chēng)放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí)間為半衰期, 不同物質(zhì)的半衰期差別極大. 如鈾的普通同位素()的半衰期約為50億年;通常的鐳()的半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征, 然而半衰期卻不依賴(lài)于該物質(zhì)的初始量, 一克衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸衰變成半噸所需要的時(shí)間同樣都是1600

3、年, 正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳-14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ).二、 邏輯斯諦方程:邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型, 下面我們借助樹(shù)的增長(zhǎng)來(lái)建立該模型.一棵小樹(shù)剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢, 漸漸地, 小樹(shù)長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來(lái)越快, 幾年不見(jiàn), 綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了; 但長(zhǎng)到某一高度后, 它的生長(zhǎng)速度趨于穩(wěn)定, 然后再慢慢降下來(lái). 這一現(xiàn)象很具有普遍性. 現(xiàn)在我們來(lái)建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比, 則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情形, 因?yàn)闃?shù)不可能越長(zhǎng)越快; 但如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差, 則又明顯不符合中間一

4、段的生長(zhǎng)過(guò)程. 折衷一下, 我們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度,又與最大高度與目前高度之差成正比.設(shè)樹(shù)生長(zhǎng)的最大高度為H(m), 在t(年)時(shí)的高度為h(t), 則有 (8.2)其中是比例常數(shù). 這個(gè)方程為L(zhǎng)ogistic方程. 它是可分離變量的一階常數(shù)微分方程.下面來(lái)求解方程(8.2). 分離變量得兩邊積分 得或 故所求通解為其中的是正常數(shù).函數(shù)的圖象稱(chēng)為L(zhǎng)ogistic曲線. 圖8-8-1所示的是一條典型的Logistic曲線, 由于它的形狀, 一般也稱(chēng)為S曲線. 可以看到, 它基本符合我們描述的樹(shù)的生長(zhǎng)情形. 另外還可以算得這說(shuō)明樹(shù)的生長(zhǎng)有一個(gè)限制, 因此也稱(chēng)為限制性增長(zhǎng)模式.注: Lo

5、gistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”. “邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”, 因此許多現(xiàn)象本質(zhì)上都符合這種S規(guī)律. 除了生物種群的繁殖外, 還有信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷(xiāo)售等. 例如流感的傳染、在任其自然發(fā)展(例如初期未引起人們注意)的階段, 可以設(shè)想它的速度既正比于得病的人數(shù)又正比于未傳染到的人數(shù). 開(kāi)始時(shí)患病的人不多因而傳染速度較慢; 但隨著健康人與患者接觸, 受傳染的人越來(lái)越多, 傳染的速度也越來(lái)越快; 最后, 傳染速度自然而然地漸漸降低, 因?yàn)橐呀?jīng)沒(méi)有多少人可被傳染了.下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明邏輯斯諦的應(yīng)用.人口阻滯增長(zhǎng)模型 1837年, 荷蘭生物

6、學(xué)家Verhulst提出一個(gè)人口模型 (8.3)其中的稱(chēng)為生命系數(shù).我們不詳細(xì)討論這個(gè)模型, 只提應(yīng)用它預(yù)測(cè)世界人口數(shù)的兩個(gè)有趣的結(jié)果.有生態(tài)學(xué)家估計(jì)k的自然值是0.029. 利用本世紀(jì)60年代世界人口年平均增長(zhǎng)率為2%以及1965年人口總數(shù)33.4億這兩個(gè)數(shù)據(jù), 計(jì)算得從而估計(jì)得:(1)世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億.(2)到2000年時(shí)世界人口總數(shù)為59.6億.后一個(gè)數(shù)字很接近2000年時(shí)的實(shí)際人口數(shù), 世界人口在1999年剛進(jìn)入60億.新產(chǎn)品的推廣模型 設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng), t時(shí)刻的銷(xiāo)量為由于產(chǎn)品性能良好, 每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品, 因此, t時(shí)刻產(chǎn)品銷(xiāo)售的增長(zhǎng)率與成正比, 同

7、時(shí), 考慮到產(chǎn)品銷(xiāo)售存在一定的市場(chǎng)容量N, 統(tǒng)計(jì)表明與尚未購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量也成正比, 于是有(8.4)其中k為比例系數(shù). 分離變量積分, 可以解得(8.5)由當(dāng)時(shí), 則有即銷(xiāo)量單調(diào)增加. 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 即當(dāng)銷(xiāo)量達(dá)到最大需求量N的一半時(shí), 產(chǎn)品最為暢銷(xiāo), 當(dāng)銷(xiāo)量不足N一半時(shí), 銷(xiāo)售速度不斷增大, 當(dāng)銷(xiāo)量超過(guò)一半時(shí), 銷(xiāo)售速度逐漸減少.國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明. 許多產(chǎn)品的銷(xiāo)售曲線與公式(8.5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近. 根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析, 許多分析家認(rèn)為, 在新產(chǎn)品推出的初期, 應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳, 而在產(chǎn)品用戶(hù)達(dá)到20%到80%期間, 產(chǎn)品應(yīng)大批量

8、生產(chǎn); 在產(chǎn)品用戶(hù)超過(guò)80%時(shí), 應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn), 可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.三、價(jià)格調(diào)整模型在本章第一節(jié)例3已經(jīng)假設(shè), 某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系. 一般情況下,商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù), 商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù), 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為 (8.6)其中均為常數(shù), 且當(dāng)供給量與需求量相等時(shí), 由(8.6)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格并稱(chēng)為均衡價(jià)格.一般地說(shuō), 當(dāng)某種商品供不應(yīng)求, 即時(shí), 該商品價(jià)格要漲, 當(dāng)供大于求, 即時(shí), 該商品價(jià)格要落. 因此, 假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格的變化率與超額需求量成正比, 于是有方程其中用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度.將(8

9、.6)代入方程, 可得 (8.7)其中常數(shù)方程(8.7)的通解為假設(shè)初始價(jià)格代入上式, 得于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為由于知, 時(shí), 說(shuō)明隨著時(shí)間不斷推延, 實(shí)際價(jià)格將逐漸趨近均衡價(jià)格.四、人才分配問(wèn)題模型每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍, 其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門(mén)從事經(jīng)濟(jì)和管理工作. 設(shè)t年教師人數(shù)為科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為又設(shè)1外教員每年平均培養(yǎng)個(gè)畢業(yè)生, 每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率于是有方程 (8.8) (8.9)方程(8.8)有通解 (8.10)若設(shè)則于是得特解 (8.11)將(8.

10、11)代入(8.9)方程變?yōu)?(8.12)求解方程(8.12)得通解 (8.13)若設(shè)則于是得特解 (8.14)(8.11)式和(8.14)式分別表示在初始人數(shù)分別為情況, 對(duì)應(yīng)于的取值, 在t年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù). 從結(jié)果看出, 如果取即畢業(yè)生全部留在教育界, 則當(dāng)時(shí), 由于必有而說(shuō)明教師隊(duì)伍將迅速增加. 而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮, 勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展, 反過(guò)來(lái)也會(huì)影響教育的發(fā)展. 如果將接近于零. 則同時(shí)也導(dǎo)致說(shuō)明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率, 將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè), 以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局.五、追跡問(wèn)題設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位, 乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走; 甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā), 始終對(duì)準(zhǔn)乙以的速度追趕. 求追跡曲線方程, 并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí), 被甲追到.建立如圖8-8-2所示的坐標(biāo)系, 設(shè)所求追跡曲線方程為經(jīng)過(guò)時(shí)刻t, 甲在追跡曲線上的點(diǎn)為乙在點(diǎn)于是有 (8.15)由題設(shè), 曲線的弧長(zhǎng)OP為解出代入(8.15), 得兩邊對(duì)x求導(dǎo), 整理得這