數(shù)學(xué)分析之微分中值定理的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)分析之微分中值定理的應(yīng)用張煥，付桐林（隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽 745000）【摘要】：微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分，以Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy 中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁的作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶。本文將專門針對數(shù)學(xué)分析中出現(xiàn)的各種中值定理進(jìn)行討論和研究，討論羅爾(Rolle)中值定理對于函數(shù)與其連續(xù)高階導(dǎo)數(shù)間關(guān)系的應(yīng)用以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)?！娟P(guān)鍵詞】：R

2、olle中值定理；Lagrange中值定理 ；Cauchy中值定理；應(yīng)用1. 引言 數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理是研究函數(shù)特性的一個(gè)有力工具，在微積分領(lǐng)域有舉足輕重的地位，它們廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)中的各個(gè)領(lǐng)域，在計(jì)算方法以及實(shí)變函數(shù)中都用于一些復(fù)雜的定理證明。但是關(guān)于微分中值定理這方面的知識一直比較離散，尤其在其應(yīng)用過程中可以發(fā)現(xiàn)，如何巧妙應(yīng)用，也許要很多理論的支持，比如在哪些條件下可以應(yīng)用哪個(gè)微分中值定理，這樣的問題也并不是很容易解決，因此把微分中值定理的性質(zhì)及應(yīng)用做一整理和歸納就顯得尤為重要。本文的目的在于更加詳細(xì)的歸納和整理本文的目的在于對Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauch

3、y中值定理的性質(zhì)及應(yīng)用。2. 預(yù)備知識：引理1 （Fermat引理）設(shè)是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，且f(x)在處導(dǎo)數(shù)存在，則f()=0.3三種中值定理的具體應(yīng)用3.1羅爾(Rolle)中值定理對于函數(shù)與其連續(xù)高階導(dǎo)數(shù)間關(guān)系的應(yīng)用（Roll定理） 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得f()=0. 定理1 設(shè)f(x)a,b，有點(diǎn),k=1,2,n，滿足,f()=0。那么對于任意，(k=1,n)必存在一點(diǎn)，使得F()= (1) 證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)如下： F(x)=f() (2) 易知F(x)a,b，且有f()=0,k=1,2

4、,n,及F()=0 。即F(x)在a,b上有n+1個(gè)零點(diǎn) (k=1,2,n)與，可將它們重新按從小到大順序排列且記為，(顯然有j，使得)。顯然F()=0， k=1,2,n+1。則由羅爾定理，在每個(gè)之間必有點(diǎn)，k=1,2,n,使得, k=1,2,n。進(jìn)而對，再依羅爾定理，存在點(diǎn),，使得, k=1,2,n-1。根據(jù)F(x)a,b，可重復(fù)上述步驟多次，直到最后對在,上k=1,2，應(yīng)用羅爾定理得，存在一點(diǎn),(a,b)使得，因此有 f()=n! f()-即得 F()= , . 證畢依此定理，可直接推得如下結(jié)果：推論 設(shè)f(x)a,b，且有點(diǎn)滿足,f()=f(,k=0,1,n-1,(k=1,n-1)必存在

5、一點(diǎn)，使得 f()=f(事實(shí)上，可考慮函數(shù)F(x):.易見，及）=0。從而應(yīng)用上述定理，知存在點(diǎn)，使得，即 ，于是 .上述結(jié)果可用來討論具有連續(xù)高階導(dǎo)數(shù)的周期函數(shù)，本征函數(shù)等有關(guān)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)間關(guān)系及性質(zhì)。3. 2 Lagrange中值定理及其應(yīng)用Lagrange中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn) (a,b)，使得f() (f(b)-f(a) /(b-a) . 證明：作輔助函數(shù) F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a) (x-a)/(b-a) , xa,b, 由于函數(shù)f(x)在 閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，因此函數(shù)

6、F(x)也f(x)在 閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且有F(a)=F(b)=0，于是由Roll定理，至少存在一點(diǎn)(a,b)使得F(x)=0.對F(x)的表達(dá)式求導(dǎo)并令F()=0，整理后便得到 f() (f(b)-f(a) /(b-a) . 證畢用Lagrange中值定理討論函數(shù)性質(zhì)：定理2：若f（x）在(a,b)上可導(dǎo)，且f(x)0，則f(x)在(a,b)上恒為常數(shù)。 證明：設(shè)和是區(qū)間（a,b）中任意兩點(diǎn)，在,上應(yīng)用Lagrange中值定理，即知存在(,)(a,b)，使得f()-f() = f()(-), 由條件f()=0，便有f()=f() ,由,的任意性，就得到f(x)=

7、C , x(a,b). 證畢這個(gè)定理說的是函數(shù)在區(qū)間中導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的情況，下面來討論函數(shù)在區(qū)間中導(dǎo)數(shù)保持定號時(shí)函數(shù)所具有的性質(zhì)。為了討論方便，我們用I表示某一區(qū)間，它可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半開辦閉區(qū)間，而區(qū)間長度可以是有限的也可以是無限的。定理3：（一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則在I上單調(diào)增加的充分必要條件是：對于任意xI有f(x)0；特別地，若對于任意xI有f(x)0，則在I上嚴(yán)格單調(diào)增加。證明：充分性：設(shè)和是區(qū)間I中任意兩點(diǎn)，在上應(yīng)用Lagrange中值定理，即知存在，使得，由于，因此與同號。所以，當(dāng)0或 0時(shí)，相應(yīng)地分別有0或0，由和在a，b中的任意性，即知在I上單調(diào)增加

8、或嚴(yán)格單調(diào)增加。 必要性：設(shè)x是區(qū)間I中任意一點(diǎn)，由于在I上單調(diào)增加，所以對于任意成立令，即得到。證畢 類似地可以得到在I上（或與在I上單調(diào)減少（或嚴(yán)格單調(diào)減少）之間的關(guān)系。定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上定義，若對I中的任意兩點(diǎn)和，和任意的，都有則稱是I上的下凸函數(shù)。若不等號嚴(yán)格成立，則稱在I上是嚴(yán)格下凸函數(shù)。定理4：（二階導(dǎo)數(shù)與凸性的關(guān)系）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，則在區(qū)間I上是下凸函數(shù)的充分必要條件是：對于任意有0。特別地，若對于任意有0，則在I上是嚴(yán)格下凸函數(shù)。下面舉例用下凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式 ，x,y0，n1；證明：設(shè)=，則當(dāng)n1時(shí)，所以在（0，+）上嚴(yán)格下凸，因而，x,y0.一類Lagra

9、nge中值定理證明題淺析： 設(shè)在0，1上連續(xù)（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，試分別證明：（1） 存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得.（2） 存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得.（3） 存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得.（4） 存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)及大于零的常數(shù)，使得（5） 對于任意的正整數(shù)n，存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)及常數(shù)，使得=.分析 要證明存在（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得題中等式成立，關(guān)鍵是在（0，1）內(nèi)插入一個(gè)分點(diǎn)c，將閉區(qū)間0，1分成兩個(gè)子區(qū)間0，c及c，1，然后分別在這兩個(gè)閉區(qū)間上應(yīng)用中值定理即可。分點(diǎn)c的選取，要根據(jù)具體情況而定，有時(shí)需要結(jié)合閉區(qū)間上來連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，推斷符合要求

10、的c點(diǎn)的存在性，以保證函數(shù)在該點(diǎn)處的值滿足特殊要求，進(jìn)而完成證明。 證明：（1）顯然，分別在0，1/2及1/2，1上滿足Lagrange中值定理的條件，故存在，使得，從而（2）因?yàn)樵冢?，1）上連續(xù)，故根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理存在，滿足。顯然分別在（0，c）及（c，1）上滿足Larange中值定理的條件，故存在，使得，從而（3）構(gòu)造輔助函數(shù)。顯然，其在0，1上連續(xù)，且=-10，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，滿足F（c）=0，f（c）=1-c又，分別在0，c及c，1上滿足Larange中值定理的條件，故存在，使得，從而（4）因?yàn)樵?，1上連續(xù)，故根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在

11、，滿足。顯然分別在（0，c）及（c，1）上滿足Larange中值定理的條件，故存在，使得，從而（5）因?yàn)樵?，1上連續(xù)，且對于任意的正整數(shù)n，故根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，滿足 又顯然分別在0，c及c,1上滿足Larange中值定理的條件，故存在，使得，從而=3.3 Cauchy 中值定理及其應(yīng)用 Cauchy 中值定理 設(shè)f(x) 和g(x)都在閉區(qū)間a,b上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且對于任意的x(a,b)，g(x)0 . 則至少存在一點(diǎn) (a,b)，使得 f() /g()(f(b)-f(a)/(g(b)-g(a) . 證明：由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，以及g(x)在a,b上

12、連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)恒不為零，讀者不難用反證法證明，g(x)在a,b上嚴(yán)格單調(diào)。不妨設(shè)g(x)嚴(yán)格單調(diào)增加。記g(a)=,g(b)=，由反函數(shù)存在定理和反函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在定理，在,上存在g(x)的反函數(shù)(y), (y)在,上連續(xù)，在(,)上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)=并且在,上也是嚴(yán)格單調(diào)增加的。 考慮,上的復(fù)合函數(shù)F(y)=f(y)，由定理?xiàng)l件和以上討論，即知F(y)在,上滿足Lagrange中值定理?xiàng)l件，于是，存在，使得 F()= 由g(x)和(y)的關(guān)系，在(a,b)中一定存在一點(diǎn)，滿足g()=，于是 F()=f(y) =f(y)*(y) = f(x)*(1/g(x)=代入上式就得到了定理結(jié)論

13、。 證畢4. 應(yīng)用舉例：例1：求極限，其中為常數(shù)。 解 由Lagrange中值定理，其中位于與之間當(dāng)n時(shí)，趨于1，所以=a 例2：設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上二階可導(dǎo)，證明存在，成立f(b)+f(a)-2f()= 證明： 設(shè)g(x)=f(x)-f(x-)-f(a)。由于 g ()=f()-f(a), g(b)=f(b)-f(), 在區(qū)間,b上對g(x)應(yīng)用Lagrange中值定理，即得到 f(b)+f(a)-2f()=g(b)-g()=g()=f()-f(-)= .例3：設(shè)a，b0，在a，b上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，證明存在，使得證明：令=，對，應(yīng)用Cauchy中值定理，可知必存在，使得從而 .例4：設(shè)f(x)在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，且f(0)= f(0)=，用Cauchy 中值定理證明 (0<<1) . 證明： 反復(fù)使用Cauchy 中值定理, ,所以存在，使得，命題成立。 結(jié)束語：本文通過對三個(gè)微分中值定理的探究，在證明中值點(diǎn)的存在性 、證明恒等式 、 證