數(shù)列的極限教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三節(jié) 數(shù)列的極限西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院汪媛媛引言：極限思想是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法-割圓術(shù), 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在莊子.天下篇一書(shū)中對(duì)“截丈問(wèn)題”，有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬(wàn)世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想. 極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.分布圖示 極限概念的引入

2、 數(shù)列的定義 數(shù)列的極限 數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 收斂數(shù)列的有界性 極限的唯一性 例9 子數(shù)列的收斂性 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1-3 返回教學(xué)目的：1理解極限的概念，了解極限的定義；2會(huì)用極限的嚴(yán)格定義證明極限.；3了解極限的性質(zhì)；教學(xué)重難點(diǎn)：理解掌握數(shù)列極限的概念內(nèi)容要點(diǎn)一、數(shù)列的定義極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面

3、積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。當(dāng)越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確。但是無(wú)論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積。因此，設(shè)想無(wú)限增大（記為，讀作趨于無(wú)窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當(dāng)時(shí)的極限。在圓面積問(wèn)題中我們看到，正是這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積。在解決實(shí)際問(wèn)題中逐漸

4、形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進(jìn)一步的闡明。先說(shuō)明數(shù)列的概念。如果按照某一法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，這樣依次序排列著，使得對(duì)應(yīng)著任何一個(gè)正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)。例如：都是數(shù)列的例子，它們的一般項(xiàng)依次為。以后，數(shù)列也簡(jiǎn)記為數(shù)列。注：打印錯(cuò)誤：L等為省略號(hào)。二、數(shù)列的極限如果數(shù)列，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的取值能無(wú)限接近常數(shù)，我們就稱是當(dāng)時(shí)的極限，記作它的解析1定義：如果數(shù)列與常數(shù)有下列關(guān)系：對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)，使得對(duì)于時(shí)的一切，不等式都成立，則稱常數(shù)是數(shù)列

5、的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為或 。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。顯然論證法，其論證步驟為：（1）對(duì)于任意給定的正數(shù), 令 ；（2）由上式開(kāi)始分析倒推, 推出 ；（3）取 ，再用語(yǔ)言順述結(jié)論.下面我們將學(xué)習(xí)數(shù)列極限的性質(zhì)：三、極限的唯一性性質(zhì)1（極限的唯一性） 數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。四、收斂數(shù)列的有界性性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。五、子數(shù)列的收斂性性質(zhì)3（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系） 如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是。例題選講例1 (E01)下列各數(shù)列是否收斂,若收斂,試指出其收斂于何值.(1); (2); (3); (4).解

6、 (1)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),也無(wú)限增大,故該數(shù)列是發(fā)散的;(2)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于0,故該數(shù)列是收斂于0;(3)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)休止地反復(fù)取1、-1兩個(gè)數(shù),而不會(huì)接近于任何一個(gè)確定的常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的;(4)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于1,故該數(shù)列是收斂于1.例2 (E02)證明證 由，故對(duì)任給要使只要即所以，若取則當(dāng)時(shí)，就有即 例3設(shè)(為常數(shù))，證明證 因?qū)θ谓o對(duì)于一切自然數(shù)恒有所以， 即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).注：用定義證數(shù)列極限存在時(shí)，關(guān)鍵是：對(duì)任意給定的尋找但不必要求最小的例4證明其中證 任給若則若欲使必須即故對(duì)任給若取則當(dāng)時(shí)，就有從而證得例5設(shè)且求證證任給由要使即要對(duì)當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，恒有故例6用數(shù)列極限定義證明 證由于只要解得因此，對(duì)任給的取則時(shí)，成立，即 例7 (E03)用數(shù)列極限定義證明 證 由于，要使只要即因此，對(duì)任給的取當(dāng)時(shí)，有即例8 (E04)證明：若則存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)，不等式成立.證 因由數(shù)列極限的定義知，對(duì)任給的存在當(dāng)時(shí)，恒有由于故時(shí)，恒有從而有由此可見(jiàn)，只要取則當(dāng)時(shí)，恒有 . 證畢.例9 (E05)證明數(shù)列是發(fā)散的證 設(shè)由定