工程力學-第七章緒論第八章軸向拉伸與壓縮

1、2022年年5月月1日日第七章 緒 論l主要任務主要任務：研究構件在外力作用下的變形、受力與破壞或失效的規(guī)律，為合理設計構件提供有關強度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法。 l工程實際中的構件，形狀多種多樣，主要可分為桿件與板件。 l桿件桿件：一個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸的構件。簡稱為桿。 l桿件的形狀與尺寸由其軸線與橫截面確定，軸線通過橫截面的形心，橫截面與軸線相正交。 材料力學的主要研究對象研究對象：桿桿 l根據(jù)軸線與橫截面的特征，桿件可分為：等截面桿、變截面桿、直桿與曲桿。l等截面直桿的分析計算原理。一般也可近似用于曲率較小的曲桿與截面無顯著變化的變截面桿。l板件板件：一個方向

2、的尺寸遠小于其它兩個方向的尺寸的構件。l中面中面：平分板件厚度的幾何面，稱為中面。l板板：中面為平面的板件稱為板。l殼殼：中面為曲面的板件稱為殼。 l為便于對構件進行強度、剛度和穩(wěn)定性的理論為便于對構件進行強度、剛度和穩(wěn)定性的理論分析，根據(jù)材料的主要性質(zhì)對其作如下假設：分析，根據(jù)材料的主要性質(zhì)對其作如下假設： 連續(xù)性假設、均勻性假設、各向同性假設。連續(xù)性假設、均勻性假設、各向同性假設。連續(xù)性假設連續(xù)性假設：假設構件在其整個體積內(nèi)都毫無空隙的充滿了物質(zhì)，即認為是密實的。則構件的一些物理量（例如各點的位移），即可用坐標的連續(xù)函數(shù)表示，并可采用無限小的數(shù)學分析方法。 均勻性假設均勻性假設：假設構件在

3、其整個體積內(nèi)都由同一種物質(zhì)組成，即材料的力學性能與其在構件中的位置無關，認為是均勻的。則構件內(nèi)部任何部位所切取的微小單元體（簡稱為微體），都具有與構件完全相同的性質(zhì)。通過對微體所測得的力學性質(zhì)，也可用于構件的任何部位。 各向同性假設各向同性假設：假設材料沿各個方向具有相同的力學性質(zhì)，即認為是各向同性的。 l綜上所述，在材料力學中，一般將實際材料看作是連續(xù)、均勻與各向同性的可變形固體。實踐表明，在此基礎上所建立的理論與分析計算結果，符合工程要求。 l外力外力：其它構件與物體作用在所研究構件上的力均為外力，包括載荷與約束力。根據(jù)外力在構件表面的分布情況，外力又分為分布力與集中力。按載荷隨時間變化的

4、情況，外力又分為靜載荷（隨時間變化緩慢或不變化，加載過程中構件的加速度很小可以忽略不計）與動載荷（隨時間變化顯著或使構件各質(zhì)點產(chǎn)生明顯加速度的載荷）。 q內(nèi)力與截面法：l內(nèi)力產(chǎn)生的原因： 在外力作用下，由于構件發(fā)生變形，其內(nèi)部各點均會發(fā)生位移，因而構件內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生相互作用力。F1FnF3F2內(nèi)力內(nèi)力：作用在切開截面上的連續(xù)分布力。(或由于外力作用，構件內(nèi)部相連部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力)。 靜力學與材料力學 的研究對象不同， 故對內(nèi)力的定義 也不同。 連續(xù)分布力系連續(xù)分布力系與外力組成平衡力系與外力組成平衡力系( (特殊情形下內(nèi)力本身形特殊情形下內(nèi)力本身形成自相平衡力系成自相平衡力

5、系) )F1FnF3F2l內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩( (Resultant Force and Resultant Moment) )F1FnF3F2F1FRF3Ml內(nèi)力分量內(nèi)力分量( (Components of the Internal Forces) )FRFNFQMMyMx 在確定的坐標系中在確定的坐標系中, ,軸力、剪力、扭矩、彎軸力、剪力、扭矩、彎矩會產(chǎn)生相應的變形效應。矩會產(chǎn)生相應的變形效應。l基本變形與內(nèi)力： 拉壓桿拉壓桿軸力軸力：沿軸線的內(nèi)力分量稱為軸力。 彎曲變形彎曲變形剪力剪力：作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量稱為剪力。 彎曲變形彎曲變形彎矩彎矩：力偶矩的作用面

6、與軸線共面 稱之為彎矩。扭轉變形扭轉變形扭矩扭矩：力偶矩的作用面與軸線垂直稱之為扭矩。 l拉壓桿軸力拉壓桿軸力：沿軸線的內(nèi)力分量稱為軸力。FNFNFRFNFQl彎曲變形剪力彎曲變形剪力：作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量稱為剪力。FQFQFRFNFQl彎曲變形彎矩彎曲變形彎矩：力偶矩的作用面與軸線共面（或矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量）稱之為彎矩。MMyMxl扭轉變形扭矩扭轉變形扭矩：力偶矩的作用面與軸線垂直（或矢量沿軸線的內(nèi)力偶矩分量）稱之為扭矩。MMyMxl由下列平衡方程即可建立內(nèi)力與外力的關系，或由外力確定內(nèi)力。 0F 0,F 0,Fzyx0M 0,M 0,Mzyx截面法截面法：將桿件用假

7、想截面切開以顯示內(nèi)力，并用平衡方程求得內(nèi)力的方法。 q應力應力：內(nèi)力在截面上連續(xù)分布的集度。單位：帕斯卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa平均應力： AFpav截面mm上k點處的應力或總應力： AFlimp0A正應力正應力 ：沿截面法向的應力分量（或垂直于截面的應力）。用表示；切應力切應力：沿截面切向的應力分量（或位于截面內(nèi)的應力） 。用表示。 顯然， 222pq正應變與切應變正應變與切應變l平均正應變： s ka邊原長； u長度改變量。suavk點沿著棱邊ka方向的正應變正應變?yōu)椋?sulim0s切應變切應變：微體相鄰棱邊所夾直角的改變量。用表示。切應變的單

8、位為rad（弧度）。正應變與切應變均為無量綱的量。 第八章第八章 軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮 l軸向拉伸或壓縮變形軸向拉伸或壓縮變形：桿件的主要變形為軸向伸長或縮短。 軸向載荷軸向載荷：作用線沿桿件軸線的載荷。 拉壓桿拉壓桿：以軸向拉壓為主要變形的桿件。 工程中有很多構件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。屋架結構簡圖桁架的示意圖（未考慮端部連接情況）l軸力軸力：在軸向載荷作用下，桿件的內(nèi)力。l通常規(guī)定：拉力為正，壓力為負拉力為正，壓力為負。如下圖，其值為：FN=F 。 求內(nèi)力采用截面法求內(nèi)力采用截面法l軸力計算： AB

9、段： 02F-F 0,FN1x2FFN1求內(nèi)力采用截面法求內(nèi)力采用截面法BC段：0F-F 0,FN2xFFN2l軸力的計算方法軸力的計算方法： l截開在需求軸力的橫截面處，假想地將桿截開，并任選切開后的任一桿段為研究對象；l選取畫所選桿段的受力圖；l替代用內(nèi)力來代替已去掉的一側桿段對于所取桿段的作用力；l求解建立所選桿段的平衡方程，由已知外力計算切開截面上的未知軸力。 用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上的外力(荷載)不能任意移動或用靜力等效的相當力系替代。軸力指向截面FN=-Fl軸力圖軸力圖：用平行于桿軸的坐標表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標表示軸力，這種表示軸力沿桿軸

10、變化情況的圖線稱為軸力圖。例81 下圖a所示右端固定階梯形桿，承受軸向載荷F1與F2作用，已知F1=20kN, F2=50kN,試畫桿的軸力圖，并求出最大軸力值。 解：（1）計算支反力 設桿右端的約束力為FR，則由整個桿的平衡方程 0F-F -F 0,FR12x得30kN20-50F-FF12Rl（2）分段計算軸力 設AB與BC段的軸力均為拉力，并分別用FN1與FN2表示，則由下圖知： 20kNFF1N10kN-FFRN23 所得負值說明BC段軸力的實際方向與所設方向相反，即應為壓力。 （3）畫軸力圖：據(jù)上述軸力值，畫軸力圖，軸力的 最大絕對值為 0kNFmaxN3例題例題 試作此桿的軸力圖。

11、等直桿的受力示意圖(a)為求軸力方便，先求出約束力 FR=10 kN為方便，取橫截面11左邊為分離體，假設軸力為拉力，得FN1=10 kN(拉力)解：解：為方便取截面33右邊為分離體，假設軸力為拉力。FN2=50 kN(拉力)FN3=-5 kN （壓力），同理，F(xiàn)N4=20 kN (拉力)軸力圖(FN圖)顯示了各段桿橫截面上的軸力。kN502NmaxN, FF思考：為何在F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用著的B，C，D 截面處軸力圖 發(fā)生突變？能否認為C 截面上的軸力為 55 kN？ 綜上，桿件各截面上內(nèi)力綜上，桿件各截面上內(nèi)力變化規(guī)律隨著外力的變化而變化規(guī)律隨著外力的變化而改變。各點處內(nèi)力為改變。各點處內(nèi)

12、力為一側FFNlP162 81 （c）、（d）。q拉壓桿橫截面上的應力拉壓桿橫截面上的應力 ：拉壓桿的平面假設拉壓桿的平面假設：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與桿軸垂直，只是橫截面間沿桿軸相對平移。 橫截面上各點處的應力： AFN或AFFN軸力，F(xiàn)N=FA桿橫截面面積 xFNxA橫截面上各點處的應力： 一側FFNxq拉壓桿斜截面上的應力拉壓桿斜截面上的應力 ：設拉壓桿的橫截面積為A，得桿左段的平衡方程為 0F-cosAp由此得截面上的應力為cosAFcosp0式中， ，即桿件橫截面上的正應力。 F/A0l將 沿截面法向與切向分解，得斜截面上的正應力與切應力分別為cosp020coscospsi

13、n22sinp0可見，在拉壓桿的任一斜截面上，不僅存在正應力，在拉壓桿的任一斜截面上，不僅存在正應力，而且存在切應力，其大小均隨截面方位變化。而且存在切應力，其大小均隨截面方位變化。20coscospsin22sinp0當 時，正應力最大，其值為 即拉壓桿的最大正應力發(fā)生拉壓桿的最大正應力發(fā)生在橫截面上，其值為在橫截面上，其值為0。000max當 時，切應力最大，其值為即拉壓桿的最大切應力發(fā)生在與桿軸成拉壓桿的最大切應力發(fā)生在與桿軸成450的斜截面上，的斜截面上，其值為其值為 。045/20/20maxl方位角與切應力的正負號規(guī)定方位角與切應力的正負號規(guī)定：以x軸為始邊，方位角 為逆時針轉向者

14、為正；將截面外法線0n沿順時針方向旋轉900，與該方向同向的切應力 為正。)()()()(思考： 拉桿內(nèi)不同方位截面上的正應力其最大值出現(xiàn)在什么截面上？絕對值最大的切應力又出現(xiàn)在什么樣的截面上？ l圣維南圣維南(Saint-Venant)原理原理 ：“力作用于桿端方式力作用于桿端方式的不同，只會使與的不同，只會使與桿端距離不大于桿桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響內(nèi)受到影響”。l例題8-2下圖a所示右端固定階梯形圓截面桿，承受軸向載荷F1與F2作用，已知F1=20kN, F2=50kN,桿段AB與BC的直徑分別為d1=20mm,d2=30mm,試計算桿內(nèi)橫截面上的最大正

15、應力。 解：由左圖分析知，)( 20kNFF1N1拉)( 0kN-FFRN2壓3AB段內(nèi)任一橫截面的正應力為拉應力 63.7MPaPa. m1020N10204dFAF23-3N11N11721103764BC段內(nèi)任一橫截面的正應力為壓應力 MPa. -Pa. -m1030N1030-4dFAF23-3N22N22442102444722可見，桿內(nèi)橫截面上的最大正應力為MPa.1max763 例題 試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應力。已知F = 50 kN。 段柱橫截面上的正應力12所以，最大工作應力為 max= 2= -1.1 MPa (壓應力） 解：段柱橫截面上的正應力

16、MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AF(壓應力)MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AF(壓應力)l例題8-3 下圖所示軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，荷載F=50kN，試求斜截面mm上的正應力與切應力。mm400FFmm500500500解：桿件橫截面的正應力為Pa-1.25mN1050-AF6-3N0821010400斜截面的方位角為050則MPa.-cos-125MPacos225006515000MPa.-61sin102MPa-sin205060125200l構件的強

17、度、剛度與穩(wěn)定性不僅與材料的形狀、尺寸及所受的外力有關，而且與材料的力學性能有關。 q拉伸試驗與應力應變圖拉伸試驗與應力應變圖 環(huán)境：常溫、靜載試件：10倍或5倍試件標距：試驗段的長度（l10d或l=5d）。 拉伸圖： q低碳鋼的拉伸力學性能低碳鋼的拉伸力學性能 四個階段四個階段：線性階段比例極限P，彈性極限e；屈服階段屈服極限s（出現(xiàn)滑移線）；硬化階段強度極限b；頸縮階段局部頸縮。 l應力應變曲線韌性金屬材料韌性金屬材料P比例極限e彈性極限s屈服極限b強度極限低碳鋼l斷斷裂裂行行為為低碳鋼卸載與再加載規(guī)律卸載與再加載規(guī)律： 彈性變形：卸載后能夠恢復的變形。 塑性變形（殘余變形）：卸載后不能恢

18、復的變形。 冷作硬化：由于預加塑性變形，而使材料的比例極限（或彈性極限）提高的現(xiàn)象。 彈性階段：OB段材料的塑性材料的塑性塑性（或延性）：材料能經(jīng)受較大變形而不破壞的能力。100%ll0100%AA-A1%5%5兩個塑性指標 ：伸長率伸長率（延伸率）：（延伸率）：斷面收縮率斷面收縮率： 塑性材料塑性材料：延伸率較大，試件斷裂時 。脆性材料脆性材料：延伸率較小，試件斷裂時 。q其他材料的拉伸力學性能其他材料的拉伸力學性能 名義屈服極限（屈服強度名義屈服極限（屈服強度）：對于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2的殘余應變的應力作為屈服應力，稱為名義屈服極限。用0.2表示

19、。 灰鑄鐵拉伸時的應力應變曲線 ：斷裂時的應變僅為0.40.5，斷口垂直于試斷口垂直于試件軸線，即斷件軸線，即斷裂發(fā)生在最大裂發(fā)生在最大拉應力作用面。拉應力作用面。 脆性材料脆性材料某種碳環(huán)氧復合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應力應變曲線 復合材料因其具有強度高、剛度大與比重小的特點，故近年來得到廣泛應用。 韌性金屬材料脆性材料失效形式：失效形式：q材料在壓縮時的力學性能材料在壓縮時的力學性能 ： 低碳鋼在壓縮時的應力應變曲線（屈服階段以前同拉伸應力應變曲線）： 與拉伸試驗不同的是：隨著壓力隨著壓力的增大，低碳鋼的增大，低碳鋼試件越壓扁平，試件越壓扁平，而不斷裂而不斷裂。 灰口鑄鐵的應力

20、應變曲線： 斷口方位角為550600。 由于在該截面上存在較大的切應力，故灰鑄鐵的壓縮破壞方式為剪斷。 灰鑄鐵的壓縮強度極限約為其拉伸強度極限的灰鑄鐵的壓縮強度極限約為其拉伸強度極限的34倍倍。l綜上所述：l塑性材料適用于受拉構件；l脆性材料適用于受壓構件：如機床的床身、機器的底座等。q實驗現(xiàn)象解釋實驗現(xiàn)象解釋：對于脆性材料脆性材料：其抗拉能力低于抗剪能力抗拉能力低于抗剪能力，受拉時，由于橫截面具有最大拉應力，當該截面上的最大拉應力首先達到材料的抗拉強度極限時，就在該截面發(fā)生拉斷破壞，斷口發(fā)生在橫截面；受壓時，由于與桿軸成1350的斜截面上具有最大剪應力，因此，斷口發(fā)生在該截面，為剪斷破壞。對

21、于塑性材料塑性材料：其抗剪能力低于抗拉能力抗剪能力低于抗拉能力，對于拋光的構件（試樣表面光滑），由于與桿軸成450的斜截面上具有最大切應力，當材料屈服時，試樣表面將出現(xiàn)與軸線成450的線紋，即滑移線，上述線紋可能是材料沿該截面產(chǎn)生滑移所造成。 l應力集中應力集中：由于截面急劇變化所引起的應力局部增大現(xiàn)象，稱為應力集中。應力集中的程度用應力集中因數(shù)K表示，其定義為 nmaxKmax最大局部應力；n名義應力，是在不考慮應力集中的條件下求得的。l截面AA上的名義應力名義應力為 d-bFnF拉力， 板厚，B板寬， d孔徑。bl左圖為含圓孔板件在軸向受力時的應力集中因數(shù)。 nmaxKd-bFnq應力集中

22、對構件強度的影響 設計脆性材料時應考慮應力集中的影響。塑性材料可不考慮。 交變應力（循環(huán)應力）交變應力（循環(huán)應力）：構件受隨時間循環(huán)變化的應力。 疲勞破壞疲勞破壞：在交變應力作用下，構件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象。 q失效（破壞）與許用應力失效（破壞）與許用應力 v失效（破壞）形式失效（破壞）形式：對脆性材料，當其正應力達到強度極限b時，會引起斷裂而失效； 對塑性材料，當其正應力達到屈服極限s時，會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效； 構件在交變應力的作用下，可能發(fā)生疲勞破壞而失效。 v極限應力極限應力：通常將強度極限與屈服極限統(tǒng)稱為極限應力，并用u表示。max= u= bmax= u= sv工作應力

23、工作應力：根據(jù)分析計算所得構件之應力。v許用應力許用應力：為給構件留有必要的儲備，構件工作應力的最大許用值，必須低于材料的極限應力。對于由一定材料制成的具體構件，工作應工作應力的最大容許值力的最大容許值，稱為材料的許用應力許用應力，并用表示。v許用應力值與極限應力的關系為： nun安全系數(shù)安全系數(shù)，塑性材料通常為1.52.2；脆性材料通常為3.05.0，甚至更大。 q強度條件強度條件： maxNmaxAF對于等截面桿 AFmax ,N如果工作應力值max超過了許用應力，但只要超過量(兩者之差)不大于許用應力的5，在工程計算中仍然允許。 v工程力學為工程技術解決實際問題，利用強度工程力學為工程技

24、術解決實際問題，利用強度條件公式及其變換形式，可解決三類強度問題，條件公式及其變換形式，可解決三類強度問題，具體步驟如下具體步驟如下：用靜力學平衡條件求出外力； 用截面法求出桿內(nèi)力、應力； 利用強度條件解決三類問題： 校核強度校核強度 選擇截面尺寸選擇截面尺寸 確定承載能力確定承載能力 maxNmaxAF AFmax ,N 例題 試選擇計算簡圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F =16 kN，=120 MPa。2. 求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑為10 mm，故鋼拉桿DI采用f10圓鋼。mm2 . 9m102 . 9)m107 .66(44m107 .66

25、Pa10120N1083262693NAdFA解:1. 由圖中(b)所示分離體的平衡方程得kN82NFF 例題 圖中(a)所示三角架(計算簡圖)，桿AC由兩根80 mm 80 mm7 mm等邊角鋼組成，桿AB由兩根10號工字鋼組成。兩種型鋼的材料均為Q235鋼，=170 MPa。試求許可荷載F。解 : 1. 根據(jù)結點 A 的受力圖(圖b)，得平衡方程：030sin 0030cos 0N1N1N2FFFFFFyxFF21N(拉)（壓）FF732. 12N解得2. 計算各桿的許可軸力 先由型鋼表查出相應等邊角鋼和工字鋼的橫截面面積，再乘以2得由強度條件 得各桿的許可軸力：NAFkN20.486N1

26、020.486)mm2860()MPa170(kN24.369N1024.369)mm2172()MPa170(322N321NFF221mm17222)mm0861 (A桿AC的橫截面面積222mm86022)mm4301 (A桿AB的橫截面面積3. 求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應的許可荷載：kN6 .1842kN24.36921N1FFkN7 .280732. 1kN20.486732. 1N22FF 此例題中給出的許用應力=170 MPa是關于強度的許用應力；對于受壓桿AB 實際上還需考慮其穩(wěn)定性，此時的許用應力將小于強度許用應力。該三角架的許可荷載應是F1 和 F2中

27、的小者，所以kN6 .184Fl例題例8-5 圖8-27a所示吊環(huán)，由圓截面斜桿AB、AC與橫梁BC所組成。已知吊環(huán)的最大吊重為F=500kN，斜桿用鍛鋼制成，其許用應力=120 MPa，斜桿與拉桿軸線的夾角為=200，試確定斜桿的直徑。l例題l練習： P164 813l P164 813l P164 814l作業(yè)： P164 815l P164 816 l軸向變形軸向變形：當桿件承受軸向載荷時，其軸向及橫向尺寸均發(fā)生變化。沿軸線方向的變形即軸向變形。l橫向變形橫向變形：垂直軸線方向的變形為橫向變形。 l拉壓桿的軸向變形與胡克定律拉壓桿的軸向變形與胡克定律 ：l軸向拉壓試驗表明，在比例極限內(nèi)，

28、正應力與正應變成正比，即： 胡克定律胡克定律： E上式中，比例系數(shù)E稱為材料的彈性模量彈性模量(modulus of elasticity) ，其值因材料而異，由實驗測定，單位為Gpa。 且 1Gpa=109Pa 低碳鋼(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111El由虎克定律研究拉壓桿的軸向變形 ： llll -l1AFAFNEAlFlN乘積EA稱為桿截面拉壓剛度。軸向變形與軸力FN具有相同的正負號，即伸長時為正，縮短時為負。 l拉壓桿的橫向變形與泊松比拉壓桿的橫向變形與泊松比(Poissons ratio) ：l設桿件的原寬度為b，在軸向拉力作用下，其寬度變?yōu)閎1，則桿的橫向變形為：b=b1-b l桿的橫向正應變?yōu)?：E- 實驗表明，橫向正應變與軸向正應變恒為異號。試驗還表明，在比例極限內(nèi)，橫向正應變與軸向正應變成正比。則泊松比為： 在比例極限內(nèi)，泊松比是一個常數(shù)，其值因材料而異，由實驗測定。由上兩式推導出：-bbbb-b1低碳鋼(Q235)：n =