山東武城第二中學(xué)人教B版高二數(shù)學(xué)選修2推理與證明導(dǎo)學(xué)案

1、第二章推理與證明2.1 合情推理與演繹推理2.1.1 合情推理知識(shí)梳理一、歸納推理與類(lèi)比推理1 .歸納推理：由某類(lèi)事物的具有某些特征，推出該類(lèi)事物的都具有這些特征的推理；或者由概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)）特征：歸納推理是由到,由到的推理.2 .類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有和其中一類(lèi)對(duì)象的,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理，（簡(jiǎn)稱(chēng)）.特征：類(lèi)比推理是由到的推理.二、合情推理：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)、,再進(jìn)行、,然后提出的推理，我們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理，通俗的說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理，合情推理得到的結(jié)論不一定正確知識(shí)點(diǎn)題號(hào)實(shí)際問(wèn)題的歸納1,11,14代數(shù)問(wèn)題

2、的歸納2,3,7,8,9,10,13類(lèi)比4,5,6,12基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是2.觀察下式:24=62+4+6=122+4+6+8=202+4+6+8+10=30由上述具體事實(shí)可以得出的一般結(jié)論為A.B.2+4+6+8+2(n+1)=n2+n+12+4+6+8+2(n1)=n2n2C. 2+4+6+2n=n2+n2D. 2+4+6+2n=n+3n+23 .觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,，則a10+b10等于()A.28B.76C123D.199

3、4 .由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則："mn=nm"類(lèi)比得到"ab=b"；"(mn)t=m(n，t)”類(lèi)比得到“(ab)c=a(bc)”；“t00,mt=xt=m=x"類(lèi)比得到"p#0,a，E=X,P=a=x"；"|mn|=|m|n|"類(lèi)比得到"|a6|=|a|b|”；以上式子中，類(lèi)比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是().A.0B.1C.2D.35 已知122=2*33=3*,4=4J,，若J6-=斗歸(a,t均為正實(shí)數(shù))，類(lèi)比:3388.15.15tt以上等式，可推測(cè)a,t的

4、值，則a+t=.6 .已知圓的方程是x2+y2=r2,則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(X0,y0)的切線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2,類(lèi)比上述性22質(zhì)，可以得到過(guò)橢圓三十與=1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程為.ab7 .五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為2,第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為3,之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2015個(gè)被報(bào)出的數(shù)為8 .已知數(shù)列an中，a1=1,an*=B(nWN*),則可歸納猜想an的通項(xiàng)公式為2-anc1，八一，一，一，一，9 .f(x)-廣，先分別求f(0)+f(1),f(1)+f(2),f(2)=f(3),然后歸納猜

5、想一般性結(jié)論,33并給出證明.10.觀察下表：1,2,34,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15問(wèn)：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少?(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？(3)2015是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？能力提升1 1.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).比如:1014916他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似地，稱(chēng)圖2中的1,4,9,16,，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289B.1024C.1225D.1378一什八ccr八-a2b212.在RtAABC中，若ZC=90。,AC

6、=b,BC=a,則AABC外接圓半徑r=.運(yùn)用類(lèi)比方2法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c則其外接球的半徑R=.13.觀察下式：1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=7-，則得出般結(jié)論：.14.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖(小正方形的擺放規(guī)律相案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.求出f(5)的值；(2)歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式;1

7、111一求+的值.f(1)f(2)-1f(3)-1f(n)-12.1.2演繹推理知識(shí)梳理1 .演繹推理：從出發(fā)，推出某個(gè)下的結(jié)論，我們把這種推理稱(chēng)為演繹推理，演繹推理的結(jié)論-一定是正確的.特點(diǎn)：演繹推理是由到的推理演繹推理常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性2 .三段論：三段論是演繹推理的一般模式，包括：(1) _已知的()(2) 所研究的()(3) _根據(jù)一般原理，對(duì)做出的判斷()應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必是正確的，如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)題號(hào)演繹推理的定義1,

8、12三段論2,3,4,5,11,13演繹推理的應(yīng)用6,7,8,9,10,14基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A.兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，由此若/A,/B是兩條平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截得的同旁?xún)?nèi)角，則.A.B=180B.某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過(guò)50人C.由平面正三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間正四面體的性質(zhì)1 1D.在數(shù)列an中，a1=1,an=(an工+)(n22),由此歸納出an的通項(xiàng)公式2 an1V1V2 .因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提)，而y=(一)x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y=(一)x是增函數(shù)(結(jié)

9、33論)”，上面推理的錯(cuò)誤是()A.大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B.小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C.推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D.大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)_一八一”,兀、.3 .正弦函數(shù)是前函數(shù)，f(x)=sin(2x+)是正弦函數(shù)，因此f(x)=sin(2x+)是奇函數(shù)，以上推理33()A.結(jié)論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確4 .推理“矩形是平行四邊形；三角形不是平行四邊形；三角形不是矩形”中的小前提是()A.B.C.D.和25.把“函數(shù)y=x+2x-3的圖象是一條拋物線(xiàn)”作為結(jié)論，用三段論表示為：大前提：，小前提:,結(jié)論.1126.設(shè)0<m<,若一+之k恒成立，則k的最大值為2m1

10、-2m7 .在等差數(shù)列an中an>0,且a1+a2+“+a10=30,則a5a的最大值等于8 .設(shè)a和P為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：(1)若尊內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于P內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則a平行于P;(2)若口外一條直線(xiàn)l與a內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則l和口平行；(3)設(shè)o(和P相交于直線(xiàn)l,若a內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于l,則a和P垂直；(4)直線(xiàn)l與口垂直的充分必要條件是l與a內(nèi)的兩條直線(xiàn)垂直.上面命題中，真拿題.的序號(hào)為(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))9 .如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，卜_,AB/CD,CD_LAD,且CD=2AB,E為PC的中點(diǎn)遭卜求證

11、：平面PDC_L平面PAD'.(2)求證：BE平面PAD.n210 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an4=-Sn(nWN),證明:n(1)數(shù)列§4是等比數(shù)列；(2)Sn*=4an.n能力提升11 .有一段演繹推理是這樣的：“直線(xiàn)平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線(xiàn)；已知直線(xiàn)b“平面口，直線(xiàn)a“平面a,直線(xiàn)b/平面口，則直線(xiàn)b/直線(xiàn)a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤12 .下面說(shuō)法正確的有(1)演繹推理是由一般到特殊的推理；(2)演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；(3)演繹推理一般模式是“三段論”形式；(4)

12、演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)。2313.“由(a2+a+1)x>3,得x>-”的推理過(guò)程中，其大前提是.aa11214.已知函數(shù)f(x)=x+alnx(aWR).22o(1)右f(x)在1,e上是增函數(shù)，求a的取值氾圍.(2)右a=1,1wx三e,證明：f(x)<-x332.2直接證明與間接證明2.2.1 綜合法和分析法第1課時(shí)綜合法知識(shí)梳理1 .直接證明中和是最基本的兩種證明方法。2 .一般地，利用和某些數(shù)學(xué)、等，經(jīng)過(guò)一系列的,最后推導(dǎo)出所要證明的成立，這種證明問(wèn)題的方法叫做。3 .綜合法可用框圖表示為：PnQil”1=Q2I"2=Q3Ik%

13、n=Q(P表木,已有的、等，Q表木.)知識(shí)點(diǎn)題號(hào)利用定義證明結(jié)論1、7、8、9利用定理、公理證明結(jié)論4、6、10、12、13、14通過(guò)計(jì)算得到結(jié)論2、3、5、11基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .命題“如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n,那么數(shù)列aj一定是等差數(shù)列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能斷定D.能斷定2 .設(shè)a=lg2+lg5,b=ex(x<0),則a與b大小關(guān)系為()A.abB.a=bC.a：bd.無(wú)法確定3 .在面積為S(S為定值)的扇形中，當(dāng)扇形中心角為6,半徑為r時(shí)，扇形周長(zhǎng)p最小，這時(shí)日，的值分別是()A.6=1,r=庭B.e=2,r=4/SC二-2,r=3SD.f=2,r=

14、JS4 .在AABC中，tanAtanBa1,則ABC是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定5 .點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x-2的距離的最小值是.6 .在AABC中，已知cosAcosB>sinAsinB,則AABC的形狀一定是.7 .若平面四邊形abcd滿(mǎn)足AB+CD=0,(aBaD),aC=0,則該四邊形一定是.8 .已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x,yWR滿(mǎn)足f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)是(奇、偶)函數(shù).29 .已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1,且點(diǎn)（%；'an,an卅）（nwN）在函數(shù)y=x+1的圖

15、象上.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列bn滿(mǎn)足打=1,書(shū)=bn+2an,求證：bn<b；*._111.10 .已知a,b>0,且a+b=1,求證：一+>4.ab能力提升11 .若鈍角三角形ABC三內(nèi)角A,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列且最大邊與最小邊的比為m,則m的取值范圍A.(2,y)B.(0,2)C.1,2D.2,二)12.設(shè)0<x<1,則a=2，X,b=1+x,c=1三者的大小關(guān)系.1 -x13 .如圖，四棱錐PABCD的底面是平行四邊形，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),則AF與面PEC的位置關(guān)系是（填“相交”或“平行”）14 .若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：

16、lgbclghlglgalgblgc.第2課時(shí)分析法知識(shí)梳理1 .一般地，從要證明的,逐步尋求使它成立的,直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定，一個(gè)明顯成立的條件(已知條件,、等)。這種證明的方法叫。Q=Pi2 .分析法可用框圖表示為：(Q表示要).知識(shí)點(diǎn)題號(hào)結(jié)論利用定義判定1、2、6結(jié)論利用定理、公理判定3、5、8、9、10、13、14通過(guò)計(jì)算進(jìn)行判定4、7、11、124PiuP2得到一個(gè)明顯成立的條件基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)222,21 .要證：a+b-1-ab<0,只要證明()A.2ab-1-a2b2<0B.2-222abab-1-2，一、2d.(a2-1)(b2-1)-0c.(ab)-1-a

17、2b2<022 .分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)aAbc,且a+b+c=0,求證-b2-ac<熠”索的因應(yīng)是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)?0D.(a-b)(a-c)二03 .欲證J6近2四J7成立，只需證()A.(，6-.5)2(22-7)2B.(.6-22)2(.5-.7)2C.(.6.7)2(22.5)2D.(.6-,5-2.2)2(-7)24 .設(shè)甲：函數(shù)f(x)=|x2+mx+n|有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，乙：函數(shù)g(x)=lg(x2+mx+n)的值域?yàn)镽,那么甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.以上均不對(duì)2入25 .將

18、下面分析法證明a+b>ab的步驟補(bǔ)充完整:2要證a_tb_>ab,只需證：a2十b2之2ab2，也就是證：,即證：,由于顯然成立,所以原不等式成立.6 .設(shè)abA0,m=jaqb,n=Jab,則m,n的大小關(guān)系是7 .如果a<a>b而,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是.1118 .設(shè)a0,bA0,ca0,右a+b+c=1,則十一+一的最小值為abc22amb、2amb9 .已知m0,a,buR,求證：（）<.1m1m10.已知不相等的兩向量a,b滿(mǎn)足a，b,求證：1aJ!"wV2.|a-b|能力提升11.當(dāng)xw（1,2）時(shí)，使不等式x2+mx+4<0恒成

19、立的m的取值范圍是（）A.(-二,5)B.(-二,一5C.(3,：)D.3,；)*11n12 .a>b>c,n=N，且+2恒成立，則n的最大值為a-bb-ca-c13 .如圖，在直四棱柱A1B1GD1-ABCD（側(cè)棱與底面垂直）中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件時(shí)，有AC_LBDi（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）114 .設(shè)a>0,b>0,求證：lg(1+Jab)M2【lg(1+a)+lg(1+b).2.2.2反證法知識(shí)梳理1 .反證法是的一種方法.2 .一般地，假設(shè)原命題（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，從而證

20、明了,這樣的證明方法叫做反證法。3 .反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與矛盾，或與矛盾，或與、矛盾等.J民設(shè)命題的結(jié)論不成立，則假定原結(jié)力的反面為真反設(shè)4 .用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟：_從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果存真由矛盾的結(jié)果斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立知識(shí)點(diǎn)題號(hào)反設(shè)練習(xí)1、2、3、5、6與已知矛盾7、9、10、11、13與定理、公理矛盾4、8、14應(yīng)用反面進(jìn)行求解12基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用（）結(jié)論的否定即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原命題的結(jié)論A.B.C.D.2 .用反

21、證法證明命題：“已知a,b為實(shí)數(shù)，則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A.方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根B.方程x2+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x2+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根3.用反證法證明命題：“已知a,bwN,若ab可被5整除，則a,b中至多有一個(gè)能被5整除”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A. a,b都不能被5整除B. a,b都能被5整除C.a,b中有一個(gè)不能被5整除D.a,b中有一個(gè)能被5整除111.1.4 .設(shè)a,b,c大于0,則二個(gè)數(shù)：a+,b+,c+的值（）bcaA.都大于2B.至少有一個(gè)不大于2C.都小于2D.至少有

22、一個(gè)不小于25 .用反證法證明：命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為.6 .用反證法證明命題“若a2+b?=0,則a,b全為0（a,b為實(shí)數(shù)）”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為.7 .設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：a+b=1；a+b=2；a+b>2；a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1"的條件是（填序號(hào)）.8 .用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：/A+/B+/C=90©+90o+/C>180©,這與三角形內(nèi)角和為180。相矛盾，則/A=/B=90口不成立；所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；假設(shè)

23、/A,/B,/C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)/A=/B=90,正確順序的序號(hào)排列為.1119 .已知a,b,c成等差數(shù)列且公差d#0,求證：一，一，不可能成等差數(shù)列.abc10 .已知a,b,c,dRR,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證：a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)能力提升11 .已知直線(xiàn)a,b為異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c平行于直線(xiàn)a,那么c與b的位置關(guān)系為()A.一定是異面直線(xiàn)B.一定是相互直線(xiàn)C.不可能是平彳T直線(xiàn)D.不可能是相交直線(xiàn)12 .若下列兩個(gè)方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13 .設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+

24、b+c=1,則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于.14 已知a,b,c(0,1).1求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于-.4知識(shí)梳理章末復(fù)習(xí)HHcH-H實(shí)驗(yàn)、觀察,.歸納|1概括、推廣|猜測(cè)一般性結(jié)濟(jì)|觀察、比較一，類(lèi)比I1聯(lián)想、類(lèi)比一|猜測(cè)新的結(jié)論1大前提|三段論11小前提1結(jié)論-綜合法以條件入手分析法|以結(jié)論入手-反證法與正整數(shù)n有關(guān)的命題知識(shí)點(diǎn)題號(hào)合情推理1,6,7,11,演繹推理5,10,13,直接證明和間接證明2,3,8,9,10,12數(shù)學(xué)歸納法4,14基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .按照下列三種化合物的結(jié)構(gòu)及分子式規(guī)律，寫(xiě)出后一種化合物的分子式是（）HHHHHIIIIIH-C-C-

25、HH-C-C-CHIIIIHHHHHCH4C2H6C3H8A.C4H9B.C4H10CC4H11D.C6H122 .用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于60。”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A.三角形的三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于60°C.三角形的三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有兩個(gè)大于60°3 .已知aClP=l,auct,buP,若a,b為異面直線(xiàn)，則()A. a,b都與l相交B. a,b中至少有一條與l相交C. a,b中至多有一條與l相交D. a,b都不與l相交4.用數(shù)學(xué)歸納法證明11+11+12342n-1

26、端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上().1111一，=十十十，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左2nn1n22nA.2k212k2C.12k112k2D.11+2k12k2(x-a)*(x+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,5 .在R上定義運(yùn)算*:x*y=x(1-y).若不等式1331A.1<a<1B.0<a<2C.<a<D.<a<22226 .下面幾種推理是合情推理的是.由圓的性質(zhì)類(lèi)比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180。歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；由f(x)=sinx,滿(mǎn)足f(x)=f(x),xwR,推出f(x)=s

27、inx是奇函數(shù)；三角形內(nèi)角和是180。，四邊形內(nèi)角和是360。，五邊形內(nèi)角和是540。，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n-2)180.1,一一7 .在AABC中，D為BC的中點(diǎn)，則AD=(AB+AC),將命題類(lèi)比到三棱錐中得到的命題為28 .已知a,b,m均為正數(shù)，且aAb,則b與"m的大小關(guān)系是aam14八9 .已知0<a<1,求證：-+之9.a1-a111，八廣1+-+-+>2,，你能得2315111111310 .由下列不等式：1>-,1+-+->1,1+-+-+.-+2232372到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.能力提升11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和

28、SnB.12.在MBC中,n(n1)AsinBsinCsinA:cosBcosC,則AABC為D.2n-1三角形.an(n>2),而a1=1,通過(guò)計(jì)算a2,a3,a4,猜想an等于()13.若函數(shù)f(x)2=x2x+m(xwR)有兩個(gè)零點(diǎn)，并且不等式f(1x)至1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為14 .如圖，DC_L平面ABC,EB/DC,AC=BC=EB=2DC=2,/ACB=120工P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn).(1)證明：PQ平面ACD;(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值.章末檢測(cè)一、選擇題1 .觀察下列數(shù):1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,其中x,y,z的值依次

29、是()A.42,41,123B.13,39,123C.24,23,123D.28,27,1232 .下列推理是歸納推理的是()A.A,B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|+|PB|=2a乂AB|,得P的軌跡為橢圓B.由a1=1,4=3n1,求出5,82,83,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和S的表達(dá)式22C.由圓x2+y2=r2的面積nr2,猜出橢圓勺+與=1的面積8=naba2b2D.科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇3 .若有一段演繹推理：“大前提：對(duì)任意做實(shí)數(shù)a；都有(v;a)n=a，小前提：已知a=-2是實(shí)數(shù)；結(jié)論:(4二2)4=-2”.這個(gè)結(jié)論顯然錯(cuò)誤，是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤

30、D.非以上錯(cuò)誤4 .我們把平面內(nèi)與直線(xiàn)垂直的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(-3,4),且法向量為n=(1,-2)的直線(xiàn)(點(diǎn)法式)方程為：1M(x+3)+(2)M(y4)=0,化簡(jiǎn)得x2y+11=0,類(lèi)比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)TA(1,2,3),且法向量為m=(1,2,1)的平面的方程為()A.x2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x2yz-2=0D.x2yz2=05.用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a,b=R)”，其反設(shè)正確的是()A.a,b至少有一個(gè)不為0B.a,b至少有一個(gè)為0C.a,b全不

31、為0D.a,b中只有一個(gè)為06 .下列表述：綜合法是由因?qū)Ч?；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是逆推法；反證法是間接證法，其中正確的有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)7 .黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是()第1個(gè)第2個(gè)A.4n2B.4n-2第3個(gè)8.下列不等式中一定成立的是（21、A.lg(x)lgx(x0)42C.X21_2|x|(xR)C.2n4D.3n3)1B.sinx_2(x=k二，kZ)sinx1D.1(xR)x19 .在等差數(shù)列an中，若an>0,公差dA0,則有a4仇a3a7，類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)

32、列bn中,若bn>0,公比q>1,則>,。力7,4的一個(gè)不等關(guān)系是（）A. b4bb5b7B. b4b8二b5bzC.b4b7b5b8D.b4b7：二b5b810 .觀察下列數(shù)的特點(diǎn)：122,33344,4,4,則第100項(xiàng)是()A.10B.13C.14D.100二、填空題11 .觀察:(1)tan10°tan200+tan20°tan60tan60°tan100=1；(2)tan5tan10tan10tan75tan75tan5=1由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫(xiě)出你的推論12 .設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：a+b>1；a+b=2

33、；a+b>2；a2+b2>2；ab>1其中能推出：“a,b中至少有一個(gè)大于1"的條件是。（填序號(hào)）13 .在算式“4M+1父。=30”中的,。中，分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（,。）應(yīng)為14 .觀察下列不等式13-,22222321117222232424照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為15 .已知n之0，試用分析法證明：了較JF7T<JF71JH.16 .已知f(x)=x2+ax+b.(1)求f(1)+f(3)2f(2);,一一，一,，*,1(2)求證：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1.217 .點(diǎn)P為斜三

34、棱柱ABC-ABC的側(cè)棱BB上一點(diǎn)，PMLBB交AA于點(diǎn)M,PNBB交CG于點(diǎn)N。(1)求證：GG±MN.(2)在任意DEF中有余弦定理，dEmDP+EF22DFEF-cos/DFE.擴(kuò)展到空間類(lèi)比三角形的余弦定理,寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。axa18 .(1)已知：a,b,x均是正數(shù)，且ab,求證：1<a"<9.bxba(2)當(dāng)a,b,x均是正數(shù)，且a<b時(shí)，對(duì)真分?jǐn)?shù)一，給出類(lèi)似上小題的結(jié)論，并予以證明。b(3)證明：ABG中，一晅A十snB十一snC<2.(可直接應(yīng)用第(1)、(2)小題sinB

35、sinGsinCsinAsinAsinB結(jié)論).2.1 合情推理與演繹推理2.1.1 合情推理答案知識(shí)梳理1 .部分對(duì)象；全部對(duì)象；個(gè)別事實(shí)；歸納部分；整體；個(gè)別；一般2 .某些類(lèi)似特征；某些已知特征；這些特征；類(lèi)比特殊；特殊二、觀察；分析；比較；聯(lián)想；歸納；類(lèi)比；猜想基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .A解析：該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A.2 .C解析：上述事實(shí)分別敘述如下：前2個(gè)正偶數(shù)的和等于2X3,前3個(gè)正偶數(shù)的和等于3X4,前4個(gè)正偶數(shù)的和等于4X5,由此猜想前n個(gè)正偶數(shù)的和等于n(n+1),所以選C3 .C解析：從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三

36、項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10+b10=123.4 .B解析：正確；錯(cuò)誤.向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律，不滿(mǎn)足結(jié)合律，消去律，»ffc-ffc-f|ab|=|a|b|cos:a,b|5. 41解析：.3=2218=32115=421故猜測(cè)a與t滿(mǎn)足：t=a21,又a=6t=35,從而a+t=416. .警+邛=1解析：類(lèi)比圓的切線(xiàn)方程可得橢圓切線(xiàn)方程為害+卑=1a2b2a2b27. 8解析：由題中所述知同學(xué)們報(bào)出的數(shù)依次為：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,觀察這些數(shù)的特征，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，6個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，(20152廣6

37、=335"3故第2015個(gè)數(shù)為8an解析:22-2a=j_j3，=1=2 a2o282423a4=2a32a342a45_4122a,一22一行-3-65猜想an.1f(0)f=03*331%3+=13,3(1.3).3(1.3)3同理可得：f(_1)f(2)=3,3由此狷想f(x)f(1-x)=3f(-2)f(3)=、,331證明：f(x)f(1-x)：3x,3313x,33x,3333x13x3x.33,33x.33x3n)2-1.3 33x3.10.解（1）第n+1行的第1個(gè)數(shù)是2n，第n行的最后一個(gè)數(shù)是nnn1(2)2n4-(21)-(2n42)(2n-1);(22-1)2o

38、2nJ3nN=32-2(3) 210=1024,211=2048,1024<2015<2048,2015在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210=1024,由20151024+1=992,知2015是第11行的第992個(gè)數(shù).能力提升11.C解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an,則優(yōu)=1,a2=1+2,%=1+2+3,an=1+2+3+nn(n+1)2，a2b2c2_L乙.2Ja2+b2+c2,故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是a2b2c2、一,b,這也是所求的三棱錐的外接球的半徑.觀察正方形數(shù)：1,4,9,16,，記該數(shù)列為bn,則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)

39、公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.，人，,曰.a2b2c2解析：（構(gòu)造法）通過(guò)類(lèi)比可得R=一b證明：作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a,b,c的長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是13.解析n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n1)各等式的左邊是第n個(gè)自然數(shù)到第3n-2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.14.解析(1)f(5)=41.(2)因?yàn)閒(2)f(1)=4=4x1,f(3)f(2)=8=4x2,f(4)f(3)=12=4x3,f(5)一f(4)=16=4x4,由上式規(guī)律，所以得出f(n1)一f

40、(n)=4n.因?yàn)閒(n1)-f(n)=4n=f(n1)=f(n)4n=f(n)=f(n-1)4(n1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n2)=f(n-3)+4(n1)+4(n-2)+4(n-3)=f(1)4(n-1)4(n-2)4(n-3)4_2_=2n-2n1(3)當(dāng)n之2時(shí),+f(1)f(2)-11=1(1一21f(n)-11+f-1111=二一(2n(n-1)2n-11-)n113=12(1-；)=23312nf(n)-111+n-1n2.1.2演繹推理答案知識(shí)梳理1. 一般性的原理；特殊情況；一般；特殊2. (1)大前提；一般原理；(M是P)(2)小前提；特殊情況(S是M)(3)結(jié)

41、論；特殊情況(S是P)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. A解析：兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)一一大前提，/A,/B是兩條平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截得的同旁?xún)?nèi)角一一小前提，.A.B=180解一結(jié)論.故A是演繹推理，而B(niǎo),D是歸納推理，C是類(lèi)比推理.故選A.2. A解析：y=ax是增函數(shù)這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò).it3. C解析：f(x)=sin(2x+一)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確.34. B解析：由演繹推理三段論可知，是大前提；是小前提；是結(jié)論.5. 二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)；函數(shù)y=乂2+2乂一3是二次函數(shù)；函數(shù)y=x2+2x3的圖象是一條拋物線(xiàn)126. 8解析：由題可知k的最大值即為十

42、的最小值，m1-2m12221-2m2m又L+=(£+)2m+(12m)=2+2(m+-)+2之8,m1-2m2m1-2m2m1-2m1._當(dāng)且僅當(dāng)2m=12m,即m=一時(shí)等號(hào)成立，kmax=847. 30斛析：等差數(shù)列的性質(zhì)，右m,n,p,q=N,am+an=ap+aqum+n=p+qa1+a2+'+a1o=5(a5+a6)=30,a.aR2a5+a6=6,由基本不等式a5a6(526)=98. 9. 證明：(1)由PA_L底面ABCD知PA_LCD.又因?yàn)镃D_LAD,PAAAD=A所以CD，平面PAD.因?yàn)镃Du平面PDC,所以平面PDC_L平面PAD.（2）如圖，取P

43、D的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,AF由E為PC的中點(diǎn)，得EF為APDCC的中位線(xiàn)，則EF/CD，且CD=2EF.又因?yàn)镃D=2AB,故EF=AB,故ABCD,得EFAB,所以四邊形ABEF為平行四邊形，則BEAF.又因?yàn)锽E0平面PAD,AFu平面PAD,所以BE/平面PAD.10. 思維啟迪：在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成.大前提通常省略不寫(xiě)，或者寫(xiě)在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi)，小前提有時(shí)也可以省略，而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式.n2一證明(1),an+=Sn書(shū)Sn,an書(shū)=Sn，(n+2)Sn=n(Sn41-Sn),即nSn書(shū)=2(n+1)Snn=2.Sn，又S1=1=0,（小前提

44、）n1n1故Sn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（結(jié)論）n（大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了）s,s,（2）由（1）可知，1=4,2（n之2）,n1n-1-Snin12.-Sn書(shū)=4（n+1）,=4,-Sn=4an（n至2）（小前提）n-1nT又a2=3,S=3,8=a+a?=1+3=4=4a1（小前提）對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn4,=4an.（結(jié)論）（第（2）問(wèn)的大前提是第（1）問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件）能力提升12 .(1)(3)1c3一13 .右a>0,b>c,則ab>ac解析：a2+a+1=(a+)2+A024>0,(a2+a+1)x>3nx3a2a

45、1a14 .證明：（1）x=1,e時(shí)，f（x）=x+之0恒成立，即a之一x2恒成立x1t=-x2E-1,，aA-1一一12.231223(2)a=1時(shí)f(x)=2x+lnx令g(x)=f(x)-x=x+lnx-x12-2x3x211-x3x-x3(1-x)(2x22x1)g(x)=x-2x2二二二、八)121(1-x)2(x2)2萬(wàn)x1x>1,g*(x)<0,1-g(x)在1,e上單調(diào)遞減121cgmax=g(1)=T-=-<0236-f(x)<2x232.2直接證明與間接證明2.2.1 綜合法和分析法第1課時(shí)綜合法答案知識(shí)梳理1 .綜合法；分析法2 .已知條件；定義；

46、定理；公理；推理論證；結(jié)論；綜合法3 .已知條件；定義、定理、公理；證明的結(jié)論基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. B解析：.Sn=2n23n,.Sn=2(n1)23(n1)(n之2),an=Sn-Sn_1=4n-5(n=1時(shí)，&=§=1符合上式)又an書(shū)an4(n至1),an是等差數(shù)列2. A解析：=a=lg2+lg5=lg10=1b=ex:二e0=1,ab一_,一一1.3. D解析：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,則S=lr,2s所以l=r2，又p=2rl=2r2s-24S=4.S,rS-當(dāng)且僅當(dāng)r=一，即r=qS時(shí)等號(hào)成立,r2s2r4. A解析：因?yàn)閠anAtanB>1,所以角A,角B只能都是銳角,

47、所以tanA>0,tanB>0,1-tanAtanB<0,所以A+B是鈍角，即角C為銳角.所以tan(AB)=tanAtanB1-tanAtanB:二0.5. 22解析：點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=x2lnx上任意一點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)和直線(xiàn)y=x2平行時(shí)，點(diǎn)P2.一1到直線(xiàn)y二x一2的距離取小，直線(xiàn)y=x2的斜率為1,令y=x_lnx的導(dǎo)數(shù)y=2x-=1,得x=1x或x=1(舍)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)(1,1)到直線(xiàn)y=x2的距離等于22.6 .鈍角三角形解析：(1)因?yàn)閏osAcosB>sinAsinB,所以cosAcosBsinAsinB=cos(AB).0.iJT因?yàn)?

48、<A+B<n,所以0<A+B<L.2HT又C=n-(A+B),所以Cw(2，R),即AABC為鈍角三角形.7 .菱形解析：AB+CD=0,AB=DC,.四邊形abcd為平行四邊形AB-AD=DB,.(AB-AD)AC=0,DBAC=0，bd.lac四邊形ABCD為菱形8 .奇解析：f(x)的定義域?yàn)镽,令x=y=0f(0)=0,令y=x,則f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0f(x)=f(x)，.二f(x)為奇函數(shù)9 .解析：(1)由已知得an書(shū)=an*1,則an4an=1,又a=1,所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.故an=1(n-1)1=n.證明

49、：由(1)知，an=n,從而bn書(shū)bn=2n.bn=(bn-bn4)04-。l)也-匕)D2n4.2n-212n=2n-11-2因?yàn)閎nbn2-吊=(2n-1)(2n2一1)一(2n1一1)22n2n-2n2n：；2n1八=(2-2-21)-(2-221)=2n<0,所以bnh2:二M.1.10. 證明：;a,b>0,且a+b=1,ab1.1a+b22qab,aab£=二.ab£一2241_4ab11ab十=abab能力提升11. A解析：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a,b,c,因?yàn)槿齼?nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，所以2B=AC.則A+B+C=3B=180，可得B=60

50、根據(jù)余弦定理得cosB=cos60222ac-b12ac-2得b2=a2c2-ac,因三角形ABC為鈍角三角形，故a2b2-c2:0,c一于2aac<0,即一a2.a一c一，一又m=,即m=(2,).a11-x2-1-x212. a<b<c斛析：bc=(1+x)()=1-x1-x1-x2=<0,b<cx-1又b=1+x>2Tx=a,a<b<c13.平行解析：四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,AB/CD,且AB=CD又E、F分別為AB,CD的中點(diǎn),CF/AE且CF=AE,四邊形AECF為平行四邊形，AF/CE又AF迎面PEC,ECu面PEC，.

51、-AF/面PEC.14.解析：a,b,cw(0,+=c),abbcacl-.ab0,bc0,.ac0222又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立.abbcca,>abc成立.222上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lg(Ig22ab,bcIg22)Igabc,.ca.,.IgIgaIgbIgc.2第2課時(shí)分析法答案知識(shí)梳理1 .結(jié)論出發(fā)；充分條件；定理、定義、公理；分析法2 .證明的結(jié)論基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. D解析：由題意要證a2+b2-1-a2b2<0只要證：a2(1b2)+(b21)E0u(a2-1)(1-b2)<0(a2-1)(b2-1)>0,所以選D2. C解析：由題意知vb2-a

52、c<V3ab2-ac<3a222-222二(ac)-ac:二3a=a2acc-ac-3a:二0二-2a2acc2：二0=2a2-ac-c20二(a-c)(2ac)0=(a-c)(a-b)0所以，選C3. c解析：要證J6V5A22J7成立，只需證明：J6+J7A2J5+J5即證：(67)2(2-2、5)24. A解析：對(duì)甲，要使f(x)=|x2+mx+n|有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，只需要=m2-4nA0即可；對(duì)乙，要使g(x)=lg(x2+mx+n)的值域?yàn)镽,只需要N=x2+mx+n的值域包含區(qū)域（0,+oc）,只需要>0,即m2-4n至0,所以甲是乙的充分不必要條件.225. a+

53、b-2ab>0；（a-b）2>0；2（a-b）2.0.解析：由分析法從證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件即可6. m<n解析：取a=2,b=1,得m<n,再用分析法證明：弋a(chǎn)-Tb<<abuVa<vb+va-ba<b+2bJa-b+ab仁2Vb，a-b>0,顯然成立.7. a>b>0解析：要使aja>bjb成立，只需（aVa）2>（b/b）2,只需a3>b3>0,即a,b應(yīng)滿(mǎn)足a>b>01118. 9斛析：根據(jù)條件可知，欲求一+的最小值，abc111、只需求（a+b+c）（十一十）的最小值，abc111.一,ba.ca.cb.因?yàn)椋╝+b+c）（+）=3+（+）十（十）十（十）23+2+2+2=9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取abcabacbc“=”）.9 .證明：;m>0,-1+m>0,