數(shù)值穩(wěn)定和要注意的若干原則ppt課件

1、第一章第一章1.3 數(shù)值穩(wěn)定性和要留意的假設(shè)干原那么數(shù)值穩(wěn)定性和要留意的假設(shè)干原那么1.3.3 減少運(yùn)算次數(shù)減少運(yùn)算次數(shù)1.3.2 防止有效數(shù)字的損失防止有效數(shù)字的損失1.3.1 數(shù)值方法的穩(wěn)定性數(shù)值方法的穩(wěn)定性第一章第一章1.3 數(shù)值穩(wěn)定性和要數(shù)值穩(wěn)定性和要留意的假設(shè)干原那留意的假設(shè)干原那么么學(xué)習(xí)目的：學(xué)習(xí)目的：掌握數(shù)值運(yùn)算中防止大誤掌握數(shù)值運(yùn)算中防止大誤差產(chǎn)生的假設(shè)干準(zhǔn)那差產(chǎn)生的假設(shè)干準(zhǔn)那么。么。第一章第一章 定義 1.4 對(duì)于某個(gè)數(shù)值計(jì)算方法，假設(shè)輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中迅速增長(zhǎng)而得不到控制，那么稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否那么是數(shù)值穩(wěn)定的。 舉例闡明如下。例例1 計(jì)算積分值計(jì)算積分值

2、106 , 1 , 0,5。ndxxxInnnI解解 由于要計(jì)算系列的積分值，我們先推導(dǎo)由于要計(jì)算系列的積分值，我們先推導(dǎo) 的一個(gè)遞推公式。的一個(gè)遞推公式。由由1010111,1555ndxxdxxxxIInnnnn1.3.1 數(shù)值方法的穩(wěn)定性數(shù)值方法的穩(wěn)定性第一章第一章可得下面兩個(gè)遞推算法?？傻孟旅鎯蓚€(gè)遞推算法。算法算法 1 ：。6 , 2 , 1,511 nInInn。1 , 5 , 6,1511 nInInn算法算法 2 ：0I 直接計(jì)算可得 假設(shè)我們用四位數(shù)字計(jì)算，得 的近似值為 。記 ， 為 的近似值。5ln6ln0 I1823. 0*0 I*nnnIIE *nInI對(duì)算法對(duì)算法 1

3、，有，有。01)5(5EEEnnn按以上初始值按以上初始值 的取法有的取法有 ，現(xiàn)實(shí)上，現(xiàn)實(shí)上 。這樣，我。這樣，我們得到們得到 。這個(gè)數(shù)曾經(jīng)大大超越了。這個(gè)數(shù)曾經(jīng)大大超越了 的大小，所以的大小，所以 連一連一位有效數(shù)字也沒有了，誤差掩蓋了真值。位有效數(shù)字也沒有了，誤差掩蓋了真值。0I40105 . 0 E401022. 0 E34. 05066 EE6I*6I逆向遞推公式逆向遞推公式第一章第一章對(duì)算法對(duì)算法 2，有，有。66051,51EEEEknnk 可取可取 的一個(gè)近似值為的一個(gè)近似值為。 )1(51)1(6121*kkIk 對(duì)對(duì) 有有 。6 k0262. 0*1 IkI 假設(shè)我們可以給

4、出假設(shè)我們可以給出 的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值, ,那么可由算法那么可由算法2 2計(jì)算計(jì)算 的近似值的近似值. .并且并且, ,即使即使 較大較大, ,得到的近似值得到的近似值的誤差將較小的誤差將較小. .0,.4,56nI6E6I 1010)1(5156)161kdxxIdxxkkkk（由于由于第一章第一章 按 和 ，分別按算法1和2計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表 1-1 ，其中 為算法1的計(jì)算值， 為算法2的計(jì)算值。易知，對(duì)于任何自然數(shù) ，都有 ，并且 單調(diào)遞減?？梢?，算法1是不穩(wěn)定的，算法2是穩(wěn)定的。 1823. 0*0 I0262. 0*6 I)1(nI)2(nIn10 nInI 四位四位nI表表

5、1 - 1n)1(nI) 2(nI00885.01823.01823.011823.00884.00884.020575.00580.00580.030458.00431.00431.040210.00344.00343.050950.00281.00285.063083.0 0262.00243.0用遞推關(guān)系進(jìn)展計(jì)算時(shí)必需留意誤差的積累用遞推關(guān)系進(jìn)展計(jì)算時(shí)必需留意誤差的積累.第一章第一章 當(dāng)然，數(shù)值不穩(wěn)定的方法普通在實(shí)踐計(jì)算中不能采用。數(shù)值不穩(wěn)定的景象屬于誤差危害景象。下面討論誤差危害景象的其他表現(xiàn)及如何防止問題。1.3.2 防止有效數(shù)字的損失防止有效數(shù)字的損失在數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)有時(shí)

6、數(shù)量級(jí)相差很大，而計(jì)算機(jī)位數(shù)有限，如不留意，“小數(shù)的作用能夠消逝，即出現(xiàn)“大數(shù)吃“小數(shù)的景象。例例2 用三位十進(jìn)制數(shù)字計(jì)算用三位十進(jìn)制數(shù)字計(jì)算,10110021 x其中其中 假設(shè)我們自左至右逐個(gè)相加，那么假設(shè)我們自左至右逐個(gè)相加，那么一切的一切的 都會(huì)被舍掉，得都會(huì)被舍掉，得 。但假設(shè)把一切的。但假設(shè)把一切的 先加起來，先加起來，再與再與101相加，就有相加，就有1414 . 01001011 . 0100101111 xi 。100,2 , 1, 4 . 01 . 0 ii 101 xi 可見，計(jì)算的次序會(huì)產(chǎn)生很大的影響。這是由于用計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)，在運(yùn)算中要“對(duì)階，對(duì)階引起了大數(shù)吃小數(shù)的景象。

7、大數(shù)吃小數(shù)在有些情況下是允許的，但有些情況下那么呵斥錯(cuò)誤。在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近數(shù)相減會(huì)使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失。第一章第一章 例例3 務(wù)虛系數(shù)二次方程務(wù)虛系數(shù)二次方程 的根，其中的根，其中 02 cbxax。0, 042 abacb解解 思索兩種解法。思索兩種解法。 算法算法 1：aacbbx2422, 1 算法算法2:2121( )4,2bsgn bbaccxxaax 其中其中sgn表示取數(shù)的符號(hào)，即表示取數(shù)的符號(hào)，即10( )10bsgn bb對(duì)算法對(duì)算法1，假設(shè)，假設(shè) ，那么是不穩(wěn)定的，否那么是穩(wěn)定的。這是由于，那么是不穩(wěn)定的，否那么是穩(wěn)定的。這是由于前一種前一種情況的分子有一個(gè)相近數(shù)相減，

8、會(huì)大量損失有效數(shù)字，從而有一個(gè)結(jié)果的誤差情況的分子有一個(gè)相近數(shù)相減，會(huì)大量損失有效數(shù)字，從而有一個(gè)結(jié)果的誤差很大。算法很大。算法2不存在這個(gè)問題，在任何情況下都是穩(wěn)定的。因此稱算法不存在這個(gè)問題，在任何情況下都是穩(wěn)定的。因此稱算法1是條件是條件穩(wěn)定的，算法穩(wěn)定的，算法2是無條件穩(wěn)定的。是無條件穩(wěn)定的。acb42 第一章第一章02000. 0,08.6221 xx例如，對(duì)于方程例如，對(duì)于方程0000. 110.622 xx用用4位有效數(shù)字計(jì)算，結(jié)果如下：位有效數(shù)字計(jì)算，結(jié)果如下：算法算法1：算法算法2：01611. 0,08.6221 xx準(zhǔn)確解是準(zhǔn)確解是 。這里。這里 所以算法所以算法1不穩(wěn)定

9、，舍入誤差對(duì)不穩(wěn)定，舍入誤差對(duì) 的影響大。的影響大。016107237.0,083892.6221xxacb42 2x遇到兩相近數(shù)相減的情形，可經(jīng)過變換計(jì)算公式來防止或減少有效數(shù)遇到兩相近數(shù)相減的情形，可經(jīng)過變換計(jì)算公式來防止或減少有效數(shù)字的損失。例如，我們有如下的變換公式：字的損失。例如，我們有如下的變換公式：第一章第一章xxxxxxxxxxxx111lglglgcos1sinsincos12121假設(shè)無法改動(dòng)算法，那么采用添加有效位數(shù)進(jìn)展計(jì)算，或在計(jì)算上采用雙假設(shè)無法改動(dòng)算法，那么采用添加有效位數(shù)進(jìn)展計(jì)算，或在計(jì)算上采用雙精度運(yùn)算但這要添加機(jī)器計(jì)算的時(shí)間和多占內(nèi)存單元。精度運(yùn)算但這要添加機(jī)

10、器計(jì)算的時(shí)間和多占內(nèi)存單元。 第一章第一章1.3.3 減少運(yùn)算次數(shù)減少運(yùn)算次數(shù)在數(shù)值計(jì)算中，要留意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)，這也是數(shù)值分析所要研討的重要內(nèi)容。同樣一個(gè)計(jì)算問題，假設(shè)能減少運(yùn)算次數(shù)，不但可以節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間，還能減少誤差的積累。下面舉例闡明簡(jiǎn)化計(jì)算公式的重要性。的值。假設(shè)我們先求的值。假設(shè)我們先求 ，需求進(jìn)展，需求進(jìn)展k次乘法，在相加，那么需求次乘法，在相加，那么需求 次乘法和次乘法和n 次加法才干得到一個(gè)多項(xiàng)式的值。假設(shè)我們將多項(xiàng)式寫成下面的次加法才干得到一個(gè)多項(xiàng)式的值。假設(shè)我們將多項(xiàng)式寫成下面的方式方式 例例4 給定給定x，計(jì)算多項(xiàng)式，計(jì)算多項(xiàng)式011)(axaxaxPnnnnn 2/ )1( nnkkxa0121)()(aaaaxaxxxxPnnnn 那么只需那么只需n次乘法和次乘法和n次加法即可得到一個(gè)多項(xiàng)式的值，這就是著名的秦九韶算次加法即可得到一個(gè)多項(xiàng)式的值，這就是著名的秦九韶算法法，可描畫為，可描畫為02, 11 nnkaxuuaukkknn最后有最后有)(0 xPun 第一章第一章nxxnnn 11)1()1ln(2ln例例5 利用級(jí)數(shù)利用級(jí)數(shù)計(jì)算計(jì)算 ，假設(shè)要準(zhǔn)確到，假設(shè)要準(zhǔn)確到 ，要計(jì)算，要計(jì)算10萬項(xiàng)