Chp7電容元件和電感元件

1、Yun Liu, Information College, Zhongkai University of Agriculture and Engineering動態(tài)電路分析第七章 電容元件和電感元件授課老師：劉云第七章 電容元件和電感元件概念引入o 動態(tài)元件o 動態(tài)電路 元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的微分或元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的微分或積分，稱為動態(tài)元件。積分，稱為動態(tài)元件。-如電容元件，電感元件。如電容元件，電感元件。含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路.比較比較:u線性電阻電路線性電阻電路: :用線性方程組描述。用線性方程組描述。u動態(tài)電路動態(tài)

2、電路: : 用微分方程描述。用微分方程描述。o 本章內(nèi)容：深入電容元件 和 電感元件 7.1 電容元件 -常用的幾種電容器-7.1 電容元件一、基本概念（電容）o 定義：如果一個二端元件在任一時刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。線性時不變電容比喻：線性電容水池；非線性電容略富彈性的水袋電壓：水池的水深（水壓），電流：水渠的水流速，符號7.1 電容元件一、基本概念（線性時不變電容）o 數(shù)學(xué)表達： C C為常量，稱為電容，單位是法為常量，稱為電容，單位是法 拉拉,用用F F表示。表示。o 電容器與電容元件： 分別是實際器件與電路模型 同一實際電容器的

3、建模：Cuq 低頻、低壓低頻、非低壓（有漏電）高頻、非低壓（有漏電）7.1 電容元件二、電容元件的u/i關(guān)系o 討論前提：線性時不變電容，關(guān)聯(lián)參考方向o 關(guān)系： 電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正比 直流電路中，電壓不變化時，電流為0.tuCtCutqtiddd)(ddd)(7.1 電容元件二、電容元件的u/i關(guān)系(例題)例：已知C=1 F電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，求電容電流A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin(10 d10 dd)(66tttttuCti7.1 電容元件二、電容元件的u/i關(guān)系o 已知電容電流為ic(t)，其電壓uc(t)為： d)

4、(1)0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CCtttiCuiCiCiCtu0 CCd)(1)0(iCu其中其中稱為電容電壓的初始值稱為電容電壓的初始值。水池的水深與歷史上水渠的水流速度的積分有關(guān)。圖圖757.1 電容元件二、電容元件的u/i關(guān)系例例7-1 已知已知C=0.5 F電容上的電壓波形如圖電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示，所示， 試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時的電流試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時的電流iC(t),并畫并畫 出波形圖。出波形圖。 略，自習(xí)題 A1=A101d)2(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 2.當(dāng)當(dāng)1s t 3s時，時，uC(

5、t)=4-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)24(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 1.當(dāng)當(dāng)0 t 1s 時，時，uC(t)=2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖74(a)波形，按照時間分段來進行計算波形，按照時間分段來進行計算圖圖74 例例71 3.當(dāng)當(dāng)3s t 5s時，時，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)28(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 4.當(dāng)當(dāng)5s t時，時，uC(t)=12-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)212(d105 . 0d

6、d)(66CC tttuCti圖圖74 例例71 根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖74(b)所示的矩形波形。所示的矩形波形。7.1 電容元件三、電容電壓的性質(zhì)o 記憶性(電壓是有史以來電流的作用之”和“) o 連續(xù)性（電壓不可突變） d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CCtttiCuiCiCiCtu有界時當(dāng))( 0d)(1)()d(d 0dCCCiiCTutTuutTTt)()(CCtutu)0()0(CC uu 例例73 圖圖78所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0時刻時刻 斷開瞬間電容電壓的初始值斷開瞬間電容

7、電壓的初始值uC(0+)。解：開關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定解：開關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定 值，造成電容電流等于零，即值，造成電容電流等于零，即 0dd)(CC tuCti圖圖78 電容相當(dāng)于開路。此時電容電壓為電容相當(dāng)于開路。此時電容電壓為 S212C)0(URRRu 當(dāng)開關(guān)斷開時，在電阻當(dāng)開關(guān)斷開時，在電阻R2和和R3不為零的情況下，電容不為零的情況下，電容電流為有限值，電容電壓不能躍變，由此得到電流為有限值，電容電壓不能躍變，由此得到 S212CC)0()0(URRRuu 圖圖787.1 電容元件四、電容儲能（只與當(dāng)前的電壓絕對值有關(guān)）o 關(guān)聯(lián)參考方向

8、前提下，電容關(guān)聯(lián)參考方向前提下，電容t t0 0-t-t時刻內(nèi)獲得的能量：時刻內(nèi)獲得的能量：p電容的儲能電容的儲能= =)()(21dddd)(d)(),(022)( )( 0000tutuCuuCuuCpttWtututttt)( 21)(2CtuCtW電容儲能=電壓為0的時刻（令此時刻為t0）到當(dāng)前時刻t,此時間內(nèi)電容吸收的能量。7.1 電容元件五、電容的串聯(lián)和并聯(lián)圖圖710圖圖711證明7.1 電容元件五、電容的串聯(lián)和并聯(lián)tuCtuCCtuCtuCiiidddd)( dddd212121 圖圖710 列出圖列出圖710(a) 的的KCL方程，代入電容的電壓電流關(guān)方程，代入電容的電壓電流關(guān)

9、系，得到端口的電壓電流關(guān)系系，得到端口的電壓電流關(guān)系其中其中 6)(7 21 CCC tttdiCdiCdiCtututu )(1)(1)(1)()()(2121其中其中 21111CCC 7)(7 2121CCCCC 由此求得由此求得 列出圖列出圖(a) 的的KVL方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系電壓電流關(guān)系7.1 電容元件五、電容的串聯(lián)和并聯(lián) 常用的幾種電感器常用的幾種電感器7.2 電感元件7.2 電感元件一、基本概念o 定義：如果一個二端元件在任一時刻，其磁通鏈與電流之間的關(guān)系由i- 平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電感元

10、件。 (a) 電感元件的符號電感元件的符號 (c) 線性時不變線性時不變電感元件的符號電感元件的符號 (b) 電感元件的特性曲線電感元件的特性曲線 (d) 線性時不變電感的特性曲線線性時不變電感的特性曲線7.2 電感元件一、線性時不變電感基本概念p 數(shù)學(xué)表達：數(shù)學(xué)表達：Li o 同一電感線圈不同情況的建模：同一電感線圈不同情況的建模：p特性曲線：特性曲線：o 數(shù)量級概念：數(shù)量級概念：幾微亨（射頻電路） - 幾亨（扼流圈）高頻精確精確一般通過原點不隨時間變化的直線。通過原點不隨時間變化的直線。（L L單位是亨用單位是亨用H H表示）表示）7.1 電感元件二、電感元件的u/i關(guān)系o 討論前提：線性

11、時不變電感 關(guān)聯(lián)參考方向o 關(guān)系：tiLtLittuddd)(ddd)(電感中的電壓與其電流對時間的變化率成正比。直流電源激勵的電路中，磁場不變，電感=短路7.1 電感元件二、電感元件的u/i關(guān)系（例）在L=1mH的電感上，施加電流為i(t)=10sin(5t)A時，電壓為？ mV)5cos(50V)5cos(1050 d)5sin(10d10dd)(33tttttiLtu7.1 電感元件二、電感元件的u/i關(guān)系 d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)( 0 LL0 0 LL LLtttuLiuLuLuLti0 LLd)(1)0(uLi 稱為電感電壓的初始值稱為電感電壓的初始值, ,它是從它

12、是從t t=-=-到到t t=0=0時間范圍內(nèi)電感電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。時間范圍內(nèi)電感電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。7.2 電感元件三、電感電流的性質(zhì)o 記憶性 任意時刻T電感電流的數(shù)值iL(t)，要由從- 到時刻t 之間的全部電壓來確定。o 連續(xù)性 ) ( 0)(1)()(LLLL有界時當(dāng)uduLtitiitttuLti LLd)(1)()()(LLtiti7.2 電感元件三、電感電流的性質(zhì)(習(xí)題)o 電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0斷開時電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。 V4)0()0(A 1)0()0(CCLLuuii7.2 電感元件四、電感的儲能（電感儲能只

13、與電流及L有關(guān)）tiLtititutpdd)()()()(p關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電感的吸收功率為 p電感在從初始時刻t0到任意時刻t時間內(nèi)得到的能量為)( )( 022 0000)()(21 )()()(),(tititttttitiLidiLdddiiLdpttWp電感儲存能量為)(21)(2LtLitW7.2 電感元件五、電感串聯(lián)和并聯(lián)圖圖718圖圖719證明7.2 電感元件五、電感串聯(lián)和并聯(lián)tiLtiLLtiLtiLuuudddd)( dddd212121 )147( 21 LLL 列出圖列出圖718(a)的的KVL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口電

14、壓電流關(guān)系得到端口電壓電流關(guān)系思路： 考察端口UI關(guān)系 列出圖列出圖a單口網(wǎng)絡(luò)的單口網(wǎng)絡(luò)的KCL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系得到端口的電壓電流關(guān)系 tttduLduLduLtititi )(1)(1)(1)()()(2121)157( 2121 LLLLL7.2 電感元件五、電感串聯(lián)和并聯(lián)思路：考察端口UI關(guān)系7.3 動態(tài)電路的電路方程概述o 分析動態(tài)電路的基本方法？ 解微分方程法（時域分析法）,討論二階以內(nèi)。第8、9章。 向量法，討論電路在正弦信號下工作情況。第10、11章 頻域分析法，第14章討論或信號與系統(tǒng)課程中討論。o 動態(tài)電路的方

15、程組由哪些方程構(gòu)成： 拓撲約束：KCL KVL依然適用 （集總參數(shù)電路） 元件約束：VCR關(guān)系，電容電感電阻等的VCR關(guān)系 網(wǎng)孔法，結(jié)點法依然適用（需要補充方程）p 動態(tài)電路的分階：微分方程的階數(shù)為n階，稱為n階電路。微分方程：電容電壓/電感電流與激勵的關(guān)系方程。7.3 動態(tài)電路的電路方程 例題圖圖7-20題意解讀：求解動態(tài)電路一般先求動態(tài)元件的電壓/流;而求解動態(tài)元件的電壓/電流需要先得出該動態(tài)元件電壓/電流與電源關(guān)系的方程（一般是微分方程）。即列微分方程就是列出某與電源的關(guān)系方程。例例78 列出圖列出圖720所示電路的一階微分方程。所示電路的一階微分方程。 得到得到 )177()()(d)

16、(dSCCtututtuRC 這是常系數(shù)這是常系數(shù)非齊次非齊次一階微分方程，圖一階微分方程，圖(a)是一階電路。是一階電路。 在上式中代入在上式中代入:ttuCtid)(d)(C )()()()()(CCRStutRitututu 解：對于圖解：對于圖(a)所示所示RC串聯(lián)電路，可以寫出以下方程串聯(lián)電路，可以寫出以下方程 圖圖7-20 對于圖對于圖(b)所示所示RL并聯(lián)電路，可以寫出以下方程并聯(lián)電路，可以寫出以下方程 )()()()()(LLLRStitGutititi 在上式中代入在上式中代入 ：ttiLtud)(d)(LL 得到得到)187()()(d)(dSLL titittiGL 這是

17、常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖(b)是一階電路。是一階電路。 圖圖7-207.3 動態(tài)電路的電路方程 列電路微分方程的準(zhǔn)則及方法概括o 基本準(zhǔn)則：基本準(zhǔn)則： KVL,KCL依然適用（一切集總參數(shù)電路適用） 網(wǎng)孔分析法，結(jié)點分析法依然適用（需要列補充方程）p 基本方法基本方法 劉氏觀察法劉氏觀察法 準(zhǔn)則:(a)求解過程中其他支路電壓/流盡量用動態(tài)元件的來表示。(b)寫關(guān)于電源的KVL/KCL方程。 胡式法胡式法（天羅地網(wǎng)，殺雞殺牛都用牛刀） 準(zhǔn)則：用網(wǎng)孔/結(jié)點法列方程組，消去其他變量(方向：先使得方程組中未知量只含有電容電壓，和電感電流及電源，再進一步消去非所求動態(tài)

18、參數(shù))，得到所求動態(tài)元件的電壓/電流的微分方程。 等效變換法等效變換法 準(zhǔn)則：對內(nèi)部線性端口先做戴維南/諾頓等效變換，簡化電路。7.3 動態(tài)電路的電路方程 舉例：列出圖示電路的一階微分方程。 圖圖7-21方法：方法：胡氏經(jīng)典法（宗旨胡氏經(jīng)典法（宗旨:寫網(wǎng)孔方程，消去其他變量得關(guān)系式）寫網(wǎng)孔方程，消去其他變量得關(guān)系式）等效變換法（宗旨：線性部分作戴維寧等效變換法（宗旨：線性部分作戴維寧/諾頓等效變化）諾頓等效變化）劉氏觀察法劉氏觀察法（宗旨（宗旨:盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）例例7-9 電路如圖電路如圖721(a)所示，以所示，以iL為

19、變量列出電路的微分方程。為變量列出電路的微分方程。 解一：列出網(wǎng)孔方程解一：列出網(wǎng)孔方程（胡氏經(jīng)典法胡氏經(jīng)典法） (2) 0dd(1) )(L2L12SL2121iRtiLiRuiRiRR 由式由式(2)(2)求得求得 LL21dditiRLi 代入式代入式(1)(1)得到得到 SL2L21L221)(dd)(uiRiRRtiRLRR 整理整理)197(dd)(SL1L221 uiRtiRLRR（等效變換法）（等效變換法）解二：將含源電阻單口用諾頓等效電路代替，得到圖解二：將含源電阻單口用諾頓等效電路代替，得到圖(b)電電 路，其中路，其中1SSC2121o RuiRRRRR 圖圖7-21 圖

20、圖721(b)電路與圖電路與圖720(b)電路完全相同，直接引用電路完全相同，直接引用式式718可以得到可以得到 1SL2121dd)(RuitiRRLRRL 此方程與式此方程與式719相同，這是常系數(shù)非齊次一階微分方相同，這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖程，圖(a)是一階電路。是一階電路。 圖圖7-217.3 動態(tài)電路的電路方程 舉例：列出圖示電路的一階微分方程。 圖圖7-21劉氏觀察法劉氏觀察法（宗旨（宗旨:盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）例例7-9 電路如圖電路如圖721(a)所示，以所示，以iL為變量列出電路的微分方程。為變量列出

21、電路的微分方程。 例例7-10 電路如圖電路如圖7-22(a)所示，以所示，以uC(t)為變量列出電路的微為變量列出電路的微 分方程。分方程。 解一：列出網(wǎng)孔方程解一：列出網(wǎng)孔方程（胡氏經(jīng)典法胡氏經(jīng)典法） 0)()(CC3212SC2121uiRRiRuiRiRR圖圖7-22 補充方程補充方程 tuCiddCC 得到以得到以i1(t)和和uC(t)為變量的方程為變量的方程 (2) 0dd)(1) dd)(CC3212SC2121utuCRRiRutuCRiRR 0)()(CC3212SC2121uiRRiRuiRiRR 將將 i1(t)代入式代入式(1)，得到以下方程，得到以下方程 )207(

22、dd)(S212CC21213 uRRRutuCRRRRR 這是以電容電壓為變量的一階微分方程。這是以電容電壓為變量的一階微分方程。 從式從式(2)中寫出中寫出i1(t)的表達式的表達式 C2C23211dd)(uRtuRCRRi 圖圖7-22 解二：將連接電容的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路解二：將連接電容的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路 代替，得到圖代替，得到圖(b)所示電路，其中所示電路，其中 S212oc21213ouRRRuRRRRRR 圖圖722(b)電路與圖電路與圖720(a)相同，直接引用式相同，直接引用式717可以可以所得到與式所得到與式720相同的的微分方程。相同的的微

23、分方程。 圖圖7-22（等效變換法）（等效變換法） 例例7-10 電路如圖電路如圖7-22(a)所示，以所示，以uC(t)為變量列出電路的微為變量列出電路的微 分方程。分方程。 解三：解三：（劉氏觀察法劉氏觀察法） 圖圖7-227.3 動態(tài)電路的電路方程例題圖圖7-23方法：方法：劉氏觀察法（宗旨劉氏觀察法（宗旨:盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）盡早用動態(tài)變量表示其他參數(shù)寫關(guān)于電源的方程）胡氏經(jīng)典法（宗旨胡氏經(jīng)典法（宗旨:寫網(wǎng)孔方程，消去其他變量得關(guān)系式）寫網(wǎng)孔方程，消去其他變量得關(guān)系式） 等效變換法（宗旨：線性部分作戴維寧等效變換法（宗旨：線性部分作戴維寧/諾頓等效變化）諾頓等效變化）例例7-11 如圖如圖7-23所示，以所示，以uC(t)為變量列出電路的微分方程。為變量列出電路的微分方程。 圖圖7-23解：以解：以i iL L( (t t) )和和i iC C( (t t) )為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程 0)(ddCC1L1SC1L21LuiRiRuiRiRRtiL 代入電容