相交線與平行線培優(yōu)教師版

1、七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)相交線與平行線例1平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點，有多少個不同交點？解：2條直線產(chǎn)生1個交點，第3條直線與前面2條均相交，增加2個交點，這時平面上3條直線共有1+2=3個交點；第4條直線與前面3條均相交，增加3個交點，這時平面上4條直線共有1+2+3=6個交點；則n條直線共有交點個數(shù)：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)評注：此題是平面上n條直線交點個數(shù)最多的情形，需要仔細觀察，由簡及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例26個不同的點，其中只有3點在同一條直線上，2點確定一條直線，問能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除

2、去共線的3點中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點所在的直線外的3點間最多能確定3條直線，這3點與直線上的3點最多有3×3=9條直線，加上3點所在的直線共有：3+9+1=13條評注：一般地，平面上n個點最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例310條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個交點，此直線被這兩點分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個，即最多分成2+2+3=7個不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成2+2+3+

3、4=11個不同區(qū)域； 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個不同區(qū)域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？例4、兩條直線相交于一點，所形成的的角中有2對對頂角，4對鄰補角，那么，三條直線相交于一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？四條直線相交于一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？n條直線相交于一點時，有多少對對頂角，多少對鄰補角？直線的條數(shù)345.n對頂角的對數(shù)61220.n(n-1)鄰補角的對數(shù)122440.2n(n-1)例5平面上有5個

4、點，其中僅有3點在同一直線上，過每2點作一條直線，一共可以作直線（）條A6B 7C8D9解析： 5個點中任取2點，可以作4+3+2+110條直線，在一直線上的3個點中任取2點，可作2+13條，共可作10-3+18（條）故選C例6平面上三條直線相互間的交點個數(shù)是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，3解析：平面上3條直線可能平行或重合。故選D例7平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點，則截得不重疊線段共有（）A36條B33條C24條D21條例7解析:對于3條共點的直線，每條直線上有4個交點，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9條不重疊的線段對于3條不共點的直線，每條直線上有5個交

5、點，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12條不重疊的線段。故共有21條不重疊的線段。故選D例8已知平面中有個點三個點在一條直線上，四個點也在一條直線上，除些之外，再沒有三點共線或四點共線，以這個點作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12例8解析:由個點中每次選取兩個點連直線，可以畫出條直線，若三點不在一條直線上，可以畫出3條直線，若四點不在一條直線上，可以畫出6條直線， 整理得 n+90 選B。例9平面上有5個點，每兩點都連一條直線，問除了原有的5點之外這些直線最多還有 交點9解：每兩點可確定一條直線，這5點最多可組成10條直線

6、，又每兩條直線只有一個交點，所以共有交點個數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2+145（個）又因平面上這5個點與其余4個點均有4條連線，這四條直線共有3+2+16個交點與平面上這一點重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉5×6=30個交點，所以有交點的個數(shù)應(yīng)為45-3015個例10、平面上3條直線最多可分平面為 個部分。10解：可分7個部分例11已知A、B是直線L外的兩點，則線段AB的垂直平分線與直線的交點個數(shù)是 。11 0個、1個或無數(shù)個1）若線段AB的垂直平分線就是L，則公共點的個數(shù)應(yīng)是無數(shù)個；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分線，則此時AB的垂直平分線與L是平行的關(guān)系，所以它們沒有公共點，即公共點個數(shù)為0個；3）若AB與L不垂直，那么AB的垂直平分線與直線L一定相交，所以此時公共點的個數(shù)為1個例12、平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點個數(shù)不會超過 個。124條直線兩兩相交最多有1+2+36個交點例13、一直線上5點