第3章_平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

1、第 3 章平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù) 數(shù)據(jù)有兩種變化趨勢(shì)：集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)。 表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的指標(biāo)有多個(gè)，如平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)，使用最多的是算術(shù)平均數(shù)。 表示數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的指標(biāo)有多個(gè)，如極差、平均離差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，使用最多的是方差與標(biāo)準(zhǔn)差。 資料中各觀察值的總和除以觀察值的個(gè)數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱為平均平均數(shù)或均數(shù)。數(shù)或均數(shù)。用符號(hào) 表示。 平均數(shù)的意義：平均數(shù)的意義： 平均數(shù)用來(lái)描述資料的集中性，即指出資料中數(shù)據(jù)集中較多的中心位置,常用于同類性質(zhì)資料間的相互比較。x一、集中趨勢(shì)計(jì)算方法計(jì)算方法1. 直接法直接法 適用于樣本含量較小的非頻數(shù)資

2、料 如果一個(gè)含量為n的樣本，其n個(gè)觀察值分別用x1、x2xn表示，則它們的平均數(shù)為 其中，（Sigma）為總和符號(hào)， 表示從第一個(gè)觀察值x1累加到第n個(gè)觀察值xn，若在意義上已明確時(shí)，簡(jiǎn)記為x。121ninixxxxxnnniix1常數(shù)的總和等于該常數(shù)的n倍，即代數(shù)和的總和等于總和的代數(shù)和，即總和符號(hào)內(nèi)的常數(shù)因子可以提取到總和符號(hào)之外，即其中C為常數(shù)（a為常數(shù)）ninCC1iiiiiizyxzyx)(njkiijkinjijxx1111iixaaxkkkfffxfxfxfx2122112. 加權(quán)法加權(quán)法 如果樣本中有n1個(gè)x1，有n2個(gè)x2，那么，n1+n2個(gè)數(shù)的平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)。 同理：

3、各組的次數(shù) fi 是權(quán)衡各組中值 xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此f被稱為是x的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。212211nnxnxnxffxfxfkiikiii11 在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的平均數(shù)時(shí)， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。Nfxxkii1)( 表表3-13-15050只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表10915021.82fxxf 在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的平均數(shù)時(shí)， 式中m為組中值，f、N和k同上式。Nfmxkii1)(組 別組中值m頻數(shù)（f）fm44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.512

4、59450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計(jì)20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475x平均數(shù)有以下幾個(gè)基本特性： （1）平均數(shù)的計(jì)算與樣本內(nèi)每個(gè)值都有關(guān)，它的大小受每個(gè)值的影響。 （2）若每個(gè)xi都乘以相同的數(shù)k，則平均數(shù)亦應(yīng)乘以k。 （3）若每個(gè)xi都加上（或減去）相同的數(shù)A，則平均數(shù)亦應(yīng)加上（或減去） A。 將資料中所有觀察值從小到大

5、依次排列，處于中間位置的數(shù)。以Md表示。 適用條件適用條件 資料呈偏態(tài)分布偏態(tài)分布或頻數(shù)分布類頻數(shù)分布類型不明型不明，以及一端或兩端無(wú)確定數(shù)值一端或兩端無(wú)確定數(shù)值,這種資料用中位數(shù)作為代表值比用算術(shù)平均數(shù)為好。 非頻數(shù)資料，先將各觀察值由小到大排資料，先將各觀察值由小到大排列，列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數(shù)，即： Md =x (n+1)/2其中：L中位數(shù)所在組的下限；i組距；f中位數(shù)所在組的頻數(shù)；n總頻數(shù)；c小于中數(shù)所在組的累積頻數(shù)。/2 1n 2 / n2) 12 /(2 /nndxxM)2(cnfiLMd當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 和 位置的兩個(gè)觀察值之和的二分之一即為中位數(shù)

6、，即： 若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)分布表計(jì)算中數(shù)。分布表計(jì)算中數(shù)。潛伏期（小時(shí)）潛伏期（小時(shí)）病例數(shù)病例數(shù)f 累計(jì)例數(shù)累計(jì)例數(shù)02525125883244012336231464812158605163721164)(8 .23)252164(581212)2(25,58,12,164,12小時(shí)此例cnfiLMCfLnid例某地區(qū)有164人因沙門(mén)氏菌食物中毒，其潛伏期資料經(jīng)整理如下表，試計(jì)算中位數(shù)。 資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)或頻數(shù)最多一組的組中值，記為Mo。 fmax=24, Mo=22 50 50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表只

7、小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表10915021.82fxxfMd=22組 別組中值m頻數(shù)（f）fx44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計(jì)20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475xfmax=44, Mo=52.5Md=53.35 定義定義 指n

8、個(gè)觀察值乘積的n次方根。即 適用條件適用條件 主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)呈倍數(shù)關(guān)系呈倍數(shù)關(guān)系或不對(duì)稱分布不對(duì)稱分布的資料，算術(shù)平均數(shù)對(duì)這類資料的代表性差算術(shù)平均數(shù)對(duì)這類資料的代表性差。如抗體效價(jià)（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長(zhǎng)率或生長(zhǎng)率、動(dòng)態(tài)發(fā)展速度等。nnnnxxxxxxG1).(.2121計(jì)算計(jì)算1 1、應(yīng)用公式計(jì)算（實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取對(duì)數(shù)）、應(yīng)用公式計(jì)算（實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取對(duì)數(shù)）nnxxxG.21niinxnxxxnG121lg1lglglg1lgniixnG11lg1lg 例 海蝦養(yǎng)殖試驗(yàn)，各旬的生長(zhǎng)速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長(zhǎng)

9、速度。 解： 即海蝦平均生長(zhǎng)速度為1.38。 其算術(shù)平均數(shù)為14. 01 . 1lg22 . 1lg25 . 1lg3lg71lgG38. 114. 0lg1G121.48nxxxxn 當(dāng)資料編成頻數(shù)分布表時(shí)當(dāng)資料編成頻數(shù)分布表時(shí)， 各組組中值； 各組次數(shù)；)lg(lg1fxfGiixif 資料的另一方面的特征是變異程度。如： A 組資料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均數(shù)為： 5 B 組資料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均數(shù)為： 5 這里的平均數(shù) 5 對(duì)于 A 組資料的代表性好？還是對(duì)于 B 組資料的代 表性好？可見(jiàn)，只表明了數(shù)據(jù)的集中程度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要進(jìn)一步說(shuō)明

10、數(shù)據(jù)的變異程度。只有通過(guò)變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數(shù)據(jù)變異特征的數(shù)值叫變異數(shù)變異數(shù)。常用的變異數(shù)有：極差、平均離差、方 差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。 極差（全距）極差（全距） 極差 = 最大值 - 最小值 只利用了資料中最大值和最小值，不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各個(gè)觀察值的變異程度。 平均離差平均離差 1xxdn它不能表示整個(gè)資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用消除離均差的負(fù)號(hào)離均差的平方之和（簡(jiǎn)稱平方和平方和，記為SS）稱為均方均方（縮寫(xiě)為MS），又稱為樣本樣本方差方差，記為S2標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差S S)(xx0)(xxxx)(xx2)(xx2)(xx) 1/()(2nx

11、x) 1/()(2nxxS離均差離均差 首先求出離均差，即每個(gè)數(shù)與它們的平均數(shù)之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號(hào)s2表示。 方差s2是離均差平方的平均數(shù)。雖然方差在實(shí)際應(yīng)用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以它不能直接地指出某個(gè)數(shù)x與平均數(shù)之間的偏離究竟達(dá)到什么程度。為此，采用標(biāo)準(zhǔn)差s做標(biāo)準(zhǔn)，衡量x與平均數(shù)之間的離散程度。 自由度 (degree of freedom) ：統(tǒng)計(jì)學(xué)借此來(lái)反映一批變量的約束條件。 例如一個(gè)有 5 個(gè)觀察值的樣本，因?yàn)槭艿浇y(tǒng)計(jì)數(shù)

12、的約束，在5個(gè)離均差中，只有4個(gè)數(shù)值可以在一定范圍內(nèi)自由變動(dòng)取值，而第五個(gè)離均差必須滿足這一限制條件。 自由度記作 DF ， 一般樣本自由度等于觀察值個(gè)數(shù) ( n ) 減去約束條件的個(gè)數(shù) ( k ) ，即 DF n k 。 1)(122nxxsnii1)(12nxxsnii樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 為了方便計(jì)算，將離均差平方和轉(zhuǎn)化為另一種形式，同時(shí)略去下標(biāo)，上式可表示為：1)(22nnxxs 在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。1)(22NNfxfxs 在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)， 式中m為組中值，f、N和k同上式。1)(22NNfmfms標(biāo)準(zhǔn)差的特性標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則??；（二）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的值不變數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的值不變； (三)當(dāng)每個(gè)觀察值都乘以一個(gè)常數(shù)a時(shí)，所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍樣本的方差為總體的方差為 資料的單位不同或平均數(shù)相差很大時(shí)，直接利用標(biāo)準(zhǔn)差比較資料間變異程度是不妥的，需用變異系數(shù)。 變異系數(shù)同標(biāo)準(zhǔn)差一樣是衡量資料變異程度的統(tǒng)計(jì)量。變異系數(shù)消除了不同單位和平均數(shù)的影響，可以用來(lái)比較不同資料的相對(duì)變異程度。 變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)