線性矩陣不等式的LMI工具箱求解

1、1、 線性矩陣不等式的LMI工具箱求解（1） 可行性問題（LMIP）1、 可行性問題描述 系統(tǒng)狀態(tài)方程：在判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，需要判斷是否存在實(shí)對(duì)稱矩陣P，使得：成立，其中Q為正定矩陣。那么判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，可以轉(zhuǎn)化為下面不等式是否存在解的問題：這種不等式解是否存在的問題可以用MATLAB的LMI工具箱進(jìn)行判斷。2、 仿真所需要用到的命令setlmis() ：開始一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述；X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定義一個(gè)新的矩陣變量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：確定線性矩陣不等式的一個(gè)項(xiàng)的內(nèi)容；LMIS

2、YS = getlmis：結(jié)束一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述，返回這個(gè)現(xiàn)行矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示向量LMISYS；X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由給定的決策變量得到相應(yīng)的矩陣變量值。tmin,xfeas=feasp(lmisys)：可行性問題的求解器函數(shù)，tmin大于0時(shí)，表明LMI系統(tǒng)不可行，P陣無解，系統(tǒng)不穩(wěn)定，tmin小于0時(shí)，便可以用dec2mat函數(shù)求解出P矩陣。3、 仿真結(jié)果 可以看到，仿真結(jié)果tmin0，因此P陣存在，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步用dec2mat函數(shù)求解出P矩陣。得：（2） 特征值問題(EVP)1、EVP問題描述該問題對(duì)應(yīng)矩陣工具箱中的L

3、MI約束的線性目標(biāo)函數(shù)最小化優(yōu)化問題。一般采用mincx求解器求解?？紤]這樣一個(gè)優(yōu)化問題：其中：2、仿真用到的命令DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,.) ：由給定的矩陣變量得到相應(yīng)的決策變量值；copt,xopt=mincx(LMIs,c,options)：用于給定的特征值問題求解，copt返回全局最優(yōu)的決策變量,xopt返回決策變量的最優(yōu)解。相應(yīng)的矩陣變量的最優(yōu)解可以用函數(shù)dec2mat從xopt得到。evlmi=evallmi(LMIs,xopt)：對(duì)給定的決策變量xopt，求取系統(tǒng)的值；lhs,rhs=showlmi(evlmi,1)：顯示第一個(gè)線性矩陣

4、不等式的左邊和右邊的矩陣值。這個(gè)不等式的成立與否可以通過eig(lhs-rhs)來檢驗(yàn)。如果返回的結(jié)果是負(fù)定的，那么表示xopt滿足第一個(gè)線性矩陣不等式。3、仿真結(jié)果下面給出EVP優(yōu)化問題的分析結(jié)果：可以看到，flag為負(fù)定，說明Xopt是要求的矩陣不等式的解。（3） 廣義特征值問題（GEVP）1、 問題描述廣義特征值問題一般是用來尋找一個(gè)最小的，使得其滿足下面的矩陣不等式組：假設(shè)有如下的三個(gè)系統(tǒng)：其中，分別為：要求尋找一個(gè)單一的lyapunov函數(shù)來驗(yàn)證給定的三個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)要求衰減率最大化。這樣的一個(gè)問題等價(jià)于如下的優(yōu)化問題：2、 仿真用到的命令lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用于求解廣義特征值的線性矩陣不等式問題；3、 仿真結(jié)果由仿