邊界層分析求解

1、15-3 15-3 邊界層微分方程組的解邊界層微分方程組的解 邊界層的概念是邊界層的概念是19041904年德國科學(xué)年德國科學(xué)家普朗特提出的。家普朗特提出的。 （Boundary Boundary layerlayer） 1 1）定義）定義垂直于壁面的方向上流垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為流動邊流體薄層定義為流動邊界層。界層。 在離平壁前端在離平壁前端x處用熱線風(fēng)速儀，測得沿壁處用熱線風(fēng)速儀，測得沿壁面方向方向上各點(diǎn)的流速，這一分布呈現(xiàn)類似面方向方向上各點(diǎn)的流速，這一分布呈現(xiàn)類似拋物線型。在拋物線型。在u=0.99u 處以外的流體，可以認(rèn)處以外的流體

2、，可以認(rèn)為不受流體粘性的影響，稱其為主流區(qū)。而為不受流體粘性的影響，稱其為主流區(qū)。而u u=0.99=0.99u u以內(nèi)的區(qū)域，存在明顯速度梯度，稱以內(nèi)的區(qū)域，存在明顯速度梯度，稱為邊界層區(qū)。為邊界層區(qū)。 流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。方向上會從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。 tw t u t t 0 x 普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低黏度的流體，如水和空氣普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低

3、黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。生顯著變化的流體層是非常薄的。 邊界層內(nèi)：平均速度梯度很大；邊界層內(nèi)：平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大處的速度梯度最大滿足牛頓粘性定律：滿足牛頓粘性定律：wy式中：式中：粘滯力，粘滯力，N/m2; 動力粘度動力粘度, kg/(ms) 在速度邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度，因此粘滯力在速度邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度，因此粘滯力也較大。由于粘滯力的牽制，在這一邊界層內(nèi)流體微團(tuán)也較大。由于粘滯力的牽制，在這一邊界層內(nèi)流體微團(tuán)只能沿著壁面平行地

4、分層流動，稱為層流邊界層。只能沿著壁面平行地分層流動，稱為層流邊界層。流體流過固體壁面的流場就流體流過固體壁面的流場就人為地分成人為地分成兩個(gè)不同的區(qū)域。兩個(gè)不同的區(qū)域。tw t u t t 0 x其一是其一是邊界層流動區(qū)，邊界層流動區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)勢流區(qū)，這里，這里流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動，流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動，也就是勢流流動。也就是勢流流動。當(dāng)速度變化達(dá)到當(dāng)速度變化達(dá)到 時(shí)的空間位置為速度邊界層

5、的時(shí)的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度 99. 0uu xtw t u t t 0 x 小：空氣外掠平板，?。嚎諝馔饴悠桨?，mm5 . 2 ;mm8 . 1200100mmxmmx理論關(guān)系式為理論關(guān)系式為 ：1211 22=5.0 5.0=5.0Rexxw xu x層u u =10m/s=10m/s：1 2=5.0 xv w層 11225.05.0Rexxw x要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動方向上的尺度要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動方向上的尺度( (即即 ) )，也就是也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須

6、足夠所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大的大, ,即即 1xx1Re 因此，對于流體流過平板，滿足因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大諾數(shù)足夠大。由此也就知道，。由此也就知道，當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。 隨著隨著x x的增大，的增大，（x x）也逐步增大，同時(shí)黏性力對流場也逐步增大，同時(shí)黏性力對流場的控制作用也逐步減弱的控制作用也逐步減弱，從而使邊界層內(nèi)的流動變得紊亂。，從而使邊界層內(nèi)的流動變得紊亂。 把邊界層從層流過渡到紊流的把

7、邊界層從層流過渡到紊流的x x值稱為臨界值，記為值稱為臨界值，記為x xc c，其所對應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即其所對應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即ccxuRe流體平行流體平行流過平板的流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是臨界雷諾數(shù)大約是 5105Rec對于管內(nèi)的流動運(yùn)對于管內(nèi)的流動運(yùn)動，取動，取臨界雷諾數(shù)臨界雷諾數(shù)23002300粘性底層粘性底層：在紊流邊界層內(nèi)，由于緊貼壁面處那一層薄層內(nèi)在紊流邊界層內(nèi)，由于緊貼壁面處那一層薄層內(nèi)粘滯力甚大，流體仍具有層流的特征。粘滯力甚大，流體仍具有層流的特征。 紊流支層紊流支層：粘性底層上方稱為紊流支層，在該層內(nèi)粘滯力較粘性底層上方稱為紊流支層，在該層內(nèi)粘滯力較小

8、，流體具有紊流的特點(diǎn)。小，流體具有紊流的特點(diǎn)。 邊界層厚度邊界層厚度= =粘性底層粘性底層+ +紊流支層紊流支層 11099=29.4 mxw底1 54 5=0.37 mwx紊1 5=0.37 Rexx紊11099=29.4 mxw底1 2=5.0 xv w層 由以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，流體的主流速度由以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，流體的主流速度w越大，層流邊越大，層流邊界層厚度界層厚度層層以及粘性底層的厚度以及粘性底層的厚度底底越薄；越?。粁增大時(shí)，層流邊增大時(shí)，層流邊界層厚度界層厚度層層隨隨x0.5成正比增加，而粘性底層則隨成正比增加，而粘性底層則隨x0.1成正比增成正比增加，這表明當(dāng)加，這表明當(dāng)x增大時(shí)，

9、增大時(shí)，底底增加很少。增加很少。 (1) 邊界層厚度邊界層厚度 與壁的定型尺寸與壁的定型尺寸L相比極小，相比極小， L (2) 邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度 (3) 邊界層流態(tài)分層流與紊流；紊流邊界層緊靠壁面邊界層流態(tài)分層流與紊流；紊流邊界層緊靠壁面處仍有層流特征，粘性底層（層流底層）處仍有層流特征，粘性底層（層流底層） (4) 流場可以劃分為邊界層區(qū)與主流區(qū)流場可以劃分為邊界層區(qū)與主流區(qū)（縱向）（縱向） 層流邊界段：層流邊界段：Re數(shù)很小，粘性力占優(yōu)勢，忽略數(shù)很小，粘性力占優(yōu)勢，忽略慣性力慣性力 過度邊界段：過度邊界段： Re數(shù)處于之間，粘性力和數(shù)處于之間，粘性力和慣

10、性力慣性力相當(dāng)相當(dāng) 紊流邊界段：紊流邊界段：Re數(shù)很大，數(shù)很大，慣性力慣性力主導(dǎo)，忽略粘性力主導(dǎo)，忽略粘性力慣性力慣性力 指當(dāng)物體加速時(shí)，指當(dāng)物體加速時(shí)，慣性慣性會使物體有保持原有會使物體有保持原有運(yùn)動狀態(tài)運(yùn)動狀態(tài)的的傾向，若是以該物體為傾向，若是以該物體為參照物參照物，看起來就仿佛有一股方向相，看起來就仿佛有一股方向相反的力作用在該物體上，因此稱之為慣性力。因?yàn)閼T性力實(shí)反的力作用在該物體上，因此稱之為慣性力。因?yàn)閼T性力實(shí)際上并不存在，實(shí)際存在的只有原本將該物體加速的力，因際上并不存在，實(shí)際存在的只有原本將該物體加速的力，因此慣性力又稱為假想力。此慣性力又稱為假想力。 慣性系慣性系: :相對于

11、地球靜止或作勻速直線運(yùn)動的物體相對于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動的物體. .非慣性系非慣性系: :相對地面慣性系做加速運(yùn)動的物體相對地面慣性系做加速運(yùn)動的物體. .當(dāng)流體流過平板而平板的溫度當(dāng)流體流過平板而平板的溫度t tw w與來流流體的溫度與來流流體的溫度t t不相等不相等時(shí)，在時(shí)，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層熱邊界層。 Tw當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的0.990.99倍時(shí)倍時(shí)，即，即 ，此位置就是邊界層，此位置就是邊界層的外邊緣，而的外邊緣，而

12、該點(diǎn)到壁面之間的距離則是該點(diǎn)到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度熱邊界層的厚度, ,記為記為 99. 0)/()(ttttww xt湍流：溫度呈冪函數(shù)湍流：溫度呈冪函數(shù)分布分布層流：溫度呈拋物線層流：溫度呈拋物線分布分布湍流邊界層貼壁處的湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層溫度梯度明顯大于層流流故：湍流換熱比層流換熱強(qiáng)！故：湍流換熱比層流換熱強(qiáng)！在同一位置上在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特?cái)?shù)流體的普朗特?cái)?shù)PrPr有關(guān)有關(guān)，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動量，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動量擴(kuò)散特性的相對大小有關(guān)。擴(kuò)散特性的相對大小

13、有關(guān)。 31Pr026. 11xxt由此式可以看出，由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了ReRe足夠大之外還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常足夠大之外還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常小時(shí)（小時(shí)（Pr1Pr1Pr1時(shí)，時(shí)，Pr=/aPr=/a，aa，粘性擴(kuò)散，粘性擴(kuò)散 熱量擴(kuò)散，速度邊熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度界層厚度 溫度邊界層厚度。溫度邊界層厚度。當(dāng)當(dāng)Pr1Pr1時(shí)，時(shí)，Pr=/aPr=/a，aa，粘性擴(kuò)散，粘性擴(kuò)散 熱量擴(kuò)散，速度邊熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度界層厚度 溫度邊界層厚度。溫度邊界層厚度。也可以從公式得出也可以從公式得出 31

14、Pr026. 11xxtT Tu uT Tx x0 0t tu ux x0 0t t(a)Pr1 (b)Pr(a)Pr11熱邊界層的邊界線將流體的溫度場劃分為兩個(gè)區(qū)域，只有在熱邊界層的邊界線將流體的溫度場劃分為兩個(gè)區(qū)域，只有在熱邊界層中才有溫度變化，而在熱邊界層以外可以認(rèn)為溫度梯熱邊界層中才有溫度變化，而在熱邊界層以外可以認(rèn)為溫度梯度為零，當(dāng)做等溫流動區(qū)。度為零，當(dāng)做等溫流動區(qū)。對于層流，壁面法線方向熱量傳遞靠導(dǎo)熱方式，邊界層內(nèi)溫對于層流，壁面法線方向熱量傳遞靠導(dǎo)熱方式，邊界層內(nèi)溫度分布為拋物線；對于紊流，粘性底層的熱量傳遞靠導(dǎo)熱，而度分布為拋物線；對于紊流，粘性底層的熱量傳遞靠導(dǎo)熱，而在底層

15、以外的紊流支層，除導(dǎo)熱外，主要靠速度脈動引起的對在底層以外的紊流支層，除導(dǎo)熱外，主要靠速度脈動引起的對流混合作用。流混合作用。對于導(dǎo)熱系數(shù)不高的流體，紊流換熱熱阻主要取決于粘性底對于導(dǎo)熱系數(shù)不高的流體，紊流換熱熱阻主要取決于粘性底層的導(dǎo)熱過程，邊界層的溫度梯度在粘性底層最大，而在紊流層的導(dǎo)熱過程，邊界層的溫度梯度在粘性底層最大，而在紊流支層變化平緩。支層變化平緩。流型：層流和紊流流型：層流和紊流縮小計(jì)算區(qū)域。對對流換熱問題的研究可集中在邊界縮小計(jì)算區(qū)域。對對流換熱問題的研究可集中在邊界層區(qū)域內(nèi)層區(qū)域內(nèi)邊界層內(nèi)的流動與換熱可以利用邊界層的特點(diǎn)進(jìn)一步邊界層內(nèi)的流動與換熱可以利用邊界層的特點(diǎn)進(jìn)一步簡

16、化簡化比較方程中各量或各項(xiàng)的量級的比較方程中各量或各項(xiàng)的量級的相對大小相對大小；保留量；保留量級較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級小的項(xiàng)，方程大大簡化級較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級小的項(xiàng)，方程大大簡化)()()()(22222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuxu0yv 2222ytxtytvxtucp例：二維、穩(wěn)態(tài)、例：二維、穩(wěn)態(tài)、層流、忽略重力的、層流、忽略重力的對流換熱為例對流換熱為例主流速度：主流速度：);1 (0u溫度：溫度：);1 (0t壁面特征長度：壁面特征長度：);1 (0l邊界層厚度：邊界層厚度：)(0 );(0tx x 與與 l l 相當(dāng)，即：相當(dāng)，即：);1 (

17、0 lx)(0 0yy注意：注意：0(1)0(1)、0(0( ) )表示數(shù)量級為表示數(shù)量級為1 1和和 ，1 1 。“” ” 相當(dāng)相當(dāng)于于u u沿邊界層厚度由沿邊界層厚度由0 0到到u u : :由連續(xù)性方程：由連續(xù)性方程：) 1 (0uu) 1 (0luxuyv)(0 v(a) 0yvxu(b) )()2222yuxuxpyuvxuu（ 11 ）（）（221 11 1 11 1 1）（）（222 1 1 1 1(c) )()2222yvxvypyvvxvu（0yvxu22)yuxpyuvxuu（(d) )()2222ytxtytvxtucp（）（）（221 11 1 11 1 122)yty

18、tvxtucp（表明：邊界層內(nèi)的壓力梯度僅沿表明：邊界層內(nèi)的壓力梯度僅沿 x x 方向變化，而邊界層方向變化，而邊界層內(nèi)法向的壓力梯度極小。內(nèi)法向的壓力梯度極小。邊界層內(nèi)任一截面壓力與邊界層內(nèi)任一截面壓力與 y y 無關(guān)而等于主流壓力無關(guān)而等于主流壓力)(0yp) 1 (0 xpdxdpxp dxduudxdp 由上式：22)uupuuvxyxy （)(0yp可視為邊界層的又一特性可視為邊界層的又一特性層流邊界層對流層流邊界層對流換熱微分方程組：換熱微分方程組：3 3個(gè)方程、個(gè)方程、3 3個(gè)未個(gè)未知量：知量：u u、v v、t t，方程封閉方程封閉如果配上相應(yīng)的如果配上相應(yīng)的定解條件，則可定解

19、條件，則可以求解以求解0yvxu221yudxdpyuvxuu22ytaytvxtudxduudxdp00dxdpdxdu，則若xu0yv 22()uuuuvxyy22ytytvxtucp邊界條件：邊界條件：constuttuuttvuyywyyy|,|, 0|, 0|000微分方程：微分方程：3/12/13/12/13/12/12/1,2/1PrRe332. 0PrRe332. 0PrRe332. 0Re664. 0Re0 . 5lhNuxhCxxxxxxxfx結(jié)果為：結(jié)果為：式中式中,Nux=x/為局部努賽爾數(shù)，無量綱，其大小反映了局部為局部努賽爾數(shù)，無量綱，其大小反映了局部換熱的程度。換

20、熱的程度。(1) (1) 建立邊界層積分方程建立邊界層積分方程 針對包括固體邊界及邊界層針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；(2) (2) 對邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函對邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項(xiàng)式；數(shù)形式為多項(xiàng)式；(3) (3) 利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出 和和 的計(jì)算式；的計(jì)算式；(4) (4) 根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計(jì)算固體邊界上的根據(jù)求得的速度分布和

21、溫度分布計(jì)算固體邊界上的tNucytyufyy和及005-4 5-4 邊界層積分方程組及其求解邊界層積分方程組及其求解0()wxxww w dyx00d()|dlyttt udyaxy 邊界層動量積分方程是把動量定律應(yīng)用于一個(gè)控制容積導(dǎo)邊界層動量積分方程是把動量定律應(yīng)用于一個(gè)控制容積導(dǎo)出的。取出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制對流為對象常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制對流為對象作分析。作分析。 u u w w在流體中劃出如圖的控制容在流體中劃出如圖的控制容積，包括積，包括dxdx一段邊界層，而一段邊界層，而z z方向?yàn)閱挝婚L度。控制容方向?yàn)閱挝婚L度。控制容積左側(cè)面為積左側(cè)面為abab

22、，右側(cè)面為，右側(cè)面為cdcd，頂面為頂面為bdbd，底面為壁面的，底面為壁面的acac部分，即取部分，即取 acac為為dxdx。u u w w由于在邊界層內(nèi)由于在邊界層內(nèi)y y方向上的流方向上的流速很小，因此推導(dǎo)中只考慮速很小，因此推導(dǎo)中只考慮x x方向上的動量變化，不引入方向上的動量變化，不引入流速流速v v。圖中給出了速度的分布曲線。圖中給出了速度的分布曲線。 在距壁面在距壁面y y處流速為處流速為u u，在，在yy處處u=uu=u。 先計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)出入控制容積的動量之差。為此計(jì)算以先計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)出入控制容積的動量之差。為此計(jì)算以下各項(xiàng)：下各項(xiàng)： ldyu02u u w w而同時(shí)穿過

23、而同時(shí)穿過cdcd面流出的動量為面流出的動量為 dxdyudxddyull)(0202凈流出的動量為凈流出的動量為 )( )(02adxdyudxdl（2 2）沒有流體穿過固體表面）沒有流體穿過固體表面acac。但有流體質(zhì)點(diǎn)穿過。但有流體質(zhì)點(diǎn)穿過bdbd面。根面。根據(jù)質(zhì)量守恒，穿過據(jù)質(zhì)量守恒，穿過bdbd面流入控制容積的質(zhì)量流量等于流出面流入控制容積的質(zhì)量流量等于流出cdcd面與流入面與流入abab面的質(zhì)量流量之差。面的質(zhì)量流量之差。 流入流入abab面的質(zhì)量流量為面的質(zhì)量流量為: : ludy0流出流出cdcd面的質(zhì)量流量面的質(zhì)量流量: : dxudydxdudyll)(00于是穿過于是穿過

24、bdbd面流入控制容積的質(zhì)量流量為面流入控制容積的質(zhì)量流量為: : dxudydxdl)(0u u w w相應(yīng)帶入控制體的動量（略去相應(yīng)帶入控制體的動量（略去u u沿沿x x變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）為變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）為 (b) )(0ludydxddxu根據(jù)動量定律，在根據(jù)動量定律，在x x方向上的動量方向上的動量變化必須等于變化必須等于x x方向上作用在控制方向上作用在控制體表面上外力的代數(shù)和。體表面上外力的代數(shù)和。 作用在控制體表面上作用在控制體表面上x x方向上的外力，有作用于方向上的外力，有作用于acac面上的切應(yīng)面上的切應(yīng)力力w wdxdx以及以及abab和和cdcd兩面壓力之差

25、兩面壓力之差 dxdxdplplldxdxdpp)(u u w w于是動量定律可表達(dá)為于是動量定律可表達(dá)為 (c) )(002dxdxdpldxudydxddxudxdyudxdwll由于存在以下關(guān)系：由于存在以下關(guān)系： (d) )(000llludydxduudydxduudyudxd于是式于是式(c)(c)可改寫成為可改寫成為 dxdpludydxduudyudxddyudxdwlll)()(0002重新組合可得重新組合可得 (e) )(00dxdpludydxduudyuudxdwll由伯努利方程知由伯努利方程知 , ,而而dxduudxdp代入代入(e)(e)式，得式，得(e) )(0

26、0dxdpludydxduudyuudxdwll0()lwduu udydx根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主流區(qū)根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主流區(qū)u u-u-u=0=0。改寫上式。改寫上式積分上限得積分上限得 0() (1)wduu udydx這就是卡門在這就是卡門在19211921年導(dǎo)出的邊界層動量積分方程。由積分年導(dǎo)出的邊界層動量積分方程。由積分方程求出的分析解稱為方程求出的分析解稱為，以區(qū)別于微分方程的精確，以區(qū)別于微分方程的精確解解 . .0dudxu t t把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可推導(dǎo)出邊界層能量積分方程。推導(dǎo)出邊界層能量積分方程。 x x方向上為方

27、向上為dxdx，y y方向上大于流動邊界層即熱邊界層厚度，而方向上大于流動邊界層即熱邊界層厚度，而z z方向上為單位長度的一個(gè)控制容積如圖所示。方向上為單位長度的一個(gè)控制容積如圖所示。 在在的條件下，考察控制容積的的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數(shù)量級分析中已經(jīng)得出結(jié)論能量守恒。在邊界層數(shù)量級分析中已經(jīng)得出結(jié)論 ytxt22u t t（1 1）單位時(shí)間內(nèi)穿過）單位時(shí)間內(nèi)穿過abab面進(jìn)入控面進(jìn)入控制容積的熱量為制容積的熱量為(f) 0lptudyc單位時(shí)間內(nèi)穿過單位時(shí)間內(nèi)穿過cdcd面帶出控制容面帶出控制容積的熱量為積的熱量為 (g) )(00dxtudydxdctudyclplp（

28、2 2）單位時(shí)間內(nèi)穿過）單位時(shí)間內(nèi)穿過bdbd面進(jìn)入控制容積的質(zhì)量流量為面進(jìn)入控制容積的質(zhì)量流量為 dxudydxdl)(0由它帶入控制容積的熱量為由它帶入控制容積的熱量為: : (h) )(0dxudydxdtclpu t t（3 3）穿過）穿過acac面，因貼壁流體層導(dǎo)面，因貼壁流體層導(dǎo)熱帶出控制容積的熱量為熱帶出控制容積的熱量為 (i) |0yytdx在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進(jìn)入與帶出控制容積的熱量相在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進(jìn)入與帶出控制容積的熱量相等等，于是可得，于是可得: : dxudytdxdcytdxdxudydxdtclpylp)(|)(000整理后得整理后得 00|)(y

29、lytaudyttdxd因?yàn)樵跓徇吔鐚右酝庖驗(yàn)樵跓徇吔鐚右酝鈚 t-t-t=0=0，上式積分上限可改為，上式積分上限可改為t t，得，得 (2) |)(00yytaudyttdxdt作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以的換熱作為討論對象的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下，動量積分方程不受溫度場的影邊界條件。在常物性條件下，動量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。求解能量積分方程，解

30、出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。 0wydudy(3) |)(00ydyduudyuudxd為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以。選用以下有下有4 4個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式: : u=a+by+cy2+dy3式中，式中，4 4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即即 y=0時(shí)時(shí) u=0 =0 且且 022yuy=時(shí)時(shí)u= =u 且且 0yu由此求得由此求得4 4個(gè)待定常數(shù)為個(gè)待定常數(shù)為 330, , =0, 22uuabcd 于是速度分

31、布表達(dá)式為于是速度分布表達(dá)式為 (4) )(21233yyuu2329 (6)3802ududx以以 ，并按，并按x=0=0時(shí)，時(shí)，=0，將式，將式(6)分離變量，并積分得分離變量，并積分得將式將式(4)對對y求導(dǎo)，得壁面求導(dǎo)，得壁面(y=0)速度梯度速度梯度03 (5)2|yududy將式將式(4)(4)和和(5)(5)分別代入式分別代入式(3),(3),積分得積分得 00140 (7)13xddxu 4.64 (8)xu為為 1 24.64Re (9)xx其中其中Rex= ux/, ,其特性尺度為離平板前緣的距離其特性尺度為離平板前緣的距離x。 在在x處的壁面局部切應(yīng)力處的壁面局部切應(yīng)力:

32、 : xwuRe323. 02 在工程計(jì)算中常使用局部切應(yīng)力與流體動壓頭之比，稱為摩在工程計(jì)算中常使用局部切應(yīng)力與流體動壓頭之比，稱為摩擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達(dá)式為擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達(dá)式為 212Re646. 021xwfuc(2) )(00yytaudyttdxdt 先求解熱邊界層厚度。為從式（先求解熱邊界層厚度。為從式（2 2）求解熱邊界層厚度，除）求解熱邊界層厚度，除u=f(yu=f(y) )已由式（已由式（4 4）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)布函數(shù)t=f(yt=f(y) )。對此，亦選用帶。對此，亦選用帶4 4個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式：個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式：t=e+fy+gyt=e+fy+gy2 2+hy+hy3 3式中，式中，4 4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即即 y=0y=0時(shí)時(shí) t=tt=tw w且且 022yty=y=時(shí)時(shí) t= tt= t且且 0yt由此求得由此求得4 4個(gè)待定常數(shù)為個(gè)待定常數(shù)為: : e=tw g=0 twttf23